‘우리 수학자 모두는 약간 미친겁니다’-폴 에어디쉬 作제목부터가 굉장히 자극적이고도 인상 깊은 이유로 하나만으로 이 책을 책장에서 뽑아들었다. ‘미쳤다라니...’ 이런 교양도서에서 이런 표현을 써도 되는 것인가. 그 내용이 궁금해졌다. 아무리 수학이 좋아 수학과에 들어갔지만 수학에서 쓰는 ‘수’ 자체에 대한 흥미는 전혀 없었기에 사실 수학사라는 과목이 매우 생소하게 느껴지는 건 사실이다. 아무래도 초, 중, 고등학교 동안 수에 대한 흥미를 일으킬 수 있는 여지가 없었기도 했고, 아무래도 입시위주의 수학만 접하다 보니 이런 거 읽어서 뭐하나..라는 생각도..(교수님 죄송합니다) 교수님이 얼마 전 나누어 주신 수학 책갈피를 요즘 유용하게 쓰고 있는데, 문득 책갈피의 구문 "My brain is open" 를 곱씹어보고 있자니 이 멋진 말을 한 사람이 폴 에어디쉬- 그러니까 이 책의 저자라는 것을 알게 되니 더 더욱이 이 책과 나와의 연관성에 대해 생각해보기도 했다.미쳤다는 것은 무얼까? 우리가 누군가에게 미쳤다고 하면 주로 부정적인 의미로 많이 쓰게 된다. 그것은 그 사람이 평범한 사람이 가지고 있는 보통의 사고방식과는 전혀 다른 어떤 가치관을 지니고 있다는 것을 말한다. 또는 어떤 특정한 것이나 일에 매우 푹 빠져 있어서 오직 그것에만 몰두하는 것을 두고도 우리는 그 사람을 미쳐있다고 표현한다. ‘우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다.’ 라는 책을 읽어 내려가면서, 책의 주인공이라고 할 수 있는 폴 에어디쉬(Paul Erdoes)를 두고 나는 위에서 조심스럽게 정의한 ‘미쳤다’의 의미 두 가지 경우를 모두 적용할 수 있겠다고 생각했다.헝가리에서 태어난 천재 수학자 폴 에어디쉬는 진정으로 수학에 미쳐있었다고 말할 수 있을 것이다. 그는 수학이 아닌 것은 제대로 할 줄 몰랐던, 우리의 입장에서 바라보면 정말 바보스러울 정도로 몰랐던, 천재였다. 심지어 자기 혼자서는 밥을 지을 줄도, 여행을 할 줄도, 창문을 닫을 줄도 모르는 인간이 폴 에어디쉬였다. 그는 결혼도 하지 않았으며, 사랑을 해봤다면 오직 그는 평생동안 숫자를 사랑하고 숫자와 결혼한 사람이라고 얘기하고 싶다. 그는 집도 없었다. 머무를 곳도 없이 그는 수학이 있는 곳이면 어디든지 그의 여행용 가방을 들고 찾아다니며 새로운 사람들과 함께 수학문제를 풀고 증명하곤 했다. (마치 얼마전 수학사 시간에 본 영화 ‘박사가 사랑한 수식’의 그 할아버지와 비슷하다고 느꼈다.) 그러나 그는 항상 수학을 함께 즐길 새로운 사람을 만나면, “내 두뇌는 열려 있습니다.(My brain is open.)" 이라고 말하며, 자신의 지식을 모두 개방한다. 그는 그만큼 수학이란 학문에 대하여 언제나 누구에게나 자신의 두뇌를 열어주었다. 이것은 그의 수많은 논문 중에서 상당수가 공동으로 연구한 것이라는 사실을 봐서도 쉽게 알 수 있다. 수학자들이 수많은 시간을 들여서 연구하여, 자신만이 알아낸 어떤 지식을 공개하기 전에 다른 사람이 먼저 그 연구 결과를 발표할까봐 정보 교류를 다소 꺼리는 편인 사실을 볼 때, 폴 에어디쉬는 학문적으로 매우 개방적이고 욕심이 없는 수학에 대해 순수한 사람이라고 말하고 싶다. 