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헤라만헤세의 유리알 유희를 읽고

헤르만헤세의 “유리알 유희”그대는 머나먼 이상향 카스탈리엔매년 되풀이 되는 치열한 입시경쟁 속에서 교육이 무엇인지 생각해 볼 여유조차 여의치 않은 수많은 수험생들. 바쁘다는 이유만으로 교육에 대하여 깊이 있게 생각해 보지도 않는다면, 그들이 교사가 된들 교육 이라는 말을 쉽게 입에 담을 수 있을까? 헤르만헤세는 유리알유희라는 책을 통하여 개인적이며 사회적인 갈등으로부터 벗어난 교육의 이상향의 세계인 카스탈리엔 이라는 공간을 제시하고 있다. 지금의 영재학교와 같은, 전국의 영재들이 모여 학문을 탐구하는 하나의 집단으로서의 카스탈리엔에서는 그들이 원하는 학문에 대하여 그 누구의 제한도 받지 않고 연구할 수 있는 권위와 지위를 부여 받는 곳이다. 이런 영재들 중의 한명인 크네히트는 카스탈리엔과 바깥 세계 사이에서 진정한 교육이 무엇인지 깨닫고 생각하며 이를 실천에 옮기고 있다. 저자는 크네히트를 통하여 저자가 생각하는 교육의 모습을 찾아가고 있는 것이다. 그러면 저자의 관점에서 본 교육이란 무엇이며, 카스탈리엔이라는 교육의 이상공간에 비추어 봤을 때 우리의 교육은 과연 어떠한 모습일까?이 소설은 크네히트와 그 주변사람들과의 만남으로 이루어진다. 노 음악명인과 바깥 세계에서 온 데시뇨리 그리고 야코부스 신부 등과의 만남을 통해 크네히트는 교육적으로 성장해 가는 계기를 얻는다. 타인들과의 만남에서 크네히트는 때로는 배우는 제자역할을 하고, 때로는 가르치는 스승역할을 하고, 때로는 심지어 이 두 가지 역할을 동시에 병행하는 경우도 있다. 이런 경우에도 ‘유리알 유희’에서는 스승과 제자 관계는 권위적이고 일방적인 관계가 아니고, 만나는 당사자 상호간에 인격적 주체로서의 관계이다. 이러한 만남에서 크네히트의 교육에 결정적으로 영향을 끼친 세 인물들은 노 음악명인, 야코부스 신부 그리고 친구 데시뇨리인데, 크네히트가 이들과의 만남에서 어떻게 교육적으로 영향을 주고 받았는지를 알아 보도록 하자.먼저 노 음악명인과 크네히트는 스승과 제자의 관계 그 이상의 것으로 이야기 할 수 있다. 노 음악명인은 제자에게 친구이자 지도자이고, 추진력이고, 의지의 대상이자 영감을 주는 자이고, 모범이었다. 그는 제자를 자기실현의 길로 안내하고 나서도 항상 훈계하고 조언하고 격려할 준비를 갖춘 채 떠다니는 수호신과 같은 역할을 했다. 즉, 그는 실례와 모범을 통해서 주선하고 도와주어야만 했던 모든 것을 제자가 수용했을 때, 무대배후로 조용히 물러났다. ‘유리알 유희’에서 노 음악명인은 크네히트가 세속 세계에서 온 데시뇨리로 인해서 정신적으로 괴로움을 겪고 있을 때, 그에게 데시뇨리의 주장에 대해서 카스탈리엔을 적극적으로 변호하라는 임무를 부여함으로써 더욱 그를 어려움에 빠뜨렸다. 그러나 크네히트는 이를 계기로 한 단계 발전 하게 되었다. 이는 무언가를 가르쳐 직접 괴로움에서 보호해 주는 대신 스스로 체험하게 하는 헤세의 교육방식을 엿볼 수 있다. ‘유리알 유희’는 이러한 교육에 관한 생각을 종합 정리해서 제시해 놓았다. 이 작품에서 특히 대두되고 있는 문제는 영재들의 교육이다. 그는 ‘유리알 유희’에서 스스로의 체험을 통한 학습, 진리나 지혜를 가르치는 것이 아니라 다만 그것에 접근하는 방법을 강조하는 교육관, 인간에 대한 스승의 올바른 판단력과 스승의 모범적 자세를 특히 잘 묘사해 놓았다.다음으로 등장하는 크네히트와 데시뇨리의 관계는 사제관계라기 보다는 두 정신세계의 대립관계로 말할 수 있다. 바깥세상에서 온 영재학교의 청강생인 데시뇨리와 진급한 크네히트와의 만남은 우정과 적대 관계의 특색을 지니고 있다. 이들은 각자 뛰어난 재능으로 인해서 얼마 안가서 친구가 되었으나, 성격이나 대표하는 사상면에서는 상반되었다. 따라서 이 두 친구 사이의 관계에는 일종의 동감과 반감이 혼재되어 있었다. 크네히트와 데시뇨리는 각자 자신이 대표하는 세계를 적극적으로 변호하는가 하면 상대방의 세계를 공박하기도 하면서 우정과 적대 관계를 유지했다. 즉, 상호 교제를 통해서 상대방의 세계에 대한 긍정적인 생각을 지니게 됨과 동시에 각자 교육적으로 한 단계 성숙하게 되었다. 특히 데시뇨리는 크네히트와 많은 논쟁을 통해서 카스탈리엔에 대한 비평의 객관성을 얻게 됨으로써 카스탈리엔의 정신에 어느 정도 긍정적인 입장을 취하게 되었을 뿐만 아니라, 발트첼의 학창생활이 끝날 무렵에는 카스탈리엔에 대한 "무조건적인 사랑"을 고백할 정도로 많이 변모되었다. 또한 그의 공격적이고 반어적인 억양은 더 세련되어 졌고, 그의 말의 표현은 한층 엄격하고 책임감이 있게 되었다. 크네히트와 데시뇨리는 서로에게 임무를 제기했고, 상호간에 자신의 고유성을 확인하고 다시금 초월하도록 도와주었다. 그래서 그들의 만남은 결국 우정의 꽃을 피웠으며 서로가 상대방에게 줌으로써 결과적으로 받는다는 교훈을 낳았다.마지막으로 야코부스신부와 크네히트와의 관계를 들 수 있다. 이는 노 음악명인과 크네히트와의 관계처럼 스승과 제자라 할 수 있다. 크네히트에게 이 신부는 카스탈리엔 바깥에 있는 교육자라는 점에서 특히 중요하다. 그러나 크네히트에게는 이런 모든 외면적인 일 보다는 오히려 본질적인 일, 즉 야코부스 신부로부터 역사를 배움으로써 바깥의 현실 세계에 대한 시야를 넓히는 일이 더욱 중요하게 여겨졌다. 그래서 이 신부는 크네히트에게는 데시뇨리에 이어서 바깥 세계로부터의 제2의 커다란 충격, 즉 제2의 결정적인 부름 작용을 했다. 마리아펠스로의 소명은 크네히트에게는 특별한 영예이자 교권제도에서의 "힘찬 제일보"와 같은 의미를 지녔다. 따라서 이 소명은 크네히트에게 카스탈리엔의 바깥에서 카스탈리엔을 새로운 각도에서 조명할 계기를 마련해 주었으며, 동시에 이곳에서 훌륭하게 사명을 수행함으로써 카스탈리엔 당국의 신임을 받은 결과 장차 교권제도에서 유희명인으로까지 진출할 결정적인 발판이 되었다. 수도원에서 생활을 시작한 크네히트는 명목적으로는 유리알 유희의 지도교사로서의 사명을 부여받았지만, 이 사명의 실제적인 목적은 가르치는 것이 아니라 배우는 것이라는 사실을 깨달았다. 왜냐하면 단순히 유희를 가르치는 일이라면 카스탈리엔의 다른 영재들도 충분히 할 수 있었을 것이기 때문이다. 크네히트는 수도원에서 만난 야코부스 신부를 노 음악명인과 마찬가지로 평생 동안 감사와 존경심을 갖고 사랑하였다.그러면 책의 내용으로 다시 돌아가 보자. 크네히트는 외부세계에 있는 자신의 친구 데시뇨리의 아들 티토를 가르치기 위해 카스탈리엔을 떠난다. 그래서 크네히트는 유희명인직을 사임했다. 여기에서 주의해야할 점은 그가 그의 직책에서 사임했지만 결코 카스탈리엔의 정신을 완전히 포기하지 않고, 그것을 바깥 세상에 전파시키려고 한다는 사실이다. 즉, 크네히트는 교육자로서 봉사함으로써 카스탈리엔과 바깥세상의 화해와 종합을 마련하기 위해서 카스탈리엔을 떠난 것이다. 그러나 카스탈리엔에서 바깥세계로 넘어온 크네히트는 자신이 가르쳐야 할 학생 티토를 만난 다음날 새벽에 산간에 찬 호수에서 익사하고 만다. 여기서 크네히트의 죽음이 갖는 상징적인 의미는 무엇보다도 그것을 티토와 관련지을 때 가장 선명하게 드러난다. 크네히트는 스스로 원해서가 아니라 티토의 요구에 따라서 수영을 하며, 따라서 그의 행위는 철저하게 티토와 관계되어 있다. 그러므로 그의 죽음 역시 티토와 분리해서 생각할 수 없다. 다시 말해 크네히트의 죽음은 두 인물 모두에게 관계되는 중요한 상징적 사건이 되는 것이다. 헤세는 요제프 크네히트의 죽음이 결코 우연이 아니며 희생의 죽음이라 말하고 있다. 그리고 그 어린 티토는 그것을 통해 그 어떤 다른 방법을 통해서 그럴 수 있었을 것보다 더 깊이 감동을 받고 또 평생 동안 더 깊이 책임감을 느끼게 되는 것이다.

