연립방정식의 소거법1. 상삼각형 연립방정식n원 연립방정식이{a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}+{a}_{13}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{1n}{x}_{n}={b}_{1} #{a}_{22}{x}_{2}+{a}_{23}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{2n}{x}_{n}={b}_{2} #{a}_{33}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{3n}{x}_{n}={b}_{3} #CDOTS CDOTSCDOTS CDOTS#{a}_{nn}{x}_{n}={b}_{n}과 같을 때, 이 방정식은,A= BMATRIX { { a}_{11}& {a }_{12}& { CDOTS }&{a }_{1n}#{ 0}& {a }_{22}& { CDOTS }&{a }_{2n}#{ 0}& {0}& { CDOTS }&{a }_{3n}##{ 0}& {0}& { CDOTS }&{a }_{nn}} , X= BMATRIX { {x}_{1}# {x}_{2}# # {x}_{n}} , B=BMATRIX { {b}_{1}# {b}_{2}# # {b}_{n}}로 놓으면 AX=B로 표시된다.모든 대각원소가 0이 아닌 경우에는 상삼각형 연립방정식은 쉽게 풀린다.즉, 최후의 식{a}_{nn}{x}_{n}={b}_{n}에서{x}_{n}={b}_{n}over{a}_{nn}이것을 바로 위의 식에 대입하여{x}_{n-1}={{-a}_{n-1},{}_{n}{x}_{n} + {b}_{n-1}}over{{a}_{n-1,n-1}}{x}_{n-2}={{-a}_{n-2,n-1},{x}_{n-1} - {a}_{n-2},{n}{x}_{n}+{b}_{n-2}}over{{a}_{n-2,n-2}}로써 일반식{x}_{n}={b}_{n}over{a}_{nn}{x}_{n}={b}_{n}over{a}_{nn}{x}_{n-i}={-SUM from {j=0} to{j-1}{a}_{n-i,n-j},{x}_{n-j}+{b}_{n-i}} over{{a}_{n-i,n-i}} (i=1,2, CDOTS , n-1)을 얻으며 이로써 차례로{x}_{n},{x}_{n-1},{x}_{n-2},{x}_{n-3}, CDOTS CDOTS ,{x}_{1}을 얻는다.이와 같이 해를 구하는 방법을 후진대입법(backward substitution)이라 한다.▶ 후진대입법 알고리즘 ◀{a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}+{a}_{13}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{1n}{x}_{n}={b}_{1} #{a}_{22}{x}_{2}+{a}_{23}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{2n}{x}_{n}={b}_{2} #{a}_{33}{x}_{3}+ CDOTS CDOTS +{a}_{3n}{x}_{n}={b}_{3} #CDOTS CDOTSCDOTS CDOTS#{a}_{nn}{x}_{n}={b}_{n}와 같은 상삼각형 연립방정식에서, 모든i(i=1,2, CDOTS , n)에 대하여{a}_{ii} not = 0인 경우(1){x}_{n}={b}_{n}over{a}_{nn}로 놓는다.(2)i=1(3){x}_{n-i}={{b}_{n-i}-SUM from {j=0} to{j-1}{a}_{n-i,n-j}{x}_{n-j}} over{{a}_{n-i,n-i}}(4)i를 1만큼 증가시킨다.(5)i가 n이면 (6)으로 가고,i가 n보다 작으면 3으로 간다.(6) 알고리즘 끝.2. 