[기하학][수학] 피타고라스 정리의 다양한 증명, 피타고라스 정리의 일반화

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피타고라스의 정리의 다양한 증명과 일반화에 대해 작성한 보고서입니다.

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본문내용

유클리드 평면 내의 임의의 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다. 수천 년간 인류의 삶과 함께해 온 피타고라스의 정리는 그 역사만큼이나 연구된 바가 많다. 지난 3번의 수업시간동안 우리는 그중 일부나마 피타고라스의 정리의 역사를 되짚어보기로 했다.
우선 우리는 역사적으로 의미가 있는 피타고라스와 유클리드의 증명법에 대해 알아보았다. 피타고라스는 <그림 1>과 같이 분할법으로 피타고라스의 정리를 증명했다고 알려졌다. 그림에서 두 개의 큰 정사각형의 넓이는 같고, 여기에서 합동인 4개의 직각삼각형의 넓이를 뺀다. 왼쪽과 같이 분할하면 그 결과는 (III)이 되고, 오른쪽과 같이 분할하면 그 결과가 (I)+(II)가 된다.

<중 략>

위와 같이, 수천 년 동안 피타고라스의 정리는 수많은 방법으로 증명되고 일반화되었다. 300년에 이루어진 Pappus의 일반화를 보고 그 역사에 대해 감탄하고, 불과 50여년 전에 이루어진 Polya의 일반화를 보고 피타고라스의 정리가 아직까지도 연구되고 있다는 것에 대해 놀랐다. 그러나 이번 수업에서 아쉬운 점은, 우리가 배운 것이 여전히 유클리드 평면에 국한되어 있다는 것이다. 공간으로의 일반화에 대해서도 배웠지만, 삼수선의 정리를 제외하고는 모두 평면기하적 아이디어를 이용하면 증명할 수 있는 것이었다. 앞으로 비유클리드 기하학을 배우게 되면, 구면이나 쌍곡선상에서 피타고라스의 정리가 어떠한 방식으로 변형되고 확장될 수 있는지 더 알아보고 싶다

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