독후감/창작| 2010.05.18| 4페이지| 1,000원| 조회(227)

헤르만헤세, 헤라만헤세, 헤르만헷세, 유리알유희

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아인슈타인의 상대성이론을 읽고.

평화를 사랑한 천재 과학자.- 아인슈타인의 상대성 이론을 읽고. -평화를 사랑한 천재, 과학자이기에 앞서 위대한 인간, 외로운 기러기, 심심한 도련님. 아인슈타인은 그의 명성에 걸맞게 많은 별명과 애칭을 가지고 있다. 아인슈타인이라고 하면 가장 먼저 떠오르는 것이 그의 우스꽝스럽게 삐쳐 올라간 백발의 머리카락 일 것이다. 이렇듯 친근하고 재미있는 과학자의 모습이 사람들에게 과학에 관하여 미치는 영향력이란 이루 말할 수 없을 것이다. 딱딱하게만 보여지던 과학, 이런 과학을 직접 다루고 연구하고 탐구하는 과학자가 우리에게 가깝게 느껴지고 부담감이 없다면 과학에 대하여 무지하고, 거부감을 느끼던 사람들도 조금 더 친숙하게 과학을 접할 수 있을 것이다.백발 할아버지 아인슈타인의 천재성을 보여주는 이론이 바로 상대성 이론이다. 사람들은 상대성이론이 엄청난 이론인 만큼 접근하기 힘들고 이해하기도 힘들다고 지레 겁을 먹곤 한다. 하지만 과학이라는 것은 쉬운 예를 들면서 실생활과 관련 지어가다 보면 쉽게 이해 할 수 있고 또한 거부감도 사라진다. 그렇기에 필자는 상대성이론 이라는 과학동산을 여행하며 관련된 예를 찾아보면서 이론을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었다.사람들이 흔히 이런 말을 한다. “난 상대적으로....” 여기에서 보여주듯 ‘상대적’이라는 것은 ‘다른 것과의 관계가 비교, 대립 등의 상태에 있는 것’ 이라는 뜻으로 상대성이론도 이와 같은 맥락을 하고 있다. 상대성이론에서 비교의 기준이 되는 것이 바로 ‘빛’ 이다. 언제 어디에서나 쉽게 접하는 빛이 비교의 기준이 되다니.. 하지만 그런 빛이 가지는 의미란 실로 대단한 것이었다. 우리가 그저 상식적으로 알고 있는 빛의 속도인 광속(30만Km/h)이 언제 어디에서나 불변이라는 것을 알았을 때, 궁금증이 하나 생겼다. 어릴 때 아인슈타인이 가졌던 궁금증이라고 하는 거울실험. 정말로 거울을 들고 빛의 속도인 광속으로 달린다면 과연 거울에 나의 얼굴이 보일까 하는 것이다. 이런 궁금증과 함께 한가지 더 궁금한 점이 생겼다.을 알아야 한다. 따라서 속도도 상대 속도로만 나타낸다. 즉, 관측대상이나 관측자의 이동 속도에 따라 서로의 속도가 달라져 보인다는 것이다. 예를 들면, 시속 100Km로 달리는 기차 안에서 달리기선수가 기차 진행 방향으로 시속 20Km로 뛰어가고 있다고 하면, 기차 밖에서 본 달리기 선수의 속력은 시속 120Km가 된다. 하지만 시속 10만Km로 날아가는 우주선 안에서 빛을 쏜다고 해서 우주선 밖에서 본 빛의 속력이 시속 40만Km 가 되는 것은 아니라는 사실이다. 이것이 바로 ‘광속도 불변의 원칙’이라는 것인데, 이런 사실 때문에 초기 물리학자들이 곤혹스러워 했다고 한다.빛의 동산을 여행 한 후에 특수상대성이론열차를 타러 갔다. 특수상대성이론에 대하여 책을 읽는 동안 아인슈타인은 정말 천재적인 과학자구나 하는 생각이 들었다. 누구도 의심하지 않았던 시간과 공간과의 관계를 수식으로 풀어 낸 것이다. 나는 우리가 사는 공간이 단순한 3차원의 세계인줄 알았다. 하지만 사실은 눈에 보이지 않고 인식하지 않는 또 하나의 차원, 바로 ‘시간’ 이라는 차원이 존재하고 있었다. 우리가 미래와 과거를 볼 수 없기 때문에, 시간의 차원을 인식하지 못하는 것이다. 이건 마치 2차원의 생물이 3차원의 세계를 볼 수 없는 것과 마찬가지일 것이다. 이런 시간의 차원은 빛과 관련지어진다. 빛을 시간이라고 할 수 있는 이유는, 이 세상에서 절대기준이 될 수 있는 것이 빛이기 때문이다. 빛은 또한 속력과도 관련이 있다. 아인슈타인이 특수상대성이론에 발표한 빛과 속력과 시간의 관계식을 본다면, 누구나 신기해하고 흥미진진해 할 것이다. 이 관계식의 주요 골자는 운동하는 속력이 클수록 관측자가 경험하는 시간 또한 커진다는 것이다. 좀 더 쉽게 예를 든다면, 만약 빛의 속력에 가까운 우주선을 쌍둥이 형제 중에 형이 타고 우주여행을 하고 돌아 왔다고 가정해 보자. 빛의 속력에 가까우면 가까울수록 관측자가 경험한 시간은 점점 더 많이 흐르기 때문에 실제 우주선에 탄 형 보다 밖에서 우주선을 기다린는 그 길이가 수축한다는 것이다. 다시 말하면 우리가 청룡열차와 함께 빨리 달릴 때는 운동하는 물체뿐만 아니라 공간 전체가 줄어든다는 것이다. 좀 생소하긴 하지만 공간이 줄어들다니.. 그러면 우리가 빛의 속도와 같이 매우 빨리 달린다고 생각할 때 방금 언급한 쌍둥이 형제의 예가 떠오른다. 우주선이 빛의 속력처럼 빨리 달렸으므로 그 우주선을 포함한 주변 공간이 줄어들었고 그로 인해 우주선을 탄 형과 그렇지 않은 아우 사이에 시간 차이가 생겼던 것이다. 이 책을 읽던 도중 엉뚱한 상상을 해봤다. 만약에 로렌츠-피츠제럴드 수축 현상이 아주 느린 속도에서도 일어난다면... 사람들은 빨리 달리는 자동차를 보지 못하여 교통사고를 당할지도 모를 것이다. 게다가 자전거를 타고 가는 날씬한 여자를 보고 뒤쫓아갔지만, 자전거를 세우고 보니 끔찍하게 뚱뚱한 여자일 수도 있을 것이다. 