수학의 기초와 기본개념

소개

수학의 기초와 기본개념에 대하여 요약정리한 레포트

목차

1. 유클리드 이전의 수학
2. 유클리드 원론
3. 비유클리드 기하
4. 힐베르트의 기초
5. 대수적 구조
6. 형식적 공리학

본문내용

◎ 유클리드의 정의, 공리, 공준
공리: 보기를 들어 같은 것과 같은 것은 또한 서로 같다라는 명제와 같이, 가정되고 원리로 평가된 것이 학생에게 이해되고 그 자체로 수긍이 가면 그런 것은 공리이다.
정의: 반면에 학생에게 제시된 것이 그 자체로 수긍이 간다고 이해되지 못하지만 그럼에도 불구하고 그것을 가정으로 선택하는 데 동의할 때, 그런 가정을 정의라 한다.
공준: 주장된 내용이 밝혀지지 않았고 학생의 동의가 없어도 가정될 때, 그것을 공준이라 부른다.
공리는 어떤 것에 관해 자명하게 가정된 명제이고, 공준은 어떤 것에 관해 자명하게 가정된 해석이다. 따라서 공리와 공준 사이의 관계는 정리와 작도 문제 사이의 관계와 매우 유사하다. 공리는 모든 학문에 공통적인 가정인 반면에, 공준은 연구하려는 특별한 학문에 특유한 가정이다. 공리는 학생에게 자명하고 받아들일 수 있는 대상에 대한 가정이다. 공준은 학생에게 필연적으로 자명하지도 않고 필연적으로 받아들여지지도 않는 대상에 관한 가정이다. 유클리드의 원론을 형성하고 있는 13권에는 전체적으로 465개의 정리가 실려 있다. 일반적인 느낌과는 반대로, 이 정리 중 많은 부분은 기하학이 아니라 수론과 초등(기하적) 대수학에 관한 것이다. 제 I 권은 필수적이고 예비적인 내용과 함께 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등을 포함하고 있다. 제 II 권은 기하적 대수학, 제 III 권은 원, 제 IV 권은 정다각형의 작도에 각각 충당되었다. 제 V 권과 제 VI 권은 에우독소스의 비율 이론과 그것의 기하학에의 응용을 포함하고 있다. 제 VII, VIII, IX 권은 모두 합쳐서 102개의 정리를 포함하고 있는데, 초등 수론을 다루고 있다. 제 X 권은 무리수의 연구에 충당되었는데, 그 내용의 많은 부분은 테아이테토스의 것이다. 나머지 세 권은 입체 기하학을 고려하고 있다. 유클리드 제 I권 제 1의 원리(유클리드의 원론의 하이베르크 원본을 히스가 번역)
정의
1. 점은 부분이 없는 것이다.
2. 선은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 끝은 점이다.
4. 직선은 그 위에 점들이 고르게 놓인 선이다.
5. 면은 단지 길이와 폭만을 갖는 것이다.
6. 면의 끝은 선이다.
7. 평면은 그 위에 직선들이 고르게 놓인 면이다.
8. 평면각은 한 평면 위에서 만나지만 하나의 직선 위에 놓이지 않는 두 선 사이의 기울기이다.

참고자료

· 없음