연립방정식의 삼각형으로 변환연립방정식이 주어져 있을 때(1) 방정식의 순서를 바꾼다든가,(2) 한 개의 방정식을 (0 이 아닌) 몇 배 한다든가(3) 한 개의 방정식을 몇 배 해서 다른 방정식에 더한다든가해도 연립방정식의 해는 변함이 없다. 따라서 위에 든 세 개의 조작을 적당히 조합해서 원래의 연립방정식에 적용함으로써 주어진 방정식을 상삼각형으로 고칠 수 있다.위의 세가지 방법을 행렬에 대하여 말할 때는 기본 행연산(elementary row operation)이라 한다.[예제 1]{x}_{2}+{2x}_{3}=1 CDOTS CDOTS(1) #{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0CDOTS CDOTS(2) #{2x}_{1}-{x}_{2}=5 CDOTS CDOTS(3)를 상삼각형으로 고쳐라.제 1 단계 : 제1식과 제3식의 순서를 바꾸어{2x}_{1}-{x}_{2}=5 CDOTS CDOTS(1)#{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0CDOTS CDOTS(2) #{x}_{2}+{2x}_{3}=1 CDOTS CDOTS(3)로 만든다.제 2 단계 : 제1식에{ 1} over { 2}을 곱하여{x}_{1}-{1}over{2}{x}_{2}={5}over{2} CDOTS CDOTS(1)#{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0 CDOTS CDOTS(2) #{x}_{2}+{2x}_{3}=1CDOTS CDOTS(3)로 고친다.제 3 단계 : 제1식을 -1배하여 제2식에 더한다.{x}_{1}-{1}over{2}{x}_{2}={5}over{2} CDOTS CDOTS(1)#{3}over{2}{x}_{2}+{x}_{3}=-{5}over{2} CDOTS CDOTS(2) #{x}_{2}+{2x}_{3}=1CDOTS CDOTS(3)제 4 단계 : 제2식을{2}over{3}배 한다.{x}_{1}-{1}over{2}{x}_{2}={5}over{2} CDOTS CDOTS(1)#{x}_{2}+{2}over{3}{x}_{3}=-{5}over{3} CDOTS CDOTS(2) #{x}_{2}+{2x}_{3}=1CDOTS CDOTS(3)제 5 단계 : 제2식을 -1배하여 제3식에 더한다.{x}_{1}-{1}over{2}{x}_{2}={5}over{2} CDOTS CDOTS(1)#{x}_{2}+{2}over{3}{x}_{3}=-{5}over{3} CDOTS CDOTS(2) #{4}over{3}{x}_{3}={8}over{3}CDOTS CDOTS(3)제 6 단계 : 제3식을{3}over{4}배 하면{x}_{1}-{1}over{2}{x}_{2}={5}over{2}#{x}_{2}+{2}over{3}{x}_{3}=-{5}over{3}#{x}_{3}=2이 때{a}_{ii}=1 (i=1,2,3)로 되었다.일반적으로 위와 같이 하여 연립방정식을 단위 상삼각형으로 고칠 수가 있다. 그러나 항상 대각원소{a}_{ii}=1로 할 수 있는 것은 아니다. 만일 주어진 연립방정식이 무한히 많은 해를 갖든가 또는 해를 갖지 않으면 대각원소가 모두 1이 되게 할 수는 없다. 그러나 단 한 개의 해만 갖는 연립방정식은 반드시 대각원소가 모두 0이 아닌 상삼각형으로 고칠 수 있으므로, 결국 대각원소 1인 단위 상삼각형으로 고칠 수 있다.이해를 돕기 위하여 알고리즘을 표시해 보자. 그러려면 연립방정식은{a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}+ CDOTS CDOTS +{a}_{1n}{x}_{n}={a}_{1,n+1}##{a}_{n1}{x}_{1}+{a}_{n2}{x}_{2}+ CDOTS CDOTS +{a}_{nn}{x}_{n}={a}_{n,n+1}로 놓는 것이 편리하다.