이런 다소 엉뚱한 생각을 뒤로하고 상대성이론으로 가장 유명한 E=mc²이라는 세계를 뒤흔든 공식으로 눈길을 돌렸다. E=mc²다시 말하면 ‘질량은 에너지다’ 라는 뜻으로 특수상대성이론의 가장 중요한 결론이다. 이 공식이 인류의 과학 발전에 엄청난 영향을 끼쳤지만 조금만 삐뚤어진 시각으로 공식을 대한다면 이는 작은 질량으로도 엄청나게 큰 에너지를 얻을 수 있다는 결론이 나온다. 그러므로 이를 악용될 경우 인류멸망을 가져 올 수도 있는 것이다. 그래서 1906년 아인슈타인이 질량-에너지 등가의 원리를 발표하였을 때, 그 자신은 질량을 어떻게 에너지로 바꿀 수 있는지 그 방법에 대해서는 아무런 언급을 하지 않았다. 그러나 그 후에 핵분열 시 일어나는 질량의 감소분이 에너지로 변한다는 사실이 밝혀지게 되었다. 아인슈타인의 이 위대한 발견이 최초로 응용된 곳이 인류 살상용 무기인 원자 폭탄을 만드는데 사용됐다는 사실에 눈살이 저절로 찌푸려졌다. 그 누구보다도 인류의 평화를 위해 애를 쓰던 아인슈타인이었는데...역사의 아픔을 뒤로하고 초 광속 입자 ‘타키온’에 대해서 알아보았다. 타키온을 알기 위해선 먼저 이것 수 없는 입자(제 2종 입자)이다. 여기에서 더 나아가면 제 3종 입자라는 것이 있는데 이것이 바로 ‘타키온’이라는 가상입자이다. 이를 쉽게 말하면 제 1종 입자의 반대라고 생각하면 된다. 그리스 어로 ‘빠르다’는 뜻의 타키온은 절대로 광속 이하로는 달릴 수 없는 입자로서 타키온에 있어 광속이란 도달할 수 없는 최저의 속도이고, 무한대의 속도까지 낼 수 있다는 것이다. 여기에서 정말 흥미로운 가상실험이 하나 있다. 타키온을 이용한 통신을 예로 들어볼 수 있다. 만약에 ‘갑’이라는 사람이 지구에 있고 ‘을’이라는 사람이 토성에 있다고 가정할 때, 타키온 전화기를 이용하여 정오에 ‘갑’이 ‘을’에게 날씨를 물어봤다고 가정해보자. 그러나 타키온은 빛보다 더 빨리 달리기 때문에 ‘을’은 정오가 아니라 오전 11시에 전화를 받게 될 것이고 다시 타키온 전화로 응답을 하면 ‘갑’이 전화 걸기도 전인 오전 10시 ‘을’의 응답을 먼저 받게 될 것이다. 이렇게 인과율을 깨뜨리는 가상입자인 타키온의 존재 여부는 명확히 밝혀지지 않았다. 하지만 이 입자가 존재한다면 우리는 이를 이용하여 과거로의 여행도 할 수 있을 것이다.조금은 엉뚱하고 생소한 특수상대성이론열차에서 내려 일반상대성우주선을 타러 갔다. 일반 상대성이론은 특수상대성이론의 미흡한 부분인 중력에 관하여 좀 더 깊이 있게 다루고 있다. 일반 상대성이론이 중력에 대하여 다루고 있는 만큼 중력 하면 떠오르는 인물이 바로 ‘뉴턴’ 이다. 사과가 떨어지는 현상을 보고 중력에 대하여 인식했다는 천재 과학자 뉴턴의 이론을 한층 더 확장시킨 아인슈타인의 천재성은 모든 사람들의 감탄을 자아내게 한다. 아인슈타인이 일반 상대성이론에 ‘빛이 중력의 영향을 받아 휘어진다.’라는 내용은 정말 놀라운 사실이었다. 이전까지만 해도 빛은 언제 어디에서나 직진하는 것으로 알려져 있었기 때문이다. 그리고 아인슈타인은 중력의 영향으로 공간뿐만 아니라 시간도 휜다고 하였다. 공간은 그렇다고 쳐도 시간이 휜다니, 언뜻 생각해서는 잘 이해가 가지 않았다.학은 평탄한 면 위의 도형을 다루는 기하학이다. 그러나 구면과 같은 비유클리드적 평면에 유클리드 기하학을 적용시킬 수는 없다. 마찬가지로 우주 공간이 평탄하지 않고 굽어 있는 비유클리드적 공간이라면 새로운 공간 기하학이 도입되어야 한다. 아인슈타인은 이를 해결하기 위해 리만 기하학을 도입하여 일반 상대성 이론을 전개하였던 것이다. 이를 좀 더 쉽게 알기 위해 지구를 예로 들어보자. 서울에서 모스크바까지 최단거리를 찾으라고 하면 그것은 직선이 아니라 곡선이 되어 버린다. 이는 지구가 평면이 아니라 바로 구형이기 때문이다. 이렇게 평면이 아닌 곳에서의 최단거리가 직선이 아니듯이 우주가 평면이라고 할 수 없기 때문에 시간과 공간이 휘는 것이다. 그러면 이런 일반 상대성이론을 뒷받침하는 증거가 무엇인지 알아보자. 대표적인 증거로는 수성의 근일점 이동을 들 수 있다. 쉽게 말하면 일반 상대성 이론에 따라 태양 주위의 시공간은 태양의 중력에 의해 휘어져 있고, 그 휘어진 공간에서 수성이 움직인다고 하면 이론치와 관측 결과가 일치한다. 이를 잘 나타내 주는 것이 중력 렌즈 효과라고 하는 것인데 이 중력 렌즈 효과는 1937년 아인슈타인이 우주에서 관측 가능 할 것이라고 예언했다고 한다. 위의 내용들을 조금 더 간단히 정리한다면, 중력이 강한 곳에서는 시간도 천천히 흐른다 라는 것으로 중력이 강한 곳에서는 공간의 휨과 시간의 지연이 동시에 일어난다는 말이다. 이 부분을 읽던 중 문득 엉뚱한 궁금증 하나가 또 생겼다. 조금 과장한다면 바닷가에 사는 사람들이 고산에 사는 사람들보다 더 오래 산다는 말인가? 지표면에 가까울수록 중력이 강하게 작용하니까 시간이 그나마 천천히 흐를 것이기 때문이다. 물론 그 차이는 극히 미세 할 테지만... 이런 것을 두고 볼 때 요즘 사람들이 점점 더 고층 아파트를 선호하는 현상이 어떻게 보면 무지에서 오는 어리석은 행동이 아닐까 하는 생각도 해본다. 그리고 중력이 우주의 시공간을 왜곡시키는 것과 같이 우리 현실 세계에서도 중력과 같은 역할을 하는다.

