극좌표 구면좌표계

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지금여러분이친구들과 함께 피자 한 판을주문했다고 합시다. 피자가 왔을 때,여러분은이것을어떤 모양으로잘라서먹습니까? 묻기도좀이상한질문이지만, 아마 99.9%는그림1과 같은 조각들로잘라서나눠 먹을것입니다.

그림1. 피자정상적으로자르기
만일어떤 친구가나서서 다음의그림 2와 같이자른다면, 다음 날부터그친구에 대한소문이학교에떠돌 가능성이 큽니다. 확신하거니와긍정적인소문은 아닐 겁니다.

그림 2. 피자 이상하게 자르기
이것은 우리가 원을나눌 때, 그림1과 같이 해야 한다고 본능적으로느끼고있다는 이야기입니다. 그렇습니다. 우리는 대칭성을추구하려는 성향을 가지고있습니다. 그래서 피자를자를때도, 잘린 것들이서로모양이 같아야 마음이편한 것입니다(물론 각 조각의 크기도거의같아야 마음이 편합니다).
그런데, 우리가 반지름인 원의면적을 구할 때, 처음에나오는 식은 다음과같습니다.

???? ???? 식(143)
?
이식을그대로 해석하면, 바로 그림 2와같이 원을이상하게 잘라서 그 작은조각들의 면적을더하겠다는뜻이됩니다. 그것도≥? 인 반원만 잘라서면적을 구하고, 그것을 두배를해서 전체 면적을구하겠다는 의미가 됩니다.
뭔가이상하지 않습니까? 피자를먹을 때도그림 1처럼하는데, 대칭성을 더철저히추구해야 하는수학에서 왜 이런식을세울까요? 그것은우리가지금까지오직 ???좌표계만을배웠기 때문입니다. 이와같은 직각좌표계에서는 원형대칭성(circular symmetry)을 가지고 있는대상이라도식(143)과같이표현할 수밖에없겠지요.
그런데 2차원 평면위의 위치를나타내는방법에는???좌표로표시하는방법만 있는것은 아닙니다. 어떤 다른 방법이 있을까요? 네, 그림3과 같이누구나 쉽게 생각할수있는 방법이있습니다.

참고자료

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