[수학교육]형식불역의 원리와 교과서 사례

소개

형식불역의 원리의 개념에 대하여 살펴보고 교과서 내의 사례를 살펴보았습니다.
형식불역의 원리의 개념에 대하여 살펴본 후에
교과서를 스캔하여 정확히 어떻게 이용되었는지 알 수 있습니다.

목차

⊙ 형식불역의 원리란??

⊙ 교과서 내의 형식불역의 원리 사례
- 자연수
- 정수
- 유리수
- 실수

본문내용

◉ 형식불역의 원리란??
‘형식불역의 원리(principle of the performance of equivalent forms)’란 처음에 기존의 수 체계에서 인정된 성질이 그대로 유지되도록 수 체계를 확장하는 대수적 구조의 확장 원리를 말하는 것으로, H. Freudenthal은 이를‘대수적 원리(algebraic principle)`라고까지 부르고 있다.

형식불역의 원리는 1830년에 출판된 영국의 G. Peacock의 저서 Treatise on Algebra에서 처음으로 등장한다. Peacock은 그의 책에서 대수학에 《유클리드 원론》과 견줄만한 논리체계를 갖추려 하면서 자신의 책을‘대수학의 유클리드’라고 불렀다. 그는 자연수로 한정된‘산술대수’에서는 뺄셈 a-b에서 반드시 a>b 이어야 하지만‘기호대수`에서는 뺄셈은 항상 가능하다는 점에서‘산술대수(arithmetic- algebra)`와‘기호대수(symbolic algebra)’의 구분을 찾아볼 수 있다. 그는 이러한 ‘산술대수’의‘기호대수’로의 확장을‘형식불역의 원리’라고 불렀다. 형식불역의 원리는 그 후 수학에서 강력한 개념으로 간주되었으며, 오늘날에도 여전히 정의를 확장하고 정리를 일반화하고자 할 때 기본적으로 고려되는 지침이 되고 있다. (Eves, 1995:459-460, 우정호, 2000:160-161에서 재인용)

(음수)*(음수)=(양수)인 것을 교수학적으로 설명하려는 시도는 수직선 모델이나 채무 관계, Gattegno가 제안한 셈돌 모델, 우체부 이야기 모델 등의 다양한 직관적인 모델을 통해 도입할 수도 있고 그 본질에 입각하여 형식적으로 정의할 수 있다. 그러나 처음에 음수 개념과 음수의 연산을 실제의 물리량과 관련을 지으려고 하면서 그 정당성은 획득하기 어려웠다. 17세기에 이르러 해석기하학이 탄생되면서 어떤 개념에 대한 다양한 해석을 시도하게 되었는데, 데카르트에 의한 기하학의 좌표화는 음수에 대한 확신을 한층 강화시켜 음수를 정당한 수로 만드는 계기가 되었으며, 방정식의 일반적인 타당성에 대한 요구 때문에 그 효용성이 일반적으로 용인받게 된 것이다.
그 후 19세기 독일의 수학자 Hankel에 의해 수에 대한 관점의 기본적인 변화가 일어나게 되었는데, 곧 구체적인 관점에서 형식적인 관점으로의 변화이다. Hankel은 음수를 받아들이기 위하여 구체적인 모델을 더 이상 찾지 않았다. 그에게 음수는 실제적인 것을 나타내는 개념이 아니라 형식적인 구조를 이루는 것이었다. 여기서 비로소 음수 개념을 량의 개념과 관련짓지 않고 순전히 형식적인 개념으로 간주할 수 있게 되었다. Hankel은 양수 체계를 구성하는 여러 가지 원리를 그대로 유지하면서 음수 체계를 연구하였는데, 이렇게 하여 얻은 음수의 구조는 대수적으로 모순이 없음을 확인하였다.
이것이 바로 형식불역의 원리이다.

참고자료

· Eves, 1995:459-460, 우정호, 2000:160-161에서 재인용
· 우정호, 1998:202-204
· 우정호, 1998:207