독후감/창작| 2009.11.20| 4페이지| 1,000원| 조회(311)

노벨상, 아인슈타인, 상대성이론, 상대성

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수학 독후감(서평)

수학은 어렵고도 쉬운 학문인 것 같다. 누구나 처음 수학을 접할 때면 지레 겁을 먹고 다가서기 싫어한다. 하지만 그렇게 어렵게만 느껴졌던 수학을 실생활에 적용시켜 보면 수학의 유용성과 함께 필요성을 느끼게 된다. 그 중에서도 미분과 적분은 더더욱 그러하다. 처음 미분과 적분을 접한 것은 고등학교 2학년 때였다. 미분과 적분이라는 과목을 처음 배울 때는 조금은 어려웠다. 처음 보는 인테그럴, 시그마 같은 수식도 나오고... 하지만 공부를 하면 할수록 이보다 더 쉬운 단원이 없구나 하는 생각이 들었다. 이렇게 느낄 수 있었던 것은 바로 수학을 내 주변의 사건, 사물에 적용시켜 보았기 때문이었다. 처음 미분을 배울 때, 문제 중에 「일정 길이의 철판을 가지고 원기둥을 만들 때 최대의 부피가 되도록 원기둥의 높이를 정하여라」라는 문제를 접했을 때 나는 음료수 캔을 떠올렸다. 대부분의 음료수 캔들이 같은 모양을 하고 있는데 왜 그럴까 하는 호기심이 수학의 미분과 절묘하게 만나 그 의문점이 나도 모르게 쉽게 풀렸다. 음료수 회사에서 원료절감을 위해서는 같은 음료수를 담더라도 최소한의 알루미늄을 사용하여 캔을 만들어야 하기 때문에 모든 캔들의 모양이 똑같은 것이었다. 이렇게 실생활과 밀접한 관련이 있다는 사실을 통해 수학에 좀 더 쉽고 가깝게 다가 설 수 있도록 도와준 「그림으로 보는 미분과 적분」이라는 책을 인상깊게 읽었다. 전혀 생각지 못한 것을 미분과 적분으로 풀어내는 것이 가장 기억에 남았다.어릴 때 바닷가에 가서 수평선을 보면서 지구는 엄청 넓구나 하는 생각을 했다. 그때를 떠올리며 이 책을 읽다 보니 내가 봤던 그 수평선이 바로 지구라는 큰 구에 대하여 구에 접하는 접선이었다는 것을 알았다. 그리고 심심할 때면 미니 블럭을 조립해서 자동차를 만들고 다시 분리해서 비행기를 만들곤 했었는데 이것 또한 곰곰이 생각 해 보면 블럭을 조립하는 것은 바로 적분이고 다시 분리하는 것이 미분이라는 것과 상통했다. 이 책에 점점 흥미를 느끼며 읽어갔다. 읽다 보니 주식투자에 관하여 미적분으로 설명해 놓은 부분이 있었다. 먼저 주식의 기본은 주식가격의 극소값에서 사고 극대값에서 팔면 되지만, 주식시장의 주식가격 움직임은 좀 달랐다. 실은 건물의 완공 직전에 극대값이 되며 완성과 동시에 조금 내린다는 것이었다. 이게 어떻게 된 일일까? 일반적인 상식이라면 건물의 완성과 동시에 주식값이 극대가 될텐데.. 실은 그리했다. 모두들 건물의 완공을 바라보며 주식을 샀다가 건물의 완공과 동시에 대부분의 사람들이 주식값이 최대 일 것이라고 생각하고 주식을 팔게 되면 주식값이 내리게 된다는 것이다.신기한 주식투자에 관한 미적분을 뒤로하고 몇 장의 페이지를 넘기다 보니 책 내용 중에 CD의 신호 결손이 없는 이유가 나와 있었다. 필자의 과가 컴퓨터교육과인 만큼 컴퓨터와 관련된 CD의 내용이 나오니 눈이 번쩍 뜨였다. 그러고 보니 CD에서조차도 미분과 적분이라는 수학적인 원리가 적용되고 있었다. CD가 긁히게 되면 그 부분의 결손이 생기는데 CD의 신호결손이 생긴 부분의 양옆에서 접선으로써 이를 보정하여 CD로 음악을 듣더라도 거의 원음에 가깝게 재생하게 되는 것이었다. 이에 관해서 전혀 생각 없이 CD를 사용 해 온 것이 조금은 부끄럽게 느껴졌다. 하지만 내 스스로 미적분에 대해서 고민해 생각해 본적도 있다. 적분이라고 하니깐 초등학교 때 배운 원의 넓이를 구하는 방법이 떠올랐다. 원을 원의 중심을 기준으로 해서 수 없이 자른 다음 위아래 겹쳐서 붙이게 되면 결국은 직사각형이 되어 이 원의 넓이를 구할 수 있다는 선생님의 말씀이 떠오른 것이었다. 사실 어릴 때는 적분이라는 용어를 몰랐을 뿐, 기본적인 넓이를 구하는 방법과 공식에 대해서는 이미 알고 있던 것이었다.한때는 카세트 테이프 속에 감긴 테이프를 보면서 이게 얼마나 길까 라는 생각을 해 보면서 직접 풀어서 줄자로 재어본 기억이 있다. 이 책을 읽고 나서 느낀 것이, 이런 내 행동이 간단하게 길이를 구할 수는 있지만 수학적으로 볼 때 어리석은 행동이라는 생각이 들었다. 수학적으로 길이를 재는 방법을 알아보면 먼저 생각할 수 있는 것은 동심원의 원둘레의 길이를 점점 더해 가는 것이다. 이 방법을 이용한 적분 적 사고방식은 테이프의 길이를 좀 더 수학적으로 구할 수 있는데 도움이 되는 것 같다. 이렇게 많은 곳에서 미분과 적분이 실생활에 이용된다는 사실이 신기하기만 했다.그러나 책을 읽던 중 더욱더 신기한 제논의 패러독스가 눈에 띄었다. 그가 말한 「아킬레스는 거북을 따라 잡을 수 없다」라는 말이... 그의 말에 따르면 “아킬레스는 속도를 거북 속도의 10배라 하고 100m 경주를 한다고 하고, 거북이는 늦으므로 10m 앞에서 출발시킨다. 그럼 아킬레스가 거북이 있는 곳까지 갈 동안 거북은 아킬레스의 1/10속도이므로 원래의 장소보다 1m 나아가게 된다. 또 아킬레스가 그 곳까지 갈 동안 거북은 10cm 더 나아가게 된다. 또 아킬레스가 그곳까지 가면 거북은 1cm 앞서 있다. 또...... 이렇게 하여 아킬레스가 거북이 있는 곳까지 갈 동안 거북은 반드시 조금 앞에까지 가므로 절대로 따라 잡을 수 없다」 언뜻 상식적으로 생각했을 때 제논의 말이 사실처럼 느껴졌다. 또한 아킬레스가 아무리 다가가도 거북이 아킬레스보다 조금, 아주 조금 앞에 있다는 말에 고등학교 때 배운 극한이 떠올랐다. 하지만 곰곰이 생각해 보니 아킬레스가 거북을 따라잡을 수 없다는 말이 전혀 사실이 아니라는 것을 알 수 있었다. 떨어져 있는 두 사람이 어느 지점에서 만나는지를 조사하기 위해서 두 사람이 만날 때(또는 추월하는)까지의 시간을 알면 그 사이의 거리도 알 수 있다는 것이 내 생각이다.

