미적분학, 무한급수의 개념

소개

무한급수의 개념

목차

무한급수의 개념
근사적 자유
무한급수와 파이의 관계
테일러 급수
푸리에급수

본문내용

무한급수 [ 無限級數 infinite series ]의 개념

무한히 많은 항으로 이루어지는 급수. 수열 또는 함수열을 차례로 덧셈기호로 묶은 것을 급수라 하고, 급수를 구성하는 각 요소를 급수의 항이라고 한다. 항의 수가 무한하게 많은 것을 무한급수라 하고, 항의 수가 유한인 것을 유한급수라고 하는데, 현대수학에서는 단순히 급수라고 하면 무한급수를 뜻한다.
무한급수에서는 그것이 수렴하는가 발산하는가의 판정과, 수렴할 경우 그 급수의 합을 구하는 것이 중요한 문제이다. 많은 중요한 상수가 무한급수로 나타내진다. 이를테면 각 항의 함수인 무한급수는 그것이 수렴하는 변수의 범위와, 그 범위에 있어서의 그 급수의 합으로 나타내어지는 함수의 성질이 문제가 된다. 함수를 항으로 하는 급수는 함수를 표현하는 유용한 방법의 하나이며, 멱급수와 푸리에급수는 그 대표적인 예이다.




[ 코사인 함수들의 합으로 나타내기 ]
앞에서는 현악기와 비슷한 느낌을 내기 위해 사인함수를 이용했지만, 실제로는 기술적인 이점으로 인해 코사인 함수가 더 자주 사용된다.
0~5의 n에 대해, cosnx의 그래프를 그려 보았다. 더 큰 n에 대해서도 어떤 그래프가 그려질 지 쉽게 예상할 수 있을 것이다.
만약 cosnx형태의 함수들을 합해서 다른 함수를 만든다면, 이들도 코사인함수들의 법칙을 그대로 갖고 있을 것이다. 즉 y축에 대하여 대칭이다. cosnx 형태의 함수는 모두 2π를 주기로 같은 값이 반복될 것이다.
cosnx들의 합으로 나타낸 함수 f(x)가 있는데, [0, π]에서만 그 값을 알았다고 가정한다. 이미 f(x)가 y축에 대해 대칭인 것을 알고 있으므로, [-π, 0]에서도 그 값을 알 수 있다. f(x)의 값이 2π를 주기로 반복된다는 것을 알고, [-π, π]에서 f(x)의 값을 알고 있으므로, 모든 x에 대해서 f(x)의 값을 알 수 있다. 다시 말하면, cosnx들의 합으로 나타낸 함수는 [0, π]에서만 그 값을 알면 나머지 모든 구간에 대한 f(x)의 값도 알 수 있다는 것이다.

참고자료

· 없음