비유클리드 기하학의 성립배경

소개

유클리드기하학의 성립배경에 대한 보고입니다.

목차

1. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학
2. 비유클리드 기하학의 성립배경
3. 비유클리드 기하학의 의미

본문내용

1. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학
유클리드의 원론에 등장하는 삼각형, 사각형, 원, 정육면체, 원기둥, 구 등의 물체들은 우리 주변에 있는 거의 모든 대상이 그렇듯이, 모두 유한한 길이와 부피를 가진다. 마치 일상적인 기하학은 무한과 무관한 것처럼 느껴지지만 무한과 일상적인 기하학은 떨어질 수 없는 사이이다.
그것은 모든 기하학적 도형 중 가장 단순한 것, 즉 직선을 고찰해 보면 쉽게 알 수 있다. 직선은 양쪽 방향으로 무한히 펼쳐지기 때문에 직선을 일차원 세계 안에서의 ‘멀리 나가는 방법’으로 생각할 수 있다. 바로 이러한 단순한 생각이 19세기 중반에 이루어진 근본적인 수학 혁명인 ‘비유클리드 기하학’의 탄생을 이끌었다. 우리가 그릴 수 있는 것은 직선이 아니고 오직 선분이므로, 두 직선이 만나는 지 만나지 않는 지를 경험적으로 증명할 수는 없다는 것이다. 물론 선분을 계속해서 연장할 수는 있으나 영원히 즉 무한히 연장시켜 볼 수는 없기에 간접적으로 평행선 공리를 증명하고자 했던 시도로 비유클리드 기하학이 탄생되었다.

1.1. 비유클리드 기하학이란 무엇인가?
유클리드의 반대라고 생각할 수 있는데, 이는 유클리드 기하학과 다른 모든 기하학을 말한다. 유클리드 평면에 대한 상대 개념으로 비유클리드 기하학에서는 곡면을 생각할 수 있다. 단지 평행 공리가 두 기하학을 구분할 뿐이다.

1.2. 비유클리드 기하학을 설명할 수 있는 쉬운 예
① 비유클리드 기하학에서는 농구공 위에 세 각이 90인 삼각형도 그릴 수 있다.
② 유클리드 기하학에서는 평행한 직선은 절대로 만나지 않지만, 비유클리드 기하학에서는 가능하다. 지구의 모든 경도는 평행선이지만 북극과 남극에서 만난다. (→ 리만의 타원기하학)

2. 비유클리드 기하학의 성립배경
기원전 3세기 그리스 시대부터 전해 내려온 유클리드 기하학은 많은 사람들로부터 그것이 진리라는 것, 그리고 절대적이라는 신념을 갖게 하였다. 따라서 유클리드 기하학을 이루는 근원인 유클리드 <원론>은 기하학의 성서와 같이 다루어졌고, 그 공리나 공준에 반하는 주장은 18세기에 들어와서야 나타나게 되었다.

참고자료

· 김용운, 수학사의 이해, 우성, 1999
· 고석구, 비유클리드 기하학, 경문사, 2003
· 충남대학교, 이미라, 중등수학교육에서 비유클리드 기하학에 관한 연구, 1999
· 순천대학교, 이애진, 비유클리드 기하학의 발달과정에 따른 수학자의 업적, 2002
· http://www.encyber.com/