독후감/창작| 2009.11.20| 2페이지| 1,000원| 조회(883)

독후감, 수학, 서평, 일상생활

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2009 수학과 교재연구 및 지도법(문자와 식)

수학과 교재연구 및 지도법『제 2장. 문자와 식』0. 이차방정식 및 활용① 방정식 풀이의 역사 : 디오판토스 - 알 콰리즈미 - 카르다노 - 바스카라 - 페로- 페라리 - 루피니 - 아벨 - 갈루아② 다양한 방정식의 풀이- 등식의 성질 / 공리적 방법을 이용한 풀이- 거꾸로 풀기? 분석 / 종합? 검산의 필연성 (무연근)③ 아벨의 증명과 갈루아 이론④ 방정식 풀이 시 근의 범위 명확화의 필요성 (예 : 실근을 구하라, 복소근을 구하라 등)이차함수와 사차함수의그래프가 다음과 같을 때, 방정식의 모든 근의 합을구하시오. (’08년 4월 경기도 교육청)1. 다항식의 최대공약수와 최소공배수- 다항식에서 인수는 수인수를 제외한다.예),의 최대공약수는?2. 절대부등식의 의미① 산술 ? 기하 ? 조화평균과의 관계② Cauchy-Schwartz 부등식3. 다양한 의미의 문자사용- 자리지기(place holder)로서의 미지수(unknown)- 다가이름(polyvalent)으로서의 부정소(indeterminate)- 독립변수, 종속변수, 매개변수- 임의의 대상, 임의의 기호(형식적 조작의 대상)4. 문자 오개념 및 인지장애① 문자의 오개념② 오류분석의 중요성③ 문자식 학습을 어려워하는 이유④ 변수 개념과 인지장애⑤ 부진아들이 보인 오류의 특징⑥ ‘문자와 식’ 관련 질문에 대한 분석5. 학교수학과 실세계 사이의 연결① 생활속의 수학② 수리논술1. 이차방정식 및 활용① 방정식의 역사적 개관방정식의 개념은 오랜 역사를 갖고 있기는 하지만, 초기의 기록이 잘 알려지지 않았다. 방정식이라는 용어는 1세기경 중국 한나라 때의 수학책인 구장산술의 제 8자인 방정장에서 유래되었다. 여기서 ‘방(方)’이란 네모 또는 사각을 뜻하는 말이고, ‘정(程)’은 할당한다. 또는 재어 본다는 뜻으로서 ‘사각으로 할당한다’는 뜻이다.최초의 일차방정식은 아메스 파피루스(Ahmes papyrus)에 등장한다. 여기서 파피루스는 1개의 미지량을 갖는 일차방정식에 관련된 문제와 그 해결방법을 서술하였다. 또 그부터을 얻어또는이다.한편이면 주어진 방정식의 왼쪽 변은이고, 오른쪽 변은이므로,은 근이 아니다. 또한이어야 하므로도 근이 아니다.따라서 주어진 방정식의 근은 존재하지 않는다. ■방정식을 푼다는 것은 어느 조건 아래에서 근을 구할 것인가에 따라 답이 달라진다. 보통 고등학교 교과과정에서 방정식을 푸는 경우 다항방정식을 제외하고 실수 범위에서 근을 구하도록 제한하고 있다.그런데 위 문제에서이면 주어진 방정식의 왼쪽 변은이고, 오른쪽 변은이므로을 근으로 택해야 할 듯하다. 그러나 마찬가지로 교과과정은 무리식의 값이 실수가 되는 범위에서, 즉 실수 값을 갖는 실변수 함수로 생각하여 답을 구하도록 하고 있으므로 양변이 허수 값을 갖게 되는은 근으로 처리하지 않을 수도 있다. 하지만가 실수의 범위에 들기만 하면 답으로 간주하여을 답에 포함시키는 것이 바람직 할 것이다.2. 다항식의 최대공약수와 최소공배수- 교과서 내용 (출처 : 수학 10-가(천재교육) p.86~87)교과서에서 보다시피 다항식의 최대공약수와 최소공배수에서는 수인수는 고려하지 않기로 약속한다. 그런데 이 약속이 과연 수학적으로 타당한가?와의 최대 공약수를 구하여라.수인수를 고려하여 최대공약수를 구하면를 최대공약수라 할 수 있다. 그런데 주어진 두 다항식들은 각각과로도 변형할 수 있다. 이 경우 최대공약수는가 된다. 마찬가지로,로도 표현되고이므로 최대공약수는이다. 이처럼 최대공약수를 구할 때 수인수를 고려하게 되면 문제점이 생기기 때문에 수인수를 고려하지 않기로 한다.다항식의 최소공배수를 이용하는 예로 분수방정식의 풀이를 살펴보자.의 해를 구하여라.분수방정식의 풀이의 첫 번째 단계는 ‘분모의 최소공배수를 각 항에 곱해주기’이다. 그런데 이 경우, 다항식의 최소공배수에서는 수인수를 고려하지 않으므로,을 곱해주면이 된다.이 아직 남아있기 때문에 한번 더 양변에 2를 곱해주는 절차를 밟아야한다. 이는 분수방정식의 해법에서 말하는 ‘분모의 최소공배수’ 개념과의 통일성에 어긋난다고 볼 수 있다. ( 어떤 교과서에서는 0이 아니라고 가정합시다.그리고 이차함수 f(x)를 다음과 같이 둡시다.?? f(x)? =? (a1x - b1)² + … + (anx - bn)²??????? =? (a1² + … + an²)x² - 2(a1b1 + … + anbn)x + (b1² + … + bn²)그러면 f(x)는 그 꼴에 의해 항상 0 이상이므로, 항상 f(x) ≥ 0 이고, f(x)는 2개의 서로 다른 해를 가질 수 없습니다. 이는 판별식이 0 이하여야 함을 뜻하는데, f의 판별식은D/4?? =?? (a1b1 + … anbn)² - (a1² + … + an²)(b1² + … + bn²)?? ≤?? 0이므로, 증명됩니다. 또한 위 식의 등호가 성립하려면 D = 0 이어야 하고, 이는 f(x)가 중근을 가짐을 뜻합니다. 이것이 성립할 필요충분조건은 a1:b1 = ... = an:bn 임을 알 수 있습니다.?? □[증명2]n차원 유클리드 공간 Eⁿ상의 두 벡터 a, b 가 각각????? a? =? (a1, …, an) ????? b? =? (b1, …, bn)과 같이 주어져 있다고 합시다. 