비유클리드 기하학의 탄생1826년 러시아 카잔대학의 교수였던 로바체프스키(Lobatchevsky)는 기하학의 기초에 관한 자신의 의견을 발표하였다. 그러나 이 논문은 인쇄되지 않은 채로 상실되고 말았다. 그 이후로 약 이십여 년 동안 그는 기회가 있을 때마다 그의 학설을 외쳤지만 대다수의 동료학자들은 그의 연구결과를 받아들이려 하지 않았다.헝가리의 청년장교 볼리아이(Bolyai)는 1832년 그의 26페이지 짜리 논문 "절대 공간에 대한 과학"을 발표하였다. 그러나 책이 발간되자 유클리드 기하학이 틀렸다는 주장으로 오해하는 사람들의 비난이 하도 심해서 그는 놀라서 그 후 영영 이 연구를 포기하고 말았다고 한다. 두 사람의 연구는 동일한 주제였는데 1835년에 볼리아이가 로바체프스키의 논문을 처음 보았을 때 자신의 논문을 표절한 것으로 생각했을 만큼 두 사람의 연구결과는 흡사하였다. 그리하여 이들이 창안한 새로운 기하학의 체계를 오늘날 "비유클리드 기하학"이라고 부르게 되었다.19세기까지 유클리드 기하학 원본은 절대적 진리였고 엄밀성의 표본으로 여겨져 왔다. 그 체계는 공리(axiom) 5개와 거기에 따른 정리(Theorem) 475개로 구성되어 있다(그래서 도합 13권이나 된다). 사실 근대 자연과학의 새로운 장을 연 뉴턴의 프린키피아의 체계는 바로 이 원본(Elements)의 체계에 영향을 받은 것이다.(관성, 가속도, 작용과 반작용의 법칙이라는 공리 3가지(axiom)로 자연계의 모든 현상을 계산해 낸다!)그러나 수학 자체 내에서도 기하학의 헌법체계와도 같은 유클리드 원본의 공리체계를 더욱 더 논리적으로 빈틈없이 만들려는 노력이 18-9세기부터 있어왔다. 이러한 분위기에서 오로지 엄밀한 논리적 추리에만 입각하고 기하학적 직관을 떠난 비판적인 태도로서 원본을 재구성하려는 노력이 일게 되고 이 과정에서 탄생된 것이 바로 비유클리드 기하학이다.오해하기 쉬운 것은 비유클리드 기하학은 유클리드의 그것과는 상반되는(논리적으로) 내용의 기하학이니까 전자가 주장되면 후자일인가? 이런 얘기들은 그 "내용"과 "역사적 전개"를 보지 못하고 껍데기만 보면 도저히 이해 안 된다.비유클리드 기하의 발견은 오히려 유클리드 기하의 기초를 논리적으로 빈틈없이 건립하게 하려는 노력의 결과로 보는 것이 정당할 것 같다. 이러한 노력의 결론이 비유클리드 기하학의 탄생이었고 최종적으로 두 기하학 사이의 관계는 "유클리드 기하와 비유클리드 기하는 서로 다른 공리체계를 가지지만 둘 중의 어느 하나가 옳은 만큼 나머지 하나도 옳다"는 것으로 결론지어진다. 그리고 이러한 모든 "기하학"의 체계는 천재 수학자 리이만(Riemann)에 와서 통합, 완성된다.비유클리드 기하의 역사적 의미는 우리로 하여금 직관에서 논리를 해방시키게 해준 최초의 계기였다는 점이다.비유클리드 기하란 ?유클리드(Euclid)가 집대성한 기하학의 체계로서 5개의 공리(Axiom)와 5개의 공준(Postulate :공통개념. 예를 들면 전체는 부분보다 크다 등등)으로부터 475개의 정리(Theorem)를 유도해낸, 다시 말하면 누구도 의심할 수 없는 확실하다고 생각되는전제들로부터 논리적 연역에 의해서 결과들을 이끌어낸 수학의 전범을 이루는 체계이다. (공리와 공준의 차이는 공준은 기하학을 포함해서 다른 모든 것에도 사용할 수 있는 진리이지만 공리는 기하학에만 적용되는 진리라고 유클리드는 구별하고 있다.) 모든 정리는 바로 이 공리에서 유도되기 때문에 논의의 차원을 공리에 한정시켜 서 보자. 