수학문제를 풀다가도 아무리 모르는 답답한 내용도 스터디를 통해 서로의 생각을 나두다가 갑자기 무언가가 떠올라 막힌 문제를 풀어나간 경우가 많았다. 과 친구들과 해결하기 난감한 문제에 봉착할 때 이야기를 나누면서 해결하는 그 과정이 굉장히 유의미한 활동이라는 생각이 들었다.이 책은, 이렇게 전혀 평범하지 않은 수학자 폴 에어디쉬의 삶에 대하여 우리에게 이야기하고 있다. 하지만 누군가의 일대기라기보다는 그의 삶을 통하여 우리에게 수학이란 무엇인가, 또 수학의 아름다움과 매력을 느끼도록 도와주는 흥미로운 책이라고 할 수 있다. 에어디쉬 외에도 많은 인물들이 이 책에 등장하여서, 수학에 대하여 여러 가지 다양하고 재미있는, 어쩌면 너무나 어려운, 많은 이야기들을 우리에게 전해주고 있다. 책을 읽다보면 정말 깜짝깜짝 놀랄 이야기들이 자주 등장한다. 도저히 나의 머리로는 생각해 낼 수 없을 것 같은 그런 것들이 이 책에는 담겨져 있다. 정말 감탄할 수밖에 없는, 그런 증명이나 수학에 관련된 것들이 나온다. 천재 수학자들의 그러한 에피소드는 나에게서 이 책을 놓지 못하게 만들었다.이 책은 나를 이렇게 놀랄만한 수학적 생각으로 감동시킨 점도 있지만, 나로 하여금 인생이란 무엇인지 다시 한 번 생각하게 만드는 그런 자극제 역할도 해주었다. 여기 책에 나온 수많은 수학자들은 대부분 수학에 미쳐서 살았다. 수학은 그들의 양식이었으며 애인이었다. 무엇이 그들로 하여금 수학에 빠지게 하였는지 나는 그들을 이해하지 못할 수도 있다. 오로지 수학만 붙들고 인생의 대부분을 보낸 그들은 과연 행복했을까하는 의문도 들었다. 그들이 볼 때에는 내가 아주 불행한 사람으로 보일지도 모른다. 나는 수학을 내 인생에서 제일 중요한 것이라고 생각하지 않기 때문이다. (그렇지만 나에게도 폴에어디쉬가 수학에 애착에 갖는 만큼의 애착대상이 있기에 나의 삶이 결코 불행하진 않다고 생각한다. )하지만 이것만은 확신 할 수 있다. 대부분의 사람들은 인생을 행복하게 보내고 싶어할 것이다. 인생을 불행하게 보내고 싶은 사람은 이 세상에서 몇 안 될 것이며, 있다 하더라도 그들은 매우 특이한 사람일 것이다. 행복한 인생을 보내고 싶은 것은 아마도 모든 인류의 꿈이 아닐까 생각된다. 그러면, 이제 행복이란 무엇인가가 문제가 된다. 많은 사람들이 아주 오래 전부터 행복에 대하여 탐구하고, 연구해왔으며 이에 대한 의견을 내놓았지만, 그 누구도 정확히 행복을 정의하지는 못하였을 것이다. 어쩌면 당연한 것일지도 모른다. 행복은 객관적이 아닌 철저히 주관적인 것이기 때문이다. 어떤 사람은 손에 들린 아이스크림 하나만으로도 행복을 누릴 수 있을 것이고, 어떤 사람은 복권에 당첨 되었어도 행복하지 않을 수 있다. 이처럼 행복은 사람마다 다르게 느끼는 것이다.
TESS 프로그램을 이용한 수학과 교수 학습 과정안셀레이션의 활용테셀레이션은 학생들이 공간감을 기르는데 큰 도움이 된다, 수학을 지도하다 보면 학생들이 ‘도형’ 영역을 가장 어려워한다. 이는 도형 영역이 다른 영역에 비하여 추상적이고 창의적인 사고를 필요로 하기 때문이다. 이러한 어려움을 극복하기 위해서 테셀레이션을 이용할 수 있다, tess는 바로 테셀레이션 구현 시 학생들이 흥미를 가지고 참여 할 수 있는 소프트 웨어다. 테셀매니아느 다른 프로그램에 비해 작동이 쉬워 학생들이 어려움 없이 수업의 목적을 달성할 수 있다. 