이때 a와 b 사이의 새로운 연산인 내적 a·b 를????? a·b? :=? a1b1 + … anbn과 같이 정의합시다. 그러면 Eⁿ상의 세 벡터 a, b, c 와 임의의 실수 α에 대하여?? (1)? (a+b)·c? =? (a·c)+(b·c)?? (2)? (αa)·b? =? α(a·b)?? (3)? a·b? =? b·a?? (4)? a·a ≥ 0 이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 a = 0이 성립함을 쉽게 확인할 수 있습니다. 이제 벡터의 크기 |a|를????? |a|? :=? √(a·a)? =? √(a1² + … + an²)로 정의합시다. 그리고 나서 위 네 성질만을 이용하여 코시-슈바르츠 부등식, 즉????? |a·b|? ≤? |a||b|을 증명해보겠습니다.(참고: 위 식에서 좌변의 ||는 절대값이고, 우변의 ||들은 모두 위에서 정의한 기호입니다. 영어로는 norm이라고 합니다)? 일단 b = 0몸에 베어 중학교 수학에서 문자식의 도입 시에 이를 조절하기 어려운 상황이 초래됨으로써 학습-지도에 어려움이 야기되기 싶다. 중학교 수학에서는 여러 가지 수량 사이의 관계를 문자를 사용하여 간결하게 나타내고 문자식이 갖는 일반성을 이해할 수 있도록 요구한다. 문자식에 관한 여러 가지 기본적인 규약과 변수 개념을 이해하도록 하고 문자식의 변형과 계산을 익힘으로서 그 이후의 수학 학습의 기초를 마련하도록 하는 것은 중학교 수학의 중요한 목표이나 그러한 목표가 만족스럽게 달성되지 못하고 있는 것이다.피아제의 인지발달 이론에 의하면, 이 시기는 구체적 조작단계로부터 형식적 조작단계로의 이행기에 해당한다. 이 시기의 아동의 사고의 중요한 특징은 형식적 가설적이고 추상적인 사고가 시작되지만 아직 완전하지 않으며 사고가 사물의 구체적 특성에 의존하는 상황을 완전히 벗어나지 못한다는 점이다. 따라서 이 시기의 아동은 문자식을 완전히 추상적이고 형식적으로 조작할 수 없으며 수에 대한 구체적인 이미지에 의존할 필요성이 아직 남아있는 상태이다.④ 변수 개념과 인지장애변수 개념에 대한 학습자의 제한된 학습 경험이나 정신적인 미성숙으로 인해 그의 마음속에 그릇된 개념 이미지가 형성되어 있어서 학습자가 변수를 사용하는 단계에서 갈등을 유발하는 것으로 해석 될 수 있다.* 인지장애 : 어떤 지식이 특정한 문제를 해결하는데 일반적으로 적절한 지식이어서 학생의 마음속에 정착되어 있다가 그가 새로운 문제를 접하게 되었을 때 그 상황에는 적용하기 어려운 부적절한 지식으로 작용하게 되는 것이다.㉠ 변수 개념의 임의성 이해 결여변수기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못한다.예) 변수를 표시하는 기호가 변화하면 변수가 나타내는 대상도 변화한다고 생각하는 경향이 있다. (y=2x, z=2w)원인 : 문자가 유일한 대상과 연결되어 있다고 생각 → 다른 문자에 같은 값을 취해보면서 인지장애를 완화시켜줄 수 있다.㉡ 변수가 나타내는 대상 제한변수를 즉각적으로 수를 대신하는 것이라고 생각한다.개수를 B, 수건의 개수를 C, 그리고 양말의 개수를 D라고 합니다.그러면 A=C+D -----------①A+D=B -----------②2B= 4C => B=2C -----------③를 만족합니다. 이 연립방정식에서 궁금한 것은 수건 몇 장과 반팔티셔츠 몇 장이 서로 평형을 이룰까 입니다. 그렇기 때문에 A와 C에 관한 식으로 풀어주어야 합니다.①식과 ②식을 더하면 2A+D=C+B+D를 만족하므로 2A=B+C---------④입니다.이제 ④식에 ③식을 더하면 2A=3C가 되므로 반팔티셔츠 2장은 수건 3장과 평형을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.2) 그림을 이용하여 수의 합 구하기 )1+2+3+4 + …+ 과 같은 계산을 해본 일이 있는가? 아니 이렇게 쉬운 계산을.. 이라고 생각한다면 이번에는 1+3+5 + … + 99 와 같은 홀수의 합 계산을 할 수 있을까? 물론 간단한 방법으로 이런 계산을 수의 계산만 하려고 하면 몹시 번거로운 일이 된다.문제를 풀 때 그림을 그리면 휠씬 쉬워지는 것처럼 이런 계산을 위하여 그림을 그려보자. 어떤 그림을 그리면 될까? 고대 그리스 사람들처럼 수를 점이라 생각해 보자.먼저 1+2+3+4 +5를 점으로 나타내면 오른족과 같다. 그림을 한 참 보고 있으면 점들이 이 계단처럼 규칙적인 모양이라는 것을 느낄 수 있다. 그러면 이 런 점들의 형태를 뒤집어서 한번 더 붙이면 그 합은 어떻게 될 까?오른쪽 그림에서2(1+2+3+4 +5) = 5*6, 1+2+3+4 +5 = 5(5+1)/2 임을 알 수 있다.이제 1+2+ 3+…+ 100 의 값을 그림으로 생각해 보면 가로의 길이가 100, 세로의 길이가 100+1 인 직사각형에 있는 점의 개수의 절반이므로 그 합은 100(100+1)/2 가 될 것이다. 그러면 1+3+5+…+ 99 와 같은 홀수의 합의 값은 어떤 그림을 그리면 구할 수 있을까?위의 그림을 한 곳으로 모아 놓으면 아래 그림처럼 되는 데 5 개의 홀수의 합이 25 개 이므로 50 개의 홀수의 합인 1+3+5+ … +학]

