오일러의 연구업적

소개

오일러의 수학과 다른 분야에 있어서 연구업적의 정리입니다.

목차

1. 수학에 남긴 그의 발자취
￡ 그의 수학적 연구 ￡
￡ 교과서에 등장하는 그의 흔적 ￡
(1) 오일러 공식 (중 1)
(2) 7개의 다리 문제(중 1)
(3) ‘0’의 역사
(4) 수학기호의 표준화
￡ 오일러의 적용에서의 문제점 ￡
2. 다른 분야의 연구 업적
(1) 역학 (유체역학)
(2) 광학
(3) 철학 (유신론자로서의 오일러)
3. 내가 생각하는 오일러...

본문내용

1. 수학에 남긴 그의 발자취
￡ 그의 수학적 연구 ￡
오일러는 해석 기하학의 응용을 평면과 다른 입체를 형성하는 일반적인 방정식을 알아낸 3차원으로 확장시켰다. 직선은 보통 ax+by+c=0의 형태인데, 3차원 체제에서 대응하는 도형에 대한 일반 방정식은 ax+by+cz+d=0이고, 구에 대한 일반 방정식은 x²+y²+z²=d²인데 이것 또한 원의 방정식 x²+y²=c²,과 닮았다. 기하학(평면)에서 일반 방정식이 두 변수(x, y)를 갖는다면, 그리고 3차원 기하학(입체)이 3개의 변수(x,y,z)를 갖는다면 4차원 기하학에서는 네 개의 변수, n차원 기하학에서는 n개의 변수를 갖는다는 것이 150년 후 일부 수학자들을 지배해 온 생각이었다. 사실 실제적으로는 4차원은 없지만, 4차원의 도형을 설명하는 방정식을 제시할 수 있기 때문에 수학적으로는 4차원이 존재한다. 오늘날 이 4차원은 보통 시간으로 간주되고, 아인슈타인의 상대성 이론에서 이것이 사용된다. 아인슈타인은 그의 이론을 공식으로 나타내기 전에 다른 이들이 한 것에 기초를 두었는데, 데카르트와 오일러가 바로 그들이다.
또한 오일러는 ‘페르마의 마지막 정리(1637년)’로 알려진 문제를 다룬 수학자들 중 한 명이다. (n이 2를 초과할 때, aⁿ+bⁿ=cⁿ을 만족하는 자연수 a,b,c는 존재하지 않는다.) 즉, 3²+4²=5², 5²+12²=13²것은 성립하지만, a³+b³=c³을 만족하는 a,b,c를 찾을 수 없다는 것이다. 오일러 역시 이 문제를 풀기로 하고, n이 3, 4일 때의 불가능성을 증명했지만 실패했다고 생각한다. 물론 이 문제는 1994년 프린스턴 대학의 앤드류 와일스 교수에 의해 증명되었다.
또한 다음과 같은 오일러 함수를 고안해 냈다.
양의 정수 x, n에 대하여 다음과 같은 함수를 정의한다.

그러면 다음이 성립한다.

1보다 큰 모든 정수 n은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

참고자료

· - 수를 사랑한 사람들, 고석구 (경문사)
· - 수학자를 알면 공식이 보인다, 과학동아 편집실 (성우출판사)
· - 고독한 천재들(자연철학자, 수학자를 중심으로), E.T.Bell 지음, 김종철 옮김
· (영남대학교 출판부)
· - 수학사, Howard Eves 지음, 이우영, 신항균 옮김 (경문사)
· - http://home.ewha.ac.kr/~mkkim/sc/euler.htm
· -http://www.busanilbo.com/news2000/html/2007/1116/040020071116.1031103926.html