황금비와 황금삼각형

소개

수학사 시간에 리포트로 작성한 황금비와 황금삼각형에 대한 이야기입니다.
황금비와 황금삼각형의 의미 뿐만 아니라 작도방법과 예들이 많이 있습니다.

목차

1. 황금비란?
2. 황금삼각형
3. 황금삼각형의 작도
4. GSP를 이용한 황금삼각형의 작도
5. 정오각형과 황금비
6. 정오각형이 또 정오각형으로

본문내용

1. 황금비란?
황금비 또는 황금분할(라틴어: sectio aurea 혹은 sectio divina)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드(원론 3, 141)가 정의한 이래 예술분야, 특히 건축, 미술 등에서 즐겨 응용되었다.

(1) 기본 도형 속에 숨어있는 황금비
고대 그리스 시대의 피타고라스 학파는 수학적, 기하학적 형태의 조화로움이며, “신의 비율”이라고 하여 신성한 상징으로 여긴 황금비가 있다. 이집트의 피라미드, 아테네의 파르테논 신전 및 여러 예술품에 황금비가 자주 쓰인 이유는 황금 분활의 시각적으로 가장 안정된 모양이기 때문이다. 부석사 무량수전 바닥의 가로와 세로의 비가 황금비이며, 베토벤의 5번 교향곡 <운명> 1악장에서 “빠바바~밤~”하는 세 번 나오는 주제구 중 두 번째 주제구가 황금 분할 지점이며, 가장 극적인 부분이기도 하다. 또, 신용 카드나 명함도 황금비로 제작되었다고 한다. 황금비의 정확한 값은 1.618…이며, 이차방정식을 이용하여 구할 수 있다.

(2) 황금삼각형과 황금사각형, 그리고 황금나선
① 꼭지각과 밑각이 각각 36°, 72° 이거나 180°, 36°인 이등변삼각형을 황금삼각형이라고 하며, 황금삼각형에서 황금나선은 AB를 반지름으로 부채꼴의 곡선으로 만들어 나간다.
② 황금사각형에서 황금나선은 AB를 반지름으로 정사각형 안에 호를 그려 만들어진 등각곡선이 황금나선이다.

예) 해바라기 씨앗들이 황금나선의 형태로 배열되어 있고, 선인장의 씨앗의 분포도, 포도덩굴, 회오리바람, 솔방울, 은하수, 소용돌이 등에서도 황금나선을 쉽게 발견할 수 있다.


2. 황금삼각형(golden triangle)
(1) 황금삼각형이란?
이등변삼각형 중에서 길이가 다른 두 변의 길이의 비가 황금비를 이루는 삼각형을 황금삼각형이라고 합니다. 따라서 황금삼각형의 길이와 각의 관계를 잘 알고 있으면 정오각형 퍼즐을 쉽게 해결할 수 있을 겁니다.

참고자료

· ․ 최신 수학·과학 교수자료집 : 수학 / 서울특별시교육청(2005)
· ․ 황금분할에 관한 고찰 / 김수정(2007)
· ․ 중학교 수학교과서 기하영역 비교 분석: 중학교 8-나를 중심으로/ 양원자(2003)