벡터 해석학1) 벡터 해석학이란? - 벡터가 무엇인가, 벡터를 해석한다. 벡터를 대상으로 하여 해석적인 분석을 한다.2) 학습하는 내용은? - 벡터 함수의 미분과 적분, 방정식을 어떻게 푸는지 학습한다.3) 관련된 분야는? - 식이 무엇을 나타내는지, 어디에 연관되는지에 대한 중요 개념 학습4) 재미있을까? - 재밌고, 막강한 힘을 가지고 있는 수업이다.? 벡터가 무엇일까?? 궁금한 점들 : 벡터(vector)가 무엇일까?, 어디에 사용할까?, 어떻게 표현할까?,화살표(?)로 표시하나요?, 복잡한가요?, 어려운가요?? 벡터는 방향과 크기를 갖고 있다.단순히 수학적인 영역에서만 쓰이는가? 다른 실제 영역에서도 쓰이는가?방향을 나타내니 화살표로 쓸 수 있겠다. 어려운 문제는 복잡할 수도 있다.1. 벡터의 정의와 연산 ? 20.03.17~20.03.24벡터 (vector)? 실수 (real number) : 소수점을 사용하여 표현할 수 있는 수 ex) 0.1, 0.35, 20.98, 100.0, 0.333…, 3.141592… (π) 등? (실수) 벡터 :1) X = (x₁), x₁은 실수 : 1차원 벡터 (vector), (상수 (constant), 수)2) X = (x₁, x₂), x₁, x₂은 실수 : 2차원 벡터 (vector) / 평면상의 점, 원점과 X까지의 점3) X = (x₁, x₂, x₃), x₁, x₂, x₃은 실수 : 3차원 벡터 (vector)?4) X = (x₁, x₂, x₃, …, x{}_{n}), x₁, x₂, x₃, …, x{}_{n}은 실수 : n차원 벡터 (vector)여기서, x₁, x₂, x₃, …, x{}_{n}은 ‘원소’라 한다.=============================================================================================================벡터의 예 1? X = (0.5, 3)가. 평면상에서 x 좌표가 0.5, y 좌표가 3인 점으로 생각할 수 =================================예제 (내적 관련 예제)? [예제 1] 벡터 x = (3, 0)의 방향과 크기를 구하시오.(해) 방향 (direction) : x축 방향 또는 원점 (0, 0)으로부터 점 (3, 0)으로 향하는 방향크기 (magnitude) :LEFT ∥ x RIGHT ∥ `=` sqrt {3 ^{2} `+`0 ^{2}} = 3------------------------------------------------------------------------------------------------------------? [예제 2] 벡터 y = (1, 1)의 방향과 크기를 구하시오.(해) 방향 (direction) : x축과 45° ( ={pi } over {4}) 이루어 점 (1, 1) 쪽 방향크기 (magnitude) :LEFT ∥ x RIGHT ∥ `=` sqrt {1 ^{2} `+`1 ^{2}} `=` sqrt {2}------------------------------------------------------------------------------------------------------------? [예제 3] 벡터 u는 벡터 x = (3, 0)의 방향과 같고, 크기가 1입니다. u를 구하시오.(해) x = (3, 0)의 방향과 같으므로, x축 양(+)의 방향이고, 크기가 1이므로,원점 (0, 0)에서 x축을 따라 양의 방향으로 거리가 1인 지점까지의 벡터이므로, u = (1, 0)으로 표현되고,u는 원점(0, 0)으로부터 점 (1, 0)까지의 벡터를 의미합니다.? [주의사항] :여기서 점 (1, 0)과 벡터 (1, 0)은 같은 기호 (1, 0)으로 표현되었습니다. 점과 벡터의 해석을 구별할 수 있겠지요?=============================================================================================================(단터 Y = (1, 1)와 X = (1, 0)에 대하여(1) 벡터 X = (1, 0)은 x축 양의 방향을 나타내는 단위벡터이다. (왜 그럴까?)(2) 내적을 구하시오.(3) 벡터 Y의 X 방향에의 사영을 구하시오.(풀이)(1) (1, 0)은 크기가 1이고 양의 방향을 나타내는 벡터이므로, 벡터 X는 x축 양의 방향을 나타내는 단위벡터이다.(2) = Y·X = 1·1 + 1·0 = 1 + 0 = 1(3) 벡터 Y = (1, 1)은 크기가LEFT ∥ Y RIGHT ∥ `=` sqrt {1 ^{2} `+`1 ^{2}} `=` sqrt {2}이다.그러나 X 방향으로 수직으로 사영시키면, 즉 벡터 Y를 위에서 x축 위로 수직하게 빛을 비추면,Y = (1, 1)의 x좌표만 나타나게 된다. 따라서 사영의 크기는 1이다.(참고, = 1 + 0 = 1)=============================================================================================================내적 (Inner product, dot product) (기하학적 정의)? 두 실수 벡터 x = (x₁, x₂, …, x{}_{n})와 y = (y₁, y₂, …, y{}_{n})내적 (inner product) = x · y은 = x · y = x₁·y₁ + x₂·y₂ + … + x{}_{n}·y{}_{n}로 정의되어 있어, 구체적으로 계산할 수 있다.위와 같이 정의하는 것은 내적의 대수학적 정의 (algebraic definition)라 한다.? 여기서, 위의 계산을 삼각함수를 이용하여 계산하면,다음과 같은 내적에 대한 기하학적 정의(geometric definition)를 얻는다. = ?x??y?cosθ.