그의 다섯 가지 공리를 나열해보면,A1. 임의의 점에서 다른 임의의 점까지 선분을 그을 수 있다.A2. 유한한 선분을 아래위로(또는 양 옆으로) 얼마든지 연장할 수 있다.A3. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.A4. 모든 직각은 서로 같다.A5. 한 직선 a상에 있지않은 한 점 p를 지나서 이 직선 a에 평행한 직선(즉 만나지 않는 직선)은 단 하나 있다.(사실 A5는 위와는 원래 조금 다른 형태인데 두 조건이 필요충분 조건이므로 논의의 편의를 위해서 필자가 위의 A5로 대치했다. 다.p를 지나고 a와 만나지 않는 (즉 평행한) 직선 b는 단 하나 뿐이라는 것이 그 내용이다. 이제 좀 당연해 보이시는지(?) 다음 그림을 보자.[1]에다가 좀 더 추가한 그림인데 삼각형이 생겼다. b는 하나이고 또 a와 평행이므로 ∠1=∠4, ∠3=∠5이다. (서로 엇각) 그래서 ∠1+∠2+∠3=∠4+∠2+∠5가 되어 바로 삼각형의 내각의 합이 평각임을 "증명"하는데 A5가 쓰이는 것이다. 그런데 A5를 `당연한' 공리로 보면 문제가 없는데 문제는 이 공리가 그렇게 자명해 보이지 않는다는 것이다.실제 유클리드도 A5를 다른 네 개와는 달리 취급하고 그의 원본의 처음 28개의 정리 증명까지는 A5를 쓰지 않고 증명되는 정리들을 나열하고 나서 29절부터 A5 없이는 증명될 수 없는 정리들을 들기 시작했다. 제5공리에 대한 의심스러움을 제거하기 위한 노력은(이것은 결국 제5공리를 좀더 확고한 근거"하에" 두자는 얘긴데) 두 가지 방향을 취하게 된다. 그 하나는 좀더 쉽고 자명해 보이는 필요충분조건을 찾아서 A5를 대치시키는 것이었고 다른 하나는 아예 나머지 4개의 공리를 써서 A5를 "증명"해보자는 시도였다. 이렇게 되면 평행선 공리(A5를 흔히 이렇게 부른다)는 정리(Theorem)가 되는 것이며 유클리드 기하의 체계는 보다 정확해진다.유클리드 기하를 보다 정확하게 재구성하려는 이런 노력들은 그리스시대부터 19세기까지 계속되었으며 역설적이게도 이 노력에서 탄생한 것이 비유클리드 기하인 것이다.즉 비유클리드 기하도 A1-A4는 그대로 받아들인다. A5에 대한 문제에서 갈라지게 되는 것이다. 결론부터 얘기하면 A5는 A1-A4로부터 증명될 "수 없다". 즉 A5는 나머지 4개의 공리와 독립적(independent)이라는 것인데 이것이 바로 비유클리드 기하의 발견자들이 공통적으로 증명한 결론이다.가우스(Gauss), 로바체프스키(Lobatchevsky)와 볼리아이(Bolyai)는 평행선의 공리(A5)는 나머지 4개의 공리에서부터 "증명" 즉 "연역"될 수 없다는 것논리적으로 가능하며 두 체계 즉 유클리드 기하의 체계(A1-A5로 이루어진 체계)와 비유클리드 기하의 체계(A1-A4와 A5를 부정한 공리로 이루어진 체계)를 같이 놓고 볼 때 앞의 것이 모순이 없으면 뒤의 것도 모순이 없게 된다. 다시 말하면 뒤의 것(즉 비유클리드 기하의 체계)이 모순이 있으면 앞의 것도 모순이 있게 되므로 하나의 수학 체계로서 비유클리드 기하도 유클리드 기하와 동등하게 이론적으로 성립할 수 있다는 사실이 증명된 것이다. 즉 비유클리드 기하의 성립은 거꾸로 유클리드 기하의 체계가 얼마나 정확한 것이었나를 밝혀준 것이었다.1) Saccheri의 연구이탈리아 Pavia대학 수학과 교수인 Saccheri(1667∼1733)는 원론의 제 5공준에 관한 연구를 발표하였는데 그의 생각은 다음과 같은 것이었다. Saccheri 4각형 [그림 1]4각형에서의 세 가지 가능성을 생각하고, 직각가정에 의하여 평행성의 공준을 증명할 수 있다고 믿었으며 반면에 예각, 둔각가정하에서는 유클리드기하학 이외의 비유클리드기하학이 성립될 것으로 예상하였다.