자연과학| 2009.11.06| 42페이지| 2,000원| 조회(1,012)

수학, 임용, 교재연구, 교수법, 전공수학, 문자와 식

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수학과 교재연구 및 교수법 (제 2장 문자와 식)

최종보고서 개요Ⅰ. 학교수학의 내용분석가. 제 7차 / 7차 개정 교육과정(문자와 식)의 내용 비교1. 7학년(중학교 1학년)2. 8학년(중학교 2학년)3. 9학년(중학교 3학년)4. 10학년(고등학교 1학년)나. 제 7차 교육과정에 따른 「문자와 식」영역의 교과서 내용 분석- 중학교 교과서 내용 분석Ⅱ. 역사 발생적 원리를 활용한 학습지도 연구가. 수학적 개념의 학습-지도 이론- Freudenthal의 역사 발생적 원리에 의한 수학화 학습 지도 방법나. 수학사를 통해 본 “문자와 식”단원1. “문자식 도입”을 중심으로 본 문자사용의 역사2. “1차방정식”을 중심으로 본 방정식의 역사3. “2차방정식”을 중심으로 본 방정식의 역사Ⅲ. 학교 수학과 학문적 수학 사이의 연결가. 학교수학과 학문적 수학의 비교나. 대수적 구조1. 군(Groups)2. 환(Rings)3. 체(Fields)다. 대수영역과 관련된 중학교 교과서 내용1. 일차방정식2. 지수법칙3. 다항식의 곱셈4. 인수분해5. 이차방정식6. 삼차 이상의 방정식의 일반해법Ⅳ 학교수학과 실세계 사이의 연결가. 생활속의 수학나. 수리논술Ⅴ. 문자 오개념 및 인지장애가. 문자의 오개념나. 오류분석의 중요성다. 문자식 학습을 어려워하는 이유라. 변수 개념과 인지장애마. 부진아들이 보인 오류의 특징바. 「문자와 식」관련 질문에 대한 분석사. 설문지를 통한 학생들의 오류분석Ⅰ. 학교수학의 내용분석가. 제 7차 / 7차 개정 교육과정(문자와 식)의 내용 비교1. 7학년(중학교 1학년) 바뀌지 않은 내용은 미기재. 삭제된 내용은 비고참조.영역항목7차 교육과정개정안비고문자와식문자의 사용과 식의 계산문자의 사용과 식의 계산① 문자를 사용해서 식을 간결하게 나타낼 수 있다.② 식의 값을 구할 수 있다.③ 일차식의 계산을 할 수 있다.① 문자를 사용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.③ 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.일차방정식일차방정식① 일차방정식과 그 해를 이해한다.② 등식의 성질을 이해한다.③, 판별식, 실근, 허근, 삼차방정식, 사차방정식, 연립이차방정식, 이차부등식, 연립이차부등식,절대부등식,항등식->삭제교수?학습상의유의점① 조립제법은 그 방법을 예를 통하여 간단히 지도한다.② 무리식은 근호 안이 일차식이나 이차식인 간단한 경우만 다룬다.③ 방정식은 계수가 실수인 경우만 다룬다.① 조립제법은 예를 통하여 그 방법을 간단히 다룬다.4. 10학년(고등학교 1학년) 바뀌지 않은 내용은 미기재. 삭제된 내용은 비고참조.나. 제 7차 교육과정에 따른 「문자와 식」영역의 교과서 내용 분석- 교과서의 문자와 식에 해당하는 단원에서 변수를 사용하는 과정에서 범하는 오류와 개념을 설명하는 과정과 문제 풀이 과정 등을 딘즈의 수학적 다양성과 관련된 시각에서 분석한다.▶ 아래의 문제는 금성출판사의 수학 7-가의 문자의 사용에서 문자를 처음 도입하는 것에 대해서 소개하기 위해 사용된 예제이다. (P 85)소비전력이 10W인 여러 개의 전구가 있다. 전구의 개수에 따라 사용되는 소비 전력이 어떻게 변하는지를 알기 위하여 다음 물음에 답하여라⑴전구의 개수와 소비 전력의 관계를 표로 나타내어라⑵전구가 □개 일 때, 소비전력은 얼마인가?한 개의 소비 전력이 10W인 전구를 켤 때, 소비되는 전력은 사용하는 전구의 개수에 따라 달라진다. 전구의 개수와 소비 전력의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.전구의 개수123...?소비전력(W)102030...10×?위의 표에서 전구의 개수에 따른 소비 전력은(소비전력)=10×(전구의 개수)(W)가 된다.또, 전구의 개수 1, 2, 3, ...에 따른 소비 전력을 위의 표와 같이 복잡하게 나타내는 대신에 문자 x 를 사용하면, 전구 x개를 사용할 때의 소비전력은10× x (W)로 나타낸다. 이 식은 전구의 개수에 따라 달라지는 소비 전력을 일반적으로 나타낸 것이다.이와 같이 여러 가지로 변하는 수량을 문자를 사용하여 나타내면 편리하고 간단하다.위의 문제에서는 학생들에게 전구의 개수와 소비전력의 관계를 문자로 간단하게 표현할 수 있다는 학습과 회고학습, 반성적 사고를 통해 사고수준이 상승이 이루어지도록 학습과정을 조직해야 할 것이다. 그렇게 함으로써 장기적으로 수학적 태도가 획득되도록 지도해야 할 것이다.재발명 방법은 가르치고자 하는 내용에 대하여 역사-발생적인 수학화 과정의 분석을 통해 현상의 정리수단, 조직수단으로서 그것이 어떻게 작용하며 어떤 중요성을 갖는지를 알아보고, 그러한 수학화의 소재가 되는 학습자 주변의 현상을 찾아 학습자로 하여금 그러한 현상에 직면하게 하여 이를 재현하는 방법을 택하게 된다. Freudenthal은 수학의 역사적 발생과정은 수학화 과정의 패러다임이지만, 이를 학습자의 현재의 정신구조에 연결시켜 수정해야 한다고 다음과 같이 말한다.어린 학습자는 인류의 학습과정을, 수정된 방식으로지만, 재현한다. 