먼저, 계수행렬의 대각선 원소가 절대치 최대인 것이 되도록 식을 재배열한다. 대각선 원소가 0이면 이 알고리즘을 적용할 수 없다. 이렇게 해서 찾아낸 원소는 금후 중요한 역할을 하므로 pivot이라고 한다. 특별히 절대치가 최대치가 아니라도 0이 아닌 계수라면 어느 것을 골라도 상관이 없겠지만, 실제로는 여러 가지 이유 때문에 절대치가 최대인 것을 고르는 쪽이 좋다. 그리고 단위 상삼각행렬로 고친 다음 후진대입법의 알고리즘을 적용한다.3. Gauss의 소거법연립방정식AX=B를 기본 행연산을 이용하여 상삼각형 연립방정식으로 고쳐서 대입법으로 해를 구하는 것을 Gauss의 소거법이라 한다. 다음 연립방정식을 Gauss의 소거법으로 풀어보자.{3x}_{1}-{2x}_{2}-{x}_{3}=8 CDOTS CDOTS(1)#{x}_{1}-{2x}_{2}+{x}_{3}=0CDOTS CDOTS(2) # {x}_{1}-{x}_{2}+{3x}_{3}=11 CDOTS CDOTS(3)(1)식 - (2)식×3을 (5)식, (1)식-(3)식×3을 (6)식으로 하면{3x}_{1}-{2x}_{2}-{x}_{3}=8 CDOTS CDOTS(4)#{8x}_{2}-{4x}_{3}=8CDOTS CDOTS(5) # {5x}_{2}-{10x}_{3}=-25 CDOTS CDOTS(6)(5)식×5-(6)식×8을 (9)식으로 하면{3x}_{1}-{2x}_{2}-{x}_{3}=8 CDOTS CDOTS(7)#{8x}_{2}-{4x}_{3}=8CDOTS CDOTS(8) # {60x}_{3}=240 CDOTS CDOTS(9)후진대입법으로써 차례로{x}_{3}=4, {x}_{2}=3, {x}_{1}=2를 얻는다.위의 과정을 행렬로써 표현하기 위해 우선 방정식을 행렬로 나타내면BMATRIX { { 3}& {2 }& {-1 }#{1 }& {-2 }& {1 }#{ 1}& {-1 }& {3 } }BMATRIX { { x}_{1}#{ x}_{2}#{ x}_{3} }BMATRIX { {8}#{ 0}#{11} }그런데 실제 계산에서는 계수와 상수항만 처리되므로 확대행렬(augmented matrix)overlineA = BMATRIX { { 3}& {2 }& {-1 }& {8}#{1 }& {-2 }& {1 }& {0}#{ 1}& {-1 }& {3 }& {11 } } MATRIX { { :}& {R }_{1 }#{ :}& {R }_{2 }#{ :}& {R }_{3} }를 정의하여 기본 행연산의 방법으로써 계수행렬 부분을 상삼각행렬로 만들어 보자.먼저{R}_{2}
▶ 초등학교 수학 교육과정에 대하여..1. 교육과정의 의미교육 과정의 의미는 보는 시각과 관점에 다라 다양하게 해석되고 있다. 교육 과정을 넓게 생각하느냐, 좁게 생각하느냐에 따라 그 의미가 달라질 수도 있고, 어디에 전제와 중점을 두고 있느냐에 따라서도 달라질 수 있다. 또, 누가 어느 수준에서 어떠한 준거와 방법으로 교육 내용을 결정하느냐에 따라서도 달라지게 된다.'쿠레레(currere)'라는 어원으로부터 출발한 '교육 과정(curriculum)'이라는 용어는 경기 코스, 트랙, 나아가 수행해야 할 교수 요목(course of study)을 의미하고 있다. 전통적으로 학교는 학생들에게 무엇인가를 가르쳐 왔다. 학생들에게 무엇인가를 의도적으로 가르치는 행위를 '교육'이라고 본다면, 그 '무엇'이 교육의 내용이 된다. 따라서, 의도적인 학교 교육에서 학생들에게 어떠한 교육 목표를 성취시키기 위하여 일정한 수준의 교육 내용을 선정하고, 조직해 놓은 공통적인 기준을 '교육 과정'이라고 하는 것이 일반적인 경향이었다.교육 과정에 대한 개념 규정의 어려움은 근본적으로 교육을 보는 시각, 인간과 사회를 보는 시각, 즉 사물을 보는 철학적 견해의 차이에서 온다. 