[수학교육]비유클리드기하학의 발생 배경

소개

비유클리드 기하학의 발생 배경과 대표적인 수학자들에 대해 정리하였습니다.

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본문내용

19세기의 전반부에 매우 주목할 만하고 혁명적인 두 가지 수학적 발전이 일어났다. 첫째는 1829년 경 종래의 유클리드 기하학과는 다르며 그 자체에 모순이 없는 기하학의 발견이고, 둘째는 1843년 실수체계의 잘 알고 있는 대수와는 다른 대수의 발견이다. 이 두 발전 중 기하학의 발견은 비유클리드 기하학이다.
유클리드(기원전 300년경)가 그의 `원론`에서 설정했던 물질 세상의 5가지 공준은 2,000년 동안 참인 것으로 인정되어 왔다. 이 중 하나가 유명한 평행선 공준(parallel postulate)이다. 유클리드는 평행선을 동일 평면상에 존재하며 양 방향으로 아무리 연장해도 만나지 않는 두 직선으로 정의하는 것과 그의 유명한 평행공준을 공리로 채택하는 데 어려움을 겪었다. 이 공준은 다른 것처럼 간결하고 단순히 설명되는 점이 부족하고, 자명한 특성을 가지고 있지 않다. 평행선 공준이란 "직선 L과 이 직선 위에 있지 않은 점 P가 있으면, 점 P와 직선 L로 결정되는 평면에서 점 P를 지나고 직선 L과 평행인 직선은 오직 하나만 존재한다."이다.
수세기 동안 수학자들은 유클리드의 다른 공준을 이용해 평행선 공준을 증명할 수 있을 것이라 믿어왔는데 그렇게 된다면 이것은 공준이 아니라 정리가 되는 것이었다. 때문에 많은 사람들이 평행선 공준이 다른 공준의 논리적 추론의 결과임을 밝혀보고자 다양한 시도를 해보았으며 이러한 시도는 200년 동안 기하학자들을 묶어두었다. 또한 현대 수학의 가장 미치기 어려운 발전 중의 일부가 되었다. 많은 증명들이 제안되었으나 한결같이 공준 자체와 동치인 가정에 기초한 것이라는 것이 밝혀지기 일쑤였다.

그 중에서 주목할 만한 결과는 이탈리아 예수회의 성직자이자 수학자인 사케리의 연구였다. 18세기 사케리는 평행선 공리를 부정함으로써 기하학의 모순을 얻어내려는 보다 진보된 논리를 펴 보았다. 이런 과정에서 그는 비유클리드 기하학의 일종인 쌍곡적 기하학의 정리를 많이 얻었지만 워낙 유클리드 기하학만이 유일한 기하학이라는 신념에 투철했던지라 곧 그는 멍청한 결과를 얻었다고 스스로 생각하고는 이 논리를 포기하였다.

참고자료

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