그는 역사가 실제로 일어난 대로가 아니라, 과거의 사람들이 오늘날 우리가 알고 있는 것과 같은 것을 알았다면 일어났을 것과 같이 역사를 반복한다. 어린 학습자가 재현하는 것은 역사적 학습과정의 수정되고 개선된 판이다. 이것은 발명가의 발자국을 따라가는 것이 아니라, 실제의 발명과정보다 개선되고 잘 인도된 과정을 따라 재 발명해야 한다는 것이다. Freudenthal의 재발명 방법은 수학의 역사발생과 개체발생의 그 나름의 동형성을 가정하고, 학습자의 현실로부터 수학화 경험을 시킴으로써 현실을 수학적 수단으로 조직하는 지혜를 얻게 하려는 것이다. 수학화는 소음이 있는 현상 가운데 그 정리수단인 본질을 찾는 것이다. 따라서 무엇보다도 학습자의 현실상황을 수학화하는 경험으로부터 출발하여 점진적인 수학화 과정을 재발명 시키고자 풍부한 문맥과 반성적 사고를 강조한다. 여기서 학습자의 현실이라는 것은 생활사태뿐만 아니라 학습자의 물리적. 사회적. 정신적인 세계를 총칭하는 것으로, 수학화의 진전과 함께 확대되는 것이다. 수학화를 지향한 교육에서 문제는 상황에서 제기되고 발생해야 하며, 아동은 상황에서 문제를 인식하는 것을 학습해야 한다. 따라서 상황과 문제, 문제해결 활동은 수학화에[그림 2][문제]을 풀어라또 다른 가정법의 예를 보자.① 답이 7이라고 가정하고 문제를 풀어보자.② 7과 7의 1/7, 즉 7에 1을 더하면 8이 된다.③ 8이 3배가 24이므로④의 값은 21이다.[문제] 아하와 아하의 1/7의 합이 19일 때, 그 아하를 구하여라.이집트에서는 가정법이라고 불리는 방법을 사용해 풀고 있다.① 답이 7이라고 가정하고 문제를 풀어보자.② 7과 7의 1/7, 즉 7에 1을 더하면 8이 된다.③ 8이 19가 되도록 하려면 얼마를 곱해야 하는가?④ 아래 그림과 같이 계산식으로 설명하고 있다.⇒ 그림1은 왼쪽에 여러 가지 수들을 세로로 나열하고, 각각의 수에 8을 곱한 결과를 오른쪽에 나타낸 것이다. 그리고 오른쪽에 나타나는 수들 중 합이 19가 되는 경우를 점을 찍어 표시하고 있다. 즉 16, 2, 1의 합이 19이므로 둘째줄, 넷째줄, 다섯째줄에 점을 찍어 나타내고 있다. 따라서 처음에 가정한 7의 2배, 1/4배, 1/8배의 합이 구하는 답이 된다. 이것을 계산하기 위해서 그림 2와 같은 계산식이 씌어진다 7은 1+2+4이므로 그림 2의 왼쪽 줄의 수 1, 2, 4 각각에 2배, 1/4배, 1/8배 하면 오른쪽 수들을 모두 더하면 구하려는 답이 된다. 이집트에서는 이와 같은 분자가 1인 분수(단위분수)밖에 사용하고 있지 않았다.나) 인도의 역산법인도인들은 주어진 정보로부터 거꾸로 계산하여 답을 얻어내는 방법인 역산법을 사용하여 산술문제를 풀기도 했다. 그럼 역산법의 예를 살펴보자.[문제] 철수 : 야! 손에 들고 있는게 뭐니?귀신 : 응, 맛있는 과자철수 : 나랑 나누어 먹자귀신 : 좋아, 내가 과자를 몇 개 가지고 있는지 맞추면 너에게 반을 줄게철수 : 힌트를 줘귀신 : 내가 가지고 있는 과자의 개수에 3을 곱하고 4를 빼면 네 나이와 같지철수 : (잠시 생각한 후) 알았어 6개구나 (철수 나이는 14살이라고 본다.)귀신 : 어! 어떻게 그리 빨리 알았어?철수 : 네가 계산한 것을 거꾸로 하면 되는 거야!역산법의 과정을 살펴보면?)은 환이다. 환(R,+,?)이 다음 조건을 만족할 때, R은 가환환(commutative ring)이라 한다.R.4 : 곱셈에 관한 교환법칙 : 모든 a, b∈G에 대하여 a?b=b?a예2) 정수의 집합에서는 곱셈 “?”에 대해서 교환법칙이 성립하므로 (?,+,?)은 가환환이다. 그리고 곱셈 “?”에 대해서 항등원을 갖고 있으므로 항등원을 갖는 환이다. 유리수의 집합에서도 곱셈 “?”에 대해 교환법칙이 성립하고 곱셈 “?”에 관하여 항등원 1이 존재하므로 (?,+,?)은 항등원을 갖는 가환환이다.가환환이 아닌 환을 비가환환(noncommutative ring)이라 한다. 환(R,+,?)이 곱셈에 관한 단위원 1을 가질 때, 즉 모든 a∈R에 대하여a?1=1?a=a인 원 1∈R가 존재할 때 R을 단위원 1을 가진 환이라고 한다.예3) 유리수 환 (?,+,?)의 곱셈에 관한 단위원은 1이므로 (?,+,?)은 단위원 1을 갖는 환이다. 환 R의 한 원 a(≠0)에 대하여 a?b=0(b?a=0)인 R의 원 b(≠0)가 존재할 때 a를 左零因子(右零因子)라 한다.예4) 정수?, 유리수?, 실수?은 모두 영인자를 갖지 않는다. 즉, 이들은 ab=0이면 a=0이던가 b=0이기 때문이다. R을 단위원 1을 가진 가환환이라 하고 또를 不定元이라고 할 때, 다음과 같은 꼴의 形式的인 無限合을 환 R위의 (에 관한) 다항식(polynomial)이라고 한다.(단, 유한개를 제외한 모든에 대하여여기서,을 다항식의 차수(coefficient)라고 한다.위의 다항식에서, 모든에 대하여일 때, 이 다항식을으로 나타낸다. 여기서을 다항식의 항(term)이라 하고,일 때의 차수를 n이라 하고 deg=n로 표시한다. R가 단위원 1을 가진 가환환일 때, R위의에 관한 다항식 전체의 집합을로 나타내자. 즉,={}이 때, 다음과 같이 정의된 덧셈과 곱셈에 관하여는 단위원을 가진 가환환을 이루고, 이 환를 R위의 다항식 환(polynomial ring)이라고 한다.「환 R위의 두 다항식로 정의한③ m

교육학| 2009.04.18| 64페이지| 2,000원| 조회(951)

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