우리는 흔히 '교육한다'는 말에서 핵심이 되는 요소로 교육의 대상(학생), 교육의 내용(교육 과정), 교육하는 사람(교사)을 생각하고 있다. 이것은 누가, 누구에게, 무엇을, 어떻게 가르치고 평가하느냐 하는 문제와 관련된다. 이 세 가지 요소 중에서 '무엇'에 해당되는 것만을 교육 과정으로 생각한다면, 교육 과정 개념의 규정은 오히려 쉬울 것이다. 그러나 가르치고 배우는 내용이 배우는 학생이나 가르치는 교사와 무관할 수는 없다는 점에서 '왜, 무엇을 , 어떻게 가르치고 배우느냐'는 것에 대한 복잡한 의사 선택과 결정의 어려움이 뒤따르게 되는 것이다.교육 과정이라는 용어는 추상적인 개념이기 때문에 그 의미 자체가 모호하고 사람마다 그들의 철학적 배경 또는 견해나 필요에 따라 제각기 조금씩 다른 정의를 내려왔다.어떤 사람은 교육 과정을 학생들에게 가르쳐야 할 내용의 주제나 개념을 열거한 것이라고 하고, 어떤 사람은 학교의 지도 아래 계획적으로 제공하는 모든 경험이라고도 한다. 또, 어떤 사람은 학습 프로그램이라 하기도 하고, 교과목의 모음으로 설명하는 경우도 있다. 그리고 교과와 교와 외의 활동, 상담 지도, 대인 관계 등을 모두 포함하는 학교 내의 모든 교육 활동이라고 하는 등 그 의미는 수없이 많으며, 제각기 다양하게 쓰이고 있다.교육 과정은 내용(content)으로서의 교육 과정, 경험(experience)으로서 교육 과정, 계획(plan)으로서의 교육 과정, 결과(outcome)로서의 교육 과정으로 나누어 생각할 수도 있고, 의도된 교육 과정, 전개된 교육 과정, 실현된 교육 과정으로 구분하기도 한다.2000년부터 시행되는 제7차 교육과정은 ① 다양성ㅇㄹ 추구하는 교육 과정, ② 학습자 중심 교육 과정, ③ 교원·학생·학부모가 함께 실현하는 교육 과정, ④ 교육 과정 중심으로 개선하기 위한 교육 과정, ⑤ 교육의 질적 수준을 유지, 관리하기 위한 교육 과정이라는 성격을 제시하고 있다. 특히, 제6차와 제7차 교육 과정의 이론 모형은 의도적이고 계획적인 학교 교육에서 우리 나라의 교육 실정과 미래에 적합한 현실적인 접근을 위해 교육 과정 탐구의 현실적, 상황적인 패러다임(paradigm)을 택하여 제반 이론의 절충적, 종합적인 입장에서 교육 과정의 개념을 규정하고 있다.어떤 관점에서 보든지 간에 교육 과정은 '학습자에게 학습 경험을 선정하고 조직하여 교육 경험의 질을 구체적으로 관리하는 교육의 기본 설계도'라고 할 수 있다. 따라서, 교육 과정은 의도된 학교 교육에서 '왜, 무엇으, 어떻게, 어느 수준과 범위로 가르치고 평가하느냐'를 문서로 계획한 교육 설계도이기 때문에, 교육 과정을 단순한 교육 내용으로만 볼 것이 아니라 교육 목표, 내용, 방법이나 운영 방식, 평가를 포괄하는 폭넓은 개념으로 보아야 할 것이다.이와 같은 패러다임의 전환은 국가에서 일방적으로 만들어서 '주어지는 교육 과정'의 틀에서 벗어나, 교육을 실천하는 학교에서 다양하게 '만들어 가는 교육 과정'으로의 전환을 요구하는 것이다. 이러한 사고의 전환은, 학생은 어른이 만들어 놓은 교육 과정의 틀 속에서 그들이 기대한 대로 '변화'하는 것보다는, 그들이 스스로 교육 과정을 만들어 가며 '변혁'하는 것이라고 보는 입장이다.2. 초등학교 수학과 교육 과정2.1 수학과 교육 과정 배경수학과 교육은 수학 교육 현대화 운동 이후 국내외적으로 많은 변화를 추구해 왔다. 특히, 1980년대부터 본격적으로 강조되고 있는 문제 해결 학습의 도입은 수학에 대한 단편적 지식과 단순한 문제 풀이의 기능 숙달에서 탈피하여 수학적 사고력 신장과 문제 해결력 배양을 강조하고 있다. 