어떠한 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮을 수 있어 학생들이 추상적인 도형을 구체적으로 이해할 수 있다. 따라서 학생 지도시 5-가의 무늬 만들기 영역에 많은 연관성을 가지고 있으므로 수업시 활용하면 많은 도움을 받을 수 있다.들어서기전에...이 지도안은 2단원 무늬 만들기 단원의 내용을 모두 학습 한 후 수학 시간 이외의 특별활동 시간이나 제량활동 시간에 심화 보충 활동으로 활용할 수 있도록 구성해 보았다. 시간 또한 테셀레이션을 구성할 수 있는 기본 활동과 테셀레이션을 꾸며보는 활동을 이어지게 하도록 하기위해 다소 부담이 되더라도 시간을 조금 늘려서 함께 할 수 있도록 구성했다. 이에 일반 수업 시간보다는 시간적인 면에서 보더라도 재량 활동 시간에 사용하는 것이 좋으리라 생각되었다. 이 시간의 활동은 이미 무늬만들기에서 배운것들을 기본으로 하여 컴퓨터로 나타내보는 활동이기 때문에 무엇을 새로 배운다라는 의미보다는 배운 것을 다양한 매체를 통해서 나타낼 수 있고, 또한 생활 속에 그러한 것들이 많이 존재함을 알고, 이야기와 함께하는 테셀레이션을 만들어 보면서 표현하는 능력을 키우는 것에 의미가 있다고 할 수 있다. 그렇기 때문에 교사는 이 활동에 앞서서 이미 아동들이 충분하게 도형의 이동의 의미 와 방법에 대하여 숙지 할 수 할 수 있도록 해야 하며, 컴퓨터를 이요하는 수업이기 때문에 아동들이 컴퓨터를 잘 다룰 수 만들어 볼 수 있다.학습 주제규칙에 따라 (옮기기, 뒤집기, 돌리기)무늬를 만들어 보자학습자료Tess프로그램, 빔 프로젝트, 컴퓨터학습 유형개인별, 소집단 협력 학습학습 단계학습과정교수??학습 활동자료 및 유의점시간(분)교수활동학습활동도 입학습 문제 알기☆동기유발▶여러분~선생님이 수업 시작하기 전에 보여줄 그림이 있어요. 이 그림 본적 있나요?▶이 그림이 왜 신기해보일까?▶음, 그럼 우리가 전 시간에 배웠던 것으로 좀 더 자세하게 이야기 해볼까?▶맞아요, 잘 이야기 했어요.또 우리 주변에서 이런 모양들을 어디에서 볼 수 있을까?▶모두들 맞는 이야기예요.그러면 우리가 말하는 이런 빈큼이 없이 빽빽하게 규칙을 가지고 채워져 있는 것들을 무엇이라 할까요? 이런 것들을 ‘테셀레이션’ 이라고 한단다.◈학습 목표 인지하기.Tess 프로그램을 이용하여 무늬를 이동할 수 있고, 새로운 무늬를 창의적으로 만들 수 있다.▶여러분, 오늘 우리는 선생님이 말한 ‘테셀레이션’을 예전에 도형 옮기기에서 배운 것들을 바탕으로 Tess 프로그램을 이용하여 직접 해볼거예요.▶도형을 이동하는 방법에는 무엇이 있다고 배웠었지?▶그렇지, 오늘 그 방법들을 활용할 거예요. 저번 시같에 배웠던 것들을 다시 머리속으로 잘 떠올려보도록 해요.▷아니요.▷신기해요.▷같은 모양이 서로 빈 칸이 없이 다 붙어 있어요.▷물고기가 같은 색깔 끼리는 옮기기기 같구요, 검은 색이랑 파랑 색은 뒤집기, 검은 색이랑 빨강색은 돌리기 인 것 같아요.▷화장실 타일이요.▷벽지요▷포장지요▷아, 그렇구나▷네. 선생님.(학습목표를 읽는다.)▷밀기, 돌리기, 뒤집기요.▷네, 잘 기억 할 수 있어요-에셔의 테셀레이션이 담겨있는 그림들, 다양한 그림을 보여주는 것이 좋다.-다양한 생활 속의 테셀레이션을 끌어내도록 하고, 생활 속에서 수학을 느낄 수 있도록 한다.