그림 12) Lambert의 연구Sccheri의 연구가 1733년에 출판되고, 그후 33년이 지나 독일의 수학자 Lambert(1728∼1777)에 의해 '평행선의 이론'이 그가 죽은 후 11년이 되던 해에 세상에 발표되었다. 그의 연구에서는 Lambert 4각형(인 사각형 )의 제4의 각의 가능성을 생각하고 다음 사실을 증명하였다.(그림 2)그림 2(1) 둔각가정에 의하면 3각형의 내각의 합은 보다 크다.(2) 직각가정에 의하면 3각형의 내각의 합은 과 같다.(3) 예각가정에 의하면 3각형의 내각의 합은 보다 작다.(4) 둔각가정에 의하면 한 3각형의 내각의 합과 과의 차는 그 3각형의 넓이와 비례한다.(5) 예각가정에 의하면과 3 각형의 내각의 합과의 차는 그 3각형의 넓이에 비례한다.이 결과로부터 둔각가정에 의해 이끌어 낼 수 있는 기하학은 구면 기하학과 흡사함을 확인 하였다. 사실에 있어서 구면기하학에서는 3각형 직각가정만이 남게 되어 평행선공준이 성립함을 지적한 노력은 Legendre(1752∼1833)에게도 관심을 가지게 하여 그는 3각형의 내각의 합은 보다 크다, 같 다, 작다의 세가지 가정을 생각하며 '직선은 무한 크기를 갖는다'를 가정으로 하여 제1 가정(보다 크다)은 성립될 수 없음을 설명하였으나 제3가정은 설명하지 못하였다.Hilbertd의 결합공리, 순서공리, 합동공리, 연속공리, 새로운 평행선 공리, 즉'주어 진 직선위에 있지 않는 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 2개 이상 있다' 를 근간으로 하여 구성된 기하학을 쌍곡기하학이라고 한다.1)쌍곡기하학의 기초정리정리 1 : 쌍곡 3각형의 내각의 합은 180°보다 작다증명:그림3Poincare모형에서 의 변 PR, QR은 반전중심 O를 지나 고, PQ는 반전중심을 지나지 않는다면 반전에 의하여 은 그림3과 같이 PR, QR은 각각 직선 P'R', Q'R', PQ는 원 C의 반전 C'의 직교호 P'Q'로 반 전되므로 각의 불변성에 의하여 이다.따라서, 이다.(그림4)정리 2 : 4각형의 내각의 합은 360°보다 작다 (그림 5).정리 3 : Saccheri 4각형의 두 꼭지각은 예각이다.정리 4 : Lambert 4각형의 제4의 각은 예각이다.정리 5 : 두 닮은 3각형은 합동이다. (그림 6).증명:그림 5 그림 6이것은 모순이다(기초정리②). 따라서, 유클리드기하학에서 합동개념은 닮은 개념의 특수개념이나 쌍곡기하에서는 합동, 닮은 개념은 같은 개념이기 때문에 닮은 개념은 무용지물이다그림 5 그림 62) 의구수레 P에 밧줄의 한끝을 매고 다른 끝 A를 잡아 직선 l의 방향으로 팽팽하게 당기어 끌고 가면 수레P는 그림 7와 같은 곡선을 그린다. 이와 같은 곡선을 견인선이라하고, 직선 l 은 이 곡선의 점근선이 된다. 이때 점근선을 축으로하여 견인선을 한 바퀴 회전하게 되면 회전곡면이 생기게 되는데 이것을 의구라고 한다. 의구는 반지름이 순허수인 구의 성질과 같이 음의 일정한 곡률을 가진다.(그림 87).
![[수학과] 비유클리드 기하학](https://image4.happycampus.com/Production/thumbnail/2002/12/05/data1166618-0001.jpg)