이와 같은 맥락에서 90년대에 이르러서는 다가오는 21세기를 국제화, 정보화의 시대로 규정하고 이에 대처하기 위하여 더욱 발전적인 문제 해결 지도와 창의적인 수학적 사고 능력의 신장, 그리고 다양한 상황에서 유연하게 대처할 수 있는 수학적 소양과 태도의 육성이 수학 교육의 본질적인 목표로서 계속 추구되어져야 한다는 주장이 대체적으로 받아들여지고 있다. 이와 같은 움직임에 따라 제7차 수학과 교육 과정은 매우 큰 폭으로 개정되었는데, 그 배경을 이해하기 위해서 우리의 수학 교육 현실 진단을 바탕으로 한 사회적 요구를 살펴보도록 한다.우리의 초등 수학 교육의 현실과 개선을 위한 요구를 알아보기 위하여 먼저 현행 교육 과정의 운영 실태를 진단하여 그 문제점을 살펴보고, 이를 바탕으로 그 개선을 위한 요구를 생각해 보도록 한다. 초등 학교 수학 교육에 대한 현실을 알아보기 위하여 교사 및 수학 교육 전문가들의 의견 조사를 통해 알아본 결과를 요약하면 다음과 같다.첫째, 초등 학교 수학 교육 과정의 현실성이 부족하다는 것이다. 즉, 교육 과정의 현장성이 없어서 실제에 부합되지 못하는 면이 많고 구체적인 교수·학습 과정에 대한 안내가 될 수 없어서 교사들의 쉽게 접근하여 유용하게 활용할 수 없다는 것이다.둘째, 교과 내용의 양이 수업 시수에 비하여 많아서 학생의 학습 부담이 과중하다는 것이다. 따라서, 내용의 전달과 진도 맞추기에 급급하여 교과의 본질적인 목표를 외면하게 되고 진정한 의미의 학생 중심적이고 활동 중심적인 수업이 이루어지고 있지 못하다는 것이다.셋째, 내용면에서 문제 해결을 강조하는 것보다 단순 지식적인 것이 많다는 것이다. 따라서, 기능의 숙달과 내용의 암기에 치중하게 되어 정보화의 시대에 대응할 수 있는 발전적이고 창의적인 사고를 할 수 있는 능력을 키우기 위한 학습 기회를 잃고 있다는 것이다.넷째, 급격히 변하는 사회에 대비할 수 있는 교수·학습 방법의 개발이나 과학 기술의 도입이 부족하다. 즉, 새로운 사회에 적응하고 경쟁력을 갖춘 민주 시민의 육성을 위해서는 구태 의연한 교수·학습 방법으로는 한계가 있다는 것이다.이러한 우리의 초등 수학 교육에 대한 현실 파악으로부터 개선을 위하 요구를 다음과 같이 수렴해 볼 수 있다.첫째, 교육 과정의 현실성이 요구된다. 즉, 교육 과정은 실제에 부합되고 구체적인 교수·학습 과정에 대한 안내가 될 수 있어야 하며, 현장성이 있어야 할 것이다. 다시 말해 쓰임새 있는 수학 교육 과정이 되어야 할 것이다.둘째, 교과 내용을 정선하고 체계화하여 학생들이 기본적인 내용을 효율적으로 학습할 수 있도록 해야 할 것이다. 이는 학생들의 학습 부담을 줄여서, 즐거운 마음으로 수학의 본질에 접근하여 수학을 학습할 수 있도록 하여야 할 것이다. 또한 교사는 진정한 의미에서의 학생 중심적 수업을 준비할 수 있도록 한다.셋째, 내용면에서 단순 지식적인 것보다 문제 해결을 강조하는 것이 바람직하다. 나아가 정보화의 시대에 대응할 수 있는 발전적이고 창의적인 사고를 할 수 있도록 문제 해결의 지도를 더욱 강조해야 할 것이다.넷째, 급격히 변하는 사회에 대비할 수 있는 교수·학습 방법의 개발이나 과학 기술의 도입이 필요하다. 새로운 사회에 적응하고 경쟁력을 갖춘 민주 시민의 육성을 위해서는 수학 교육의 본질적인 목표를 고려하면서 새로운 과학 기술에 대한 두려움을 극복하고 적극적으로 교수·학습에 도입하여 활용해야 할 것이다. 이와 함께 새로운 과학 기술에 대한 두려움을 극복하고 적극적으로 교수·학습에 도입하여 활용해야 할 것이다. 이와 함께 새로운 수학 교수·학습 방법에 대한 부단한 연구와 보급에 힘써야 할 것이다.이상에서 논의된 내용을 요약하면, 제7차 교육 과정은 내용의 총량을 경감시켜 학생의 학습 부담은 줄이되, 더욱 수학적 사고력을 신장시킬 수 있는 내용으로 체계화하여 학생 중심적 교수·학습이 이루어질 수 있도록 되어야 한다는 것으로 볼 수 있을 것이다.