-컴퓨터를 활용하는 활동이므로, 아동이 산만해 지거나 다른 작업에 손을 대지 않고 주어진 주제에 집중할 수 있도록 체계적인 순회가 필요하다.7분5분전개▶자 ~ 우리는 활동 두가지잘 따라 할 수 있겠죠??활동 1▶선생님이 먼저 하트를 만들어 보았어요. 잘 보이나요?▶그럼 우리 모두 각자 자기가 좋아하는 모양을 한 번 그려보아요. 그 모양이 기본이 될 거예요.▶자, 이번엔 선생님이 주어진 하트를......짠, 어떻게 한걸까요?▶맞아요, 옮기기죠, Tess에서 옮기기를 할때에는..(옮기기 방법을 보여준다.) 이렇게 하는 거예요. 이해했나요? 그럼 모두 자신의 그림을 여러방향으로 옮기기 해보아요.▶옮기기가 끝났나요? 그러면 돌리기. 뒤집기도 한번 해볼까요? 돌리기는..(돌리기 방법을 보여준다.) 이렇게 하는 거예요. 뒤집기도....(뒤집기 방법을 보여준다)이와 같은 방법으로 할 수 있어요. 굉장히 쉽죠?▶자 우리 이제 모두 자신의 기본 그림을 Tess 프로그램을 이용하여 밀거나 뒤집거나 돌리 수 있죠? 손으로 직접 그리는 것과 컴퓨터로 하는 것과 어떤 차이가 있나요??활동 2▶그러면 우리 이번에는 무엇을 해볼까요? 컴퓨터로 밀기, 뒤집기, 돌리기를 연습해 보았으니 이것을 이용해서 이야기를 만들어 볼까요?▶밀기, 돌리기, 뒤집기의 방법은 잊지 않았죠?▶자 그럼, 각각의 조에서 서로 주제를 정해서 이야기를 꾸며보도록 해요.각 조만의 경험이나 이야기가 들어가있는 이야기를 만들어 보도록 할까요?▷네!▷네, 잘보여요. 예뻐요▷하고 싶은거 그리면 되요?▷다 그렸어요!▷음, 선생님은 하트를 옆으로 옮기기 하셨어요!▷네!(자신의 그림을 직접 옮기기 해보도록 한다.)▷어려워요!▷재미있어요, 쉬워요.▷네, 잘 할 수 있어요.친구가 도와줘서 잘 됐어요.▷컴퓨터로 하니까 삐뚤어지지 않고 내가 하고 싶은대로 잘 되어서 좋아요.▷네▷네!조별로 자신들의 경험이나 이야기가 담길 만한 도형을 정하고 그 도형을 여러 가지 방식을 이용한 규칙이있는 이야기를 구성하도록 한다.-컴퓨터를 활용하는 활동이므로, 아동이 산만해 지거나 다른 작업에 손을 대지 않고 주어진 주제에 집중할 수 있도록 체계적인 순회가 필요하다.-미리 몇몇의 아이들에게 교육을 시켜 보조 교사를 만들어 두고, 하나 멋지지 않은 작품이 없는 것 같아요. 모두들 수고했어요.☆평가▶모두들 잘했다는 의미에서, 서로 다른 조에 스티커를 붙어주기로 하겠어요, 자신의 조를 제외한 조 중에서 가장 잘한 조에게 스티커를 붙여주세요.☆차시예고▶우리 반 친구들 오늘 정말 잘했어요. 다음 시간에는 오늘 배운 돌리기 뒤집기 옮기기를 이용하여 빈칸을 빈틈 없이 메꾸는 테셀레이션을 해볼꺼예요. 궁금한 친구들은 미리 살짝 공부해와도 좋아요. 자, 여러분 오늘 수고 했어요. 다음시간에도 재미있는 tess 놀이를 해봐요!▷ 저희조요!각 조의 이야기를 감상하도록 한다.▷각조의 점수판에 가서 자신의 조를 제외하고 잘한 조를 골라 스티커를 붙어 준다.-평가는 다른 학습지나 지필평가보다는 서로의 상호평가를 통하여 선생님이 아닌 스스로 평가해 볼 수 있도록 한다.-다음시간의 주제를 미리 공부해 볼 수 있도록 한다. 단 너무 자세히 공부하도록 유도하지 않는다.73분2분컴퓨터에 능숙한 아동들을 미리 교육시켜 아동들이 직접 보조교사가 되어 볼 수 있도록 하여 컴퓨터 조작이 더뎌 수업 진행이 느린 경우를 미리 막아야 할 것이다. 