1. 서론현대 사회에 있어서 위성의 존재는 사회 기반 시설로서 인정되고 있다. 자동차의 항법 장치, 항공기의 항법장치, 정밀유도무기의 핵심 시설로서 그 역할을 다하고 있다. 인공위성은 GPS, 우주관측 망원경, 통신중계위성, 지구환경 관측 위성 등 다양한 종류가 있다. 특히 군사용 위성은 10cm 정도의 매우 선명한 해상도를 이용해 적국이나 작전을 전개하는 곳에 대한 정보를 얻을 수 있다. 이 군사용 위성에서 정보를 받기 위해서는 지상 기지국의 안테나가 위성을 향해 있어야 정보를 수신할 수 있다. 또한 적국의 인공위성을 추적하기 위해 위성에서 반사된 반사파를 받는 데에도 지상 안테나가 필요하다. 하지만 위성은 끊임없이 지구 주위를 공전하고 있으며 이로 인해 위성 안테나 또한 계속 이동이 필요하다. 자세의 변환을 위해서 안테나는 전기 모터를 주로 사용한다. 이러한 모터는 센서로부터 정보를 받아서 이동하게 된다. 이 때 주어진 문제에서 전달함수는 다음과 같다.여기서 주어진 System requirement는 다음과 같다.인 Ramp 입력에 대한 정상상태 오차가 0.01보다 작아야 한다.인 Step 입력에 대한 Overshoot는 5% 이하가 되게 해야한다.Settling time,는 2초 이내가 되어야 한다.위의 조건을 만족하는 주어진 전달함수에 대한 보상기를 설계하기 위해서 보상기 종류의 선택, 해당 보상기의 설계, 보상기 성능 평가를 수행 해 볼 것이다. 우리가 선택 가능한 보상기의 종류는 다음과 같다.P-ControllerPD-ControllerPID-ControllerLead-CompensatorLag-CompensatorLead-Lag Compensator그런데 Lead-Comensator는 PD-Controller의 근사화된 함수로서 쓰이고 Lag Compensator는 PI Controller의 근사화된 값으로 쓸 수 있다. 일반적으로 PD-Controller는 Transient Response의 특성을 향상시킬 수 있으며 PI-Controller는 Steady-State error를 최소화 할 수 있다.그림1. 인공위성 추적 안테나 대한 구동기2. 본론2.1. 제어기 설계제어기(Controller)는 여러 가지 종류가 있으나 여기서 선택 가능한 제어기는 Steady-State error를 줄여주는 PI-Controller, Transient Response를 향상시켜주는 PD-Controller, PD와 PI 제어기의 특성을 모두 가지는 PID-Controller가 있다. 이 때 보상기(Compensator)는 앞섬 보상기, 뒷섬 보상기가 있으며 앞섬 보상기는 PD 제어기의 근사값으로, 뒷섬 보상기는 PI 제어기의 근사값으로 나타내어질 수 있다.앞섬 보상기의 구조는 다음과 같다.뒷섬 보상기의 구조는 다음과 같다.여기서 우리는 Steady-state 오차를 줄여야 하고 Maximum Overshoot,를 줄이면서 Settling time,또한 줄여야 하므로 PD Controller와 PI Controller 모두 사용 할 것이다.PD-ControllerPID-Controller이번 설계에 있어서 PI-PD Controller 대신 Lead-Lag Compensator를 이용하여 설계를 수행하였다.2.2. 설계 순서Design Requirement를 만족시키기 위해서 우리는 PID 제어기를 이용한다. PID 제어기를 이용하기 위해서는 우선 Root-locus를 이용하여 Uncompensated System을 나타내고 PD-Controller(Lead compensator)를 적용 한 후 PI Controller(Lag Compensator)를 적용 할 것이다. 일단 제어기 설계가 끝난 후 System Requirement를 충족하는지, 또 안정한 System을 구현하였는지를 Unit-ramp plot과 Bode Nyquist Stability criterion을 이용하여 안정성 평가를 할 것이다. TOOL은 MATLAB의 SISOTools과 PID Tunner, Simulink를 사용 할 예정이며, 이를 이용한 설계 순서는 다음과 같다.1. Entering the Constraints2. Proportional P-Controller design3. I-Controller design4. PD-Controller design5. PI-Controller design6. PID-Controller design2.3. System requirementfor ramp input2.4. Uncompensated System보상기가 적용되지 않은 시스템은 다음과 같은 반응 특성을 보인다. 우선 Closed-loop system의 전달함수는 앞에서 나타낸 대로 다음과 같다.이때의 Unit-step, Unit-ramp 응답은 다음과 같다.>> g = tf([0 0 0 10],[1 15 50 10]);>> g_ramp = tf([0 0 0 0 10],[1 15 50 10 0]);>> step(g, 'b')>> hold on>> grid on>> title('Step response of closed-loop system')>> grid on>> hold on>> title('Unit-Ramp response')>> axis([0 30 0 30])위의 그래프에서 나온 Unit-step response는 Overshoot가 없으며 settling time은 약 25초 이상으로 매우 길다.또한 Unit-ramp response에서 Steady-state error가 발생하는 것을 알 수 있다.2.5. Lead CompensatorLead compensator는 transient response의 특성을 향상시킬 수 있다. 보다 빠른 반응과 Maximum overshoot을 줄여주며, 정상상태 오차가 증가하는 특성을 가지고 있다. Lead compensator를 구하기 위해서 system requirement에 의해 Dominant pole을 다음과 같이 설정할 수 있다.그리고 Open-loop 전달함수는 다음과 같다그리고 Lag compensator를 고려하면,이 때 Dominant pole 에 대한 Angle deficiency를 구해보면,이것을 이용해서 pole의 위치와 zero의 위치를 결정해 보면,따라서 Lead-Compensator의 T.F.는이를 Root-locus에 그려보면이 Lead-compensator에 대한 Step-Response를 그려보면 다음과 같다.이는 System Requirement를 만족하는 보상기이다. 이 때의 Gain K는 12이다.이 때의 Ramp-Input에 대한 정상상태오차를 계산 해 보면따라서 Ramp에 대한 정상상태오차가 매우 큰 것을 알 수 있다. 이를 해결하기 위해서 Lag-Compensator를 도입해야 한다.2.6. Lag-Compensator의 적용Steady-state error를 줄여주는 Lag compensator를 적용 하자. Lag Compensator의 Transfer function은 다음과 같다.이 때 Ramp input에 대한 정상상태 오차는 다음과 같이 정의된다.여기서는 Static velocity error이며 이는 다음과 같이 정의된다.이 때는 위에서 구한 Lead Compensator와 Tranfer function의 곱이다.따라서,그러면값은,따라서그런데 System requirement에서을 만족시켜야 하므로,따라서 pole과 zero의 비율은 다음과 같다.