또한 아이들이 컴퓨터의 다른 작업에 집중하지 않고 테셀레이션에 집중 할 수 있도록 체계적인 순회를 하는 것도 필요하다.학년5학년단원2.무늬 만들기차시2 / 2학습 목표?tess를 이용하여 한 가지 무늬를 옮기기, 돌리기, 뒤집기를 혼합하여 새로운 무늬를 만들 수 있다.학습 주제옮기기, 뒤집기, 돌리기를 혼합하여 무늬를 만들어 보자.학습자료Tess프로그램, 빔 프로젝트, 컴퓨터학습 유형개인별, 소집단 협력 학습학습 단계학습과정교수??학습 활동자료 및 유의점시간(분)교수활동학습활동도 입학습 문제 알기☆동기유발▶여러분 오늘은 tess를 이용한 테셀레이션을 배워보기로 했죠? 다들 지난 시간에 배웠던 내용 기억하나요?먼저, 수업 들어가기전에 선생님이 보여줄것이 있어요. 재미있는 영상이니 우리 함께 지켜보도록 해요.(2002년 월드컵 파도타기 응원 동영상을 보여준다)▶그때의 감흥이 느껴지나요? 파있는 활동을 배워볼까요?▶오늘은 테셀레이션이라는 것을 배워볼꺼예요. 테셀레이션이란 마루나 욕실 바닥에 깔려있는 타일처럼 어떠한 틈이나 포개짐이 없이 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮는 것을 뜻해요. 학습 목표를 크게 익어볼까요?◈학습 목표 인지하기.?tess를 이용하여 한 가지 무늬를 옮기기, 돌리기, 뒤집기를 혼합하여 새로운 무늬를 만들 수 있다.▶여러분, 오늘 우리는 선생님이 말한 ‘테셀레이션’을 예전에 도형 옮기기에서 배운 것들을 바탕으로 Tess 프로그램을 이용하여 직접 해볼거예요.▶테셀레이션 작품 하나를 보여줄게요. 지난시간 선생님이 수업하기 전여러분에게 보여준 물고기 그림 생각나나요? 그 작품을 만든 작가의 다른 작품이예요. 이 작가는 테셀레이션을 이용하여 아름다운 작품을 만드는 걸로 유명해요. 우리모두 이번 시간에 멋진 예술가가 되어볼까요?▷네~▷저 해봤어요.손을 들어 환호하는데, 옆사람들이 막 이어서 하고 또 그 옆사람이 이어서 손들고..하는 거예요▷tess프로그램에서 옮기기가 아닐까요?▷네~(학습목표를 읽는다.)▷네!-에셔의 테셀레이션이 담겨있는 그림들, 다양한 그림을 보여주는 것이 좋다.-다양한 생활 속의 테셀레이션을 끌어내도록 하고, 생활 속에서 수학을 느낄 수 있도록 한다.-컴퓨터를 활용하는 활동이므로, 아동이 산만해 지거나 다른 작업에 손을 대지 않고 주어진 주제에 집중할 수 있도록 체계적인 순회가 필요하다.7분5분전개▶자 ~ 우리 먼저 파일 메뉴로 들어가서 새 Heesch타일링이라고 써있는 것을 눌러볼까요?자 이런 것이 뜨네요. 이것이 도대체 무엇을 뜻하는 걸까요? 여러 타일링 모양중 하나를 선택하여 Heesch타일링이라는 키가 어떤 건지 확인해 봅시다.▶맞아요, 일단 만들어진 모양을 마우스로 아무곳이나 눌러보거나 움직여 보아요. 어떤 현상이 일어나는지 관찰하여 옆의 친구에게 설명해 봅시다.▶굉장히 신기하죠?처음에있었던 모양은 어디로 갔는지 이젠 더욱더 신기한 모양이 되었어요. 마우스를 움직이면 자신이 원하는 모양을 만들 수 있답니
폴에어디쉬의 우리 수학자 모두는 약간 미친겁니다를 읽고
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