여기서LEFT ∥ x RIGHT ∥ `=` sqrt {x _{1} ` ^{2} `+`x _{2} ` ^{2} `+` CDOTS `+`x _{n} ` ^{2}}으로 x의 크기(magnitude)를 나타낸다. θ는 두 벡터 x와 수부분이 0인 한 선일 뿐이다.? [복소수의 간단한 성질] : 복소수 (Complex number) :z = (a) + (b)·i, 여기서, a, b는 실수이고, i =sqrt {-1}이다.(1) (± i)² = -1, 즉 간단한 방정식 x² + 1 = 0의 두 해(solutions)가 (± i)이다.(2){bar{z}} = (a) + (-b)·i, 공액복소수 (conjugate complex number)(3) z = (a) + (b)·i의 위치를 평면에 나타내면,실수 축(Real axis, x축) 좌표는 a, 이미지 축(Imaginary axis, y축, 허수 축) 좌표는 b하나의 벡터(vector)로 생각하면, 원점 (0, 0)에서 점 (a, b)까지의 벡터로 생각할 수 있음(4) 복소수 z = (a) + (b)·i는 기하학적 위치(각도)를 포함하고 있음즉, z = (a) + (b)·i의 위치는 실수 축(Real axis, x축)과tan` theta `=` {b} over {a}가 되는 각 θ만큼 위치에 있다.즉,tan ^{-1} LEFT ( {b} over {a} RIGHT )이 된다.(5) z의 크기|z| =sqrt {a ^{2} `+`b ^{2}} =sqrt {{bar{z}} z} (z의 공액복소수와 z와의 곱(product))=sqrt {LEFT ( a`-`bi RIGHT ) LEFT ( a`+`bi RIGHT )}곱 (product)? Inner product와 관련성이 있을까?)=============================================================================================================복소수의 내적 (Inner product for Complex number)? [정의] :두 복소수 z = (a) + (b)·i, w = (c) + (d)·i, a, b, c, d는 실수, i =sqrt {-1}에 대하여,두 복소수 z와 w의 내적(inner product) =1}&b _{2}&b _{3}#c _{1}&c _{2}&c _{3}}} `=`a _{1} LEFT ( {dmatrix{b _{2}&b _{3}#c _{2}&c _{3}}} RIGHT ) `+` LEFT ( -1 RIGHT ) a _{2} LEFT ( {dmatrix{b _{1}&b _{3}#c _{1}&c _{3}}} RIGHT ) `+`a _{3} LEFT ( {dmatrix{b _{1}&b _{2}#c _{1}&c _{2}}} RIGHT ) = a₁·(b₂·c₃ - b₃·c₂) + a₂·(b₃·c₁ - b₁·c₃) + a₃·(b₁·c₂ - b₂·c₁)= (?A??(B×C)?cosθ), θ는 A와 (B×C) 사이의 각=============================================================================================================? [관찰] :(6) 스칼라 3중적 A·(B×C) = (?A??(B×C)?cosθ), θ는 A와 (B×C) 사이의 각에서?(B×C)?는 B와 C를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이이고,?A?cosθ (= ?A??u?cosθ)는 평행 육면체에서 B와 C로 이루어진 평면을 바닥으로 생각했을 때의 높이가 되므로,결국, A·(B×C) = (?A??(B×C)?cosθ)는 A, B, C를 세 변으로 하는 평행 육면체의 부피가 된다.여기에서, 각도에 따라 cosθ의 값이 음수가 될 수도 있다.=============================================================================================================? [정리] :세 3차원 공간 벡터 A = (a₁, a₂, a₃), B = (b₁, b₂, b₃), C = (c₁, c₂, c₃)의 스칼라 삼중적 A·(B×C)은 다음과 같다.(1)A` BULLET LEFT ( B` TIMES `C RIGHT ) `=` {dmatrix{a _{1}&a _)
사고와 표현 swot 분석하기강점(S)약점(W)계획을 잘세운다객관적으로 잘본다돈계산을 잘한다시간계산을 잘한다리더쉽이 있다끈기가 없다우울해질 때 한없이 우울해 진다.쉽게 포기한다영어를 잘 못한다기계적으로 움직일때가 많다기회(O)위기(T)지인중에 이 분야를 아는분이 계신다주로 총무를 맡는다주변인의 제무관리를 도와줄때가 많다주변에 수학을 가르쳐 주려는 분들이 많다학원 알바를 하여 수학을 계속 공부한다친구들과 노느라고 공부할 시간이 없다통금이 9시라서 외부에서 늦게까지 공부할 수 없다
Euclid기하학과 비Euclid기하학제 1 장 Euclid기하학기하학 (Geometry) = 그리스어의 geometreim에서 유래Thales ?? 연역적 추론에 의해 기하학적 명제들이 전개되어야함.Pyhagoras ?? 논리적 기하학을 체계화를 시도함. 무리수를 발견하였으나 은폐함.Hippocrates ?? 평면기하학의 체계적 기초를 세움. 그가 쓴 “원론”이라는 저서는 사라짐.Euclid ?? 기원전 300년경 “원론”이라는 책을 저술 (총 13권)공리적 방법 (axiomatic method)?공리(axiom) 혹은 공준(postulate)의 필요성?물고 물리는 무한 회귀의 방지약속 0. 논의에서 사용되는 단어와 기호의 의미에 대한 상호이해약속 1. 더 이상 그 정당성을 보일 필요가 없는 “공리” 또는 “공준”이라는 명제 인정약속 2. 한 명제가 다른 명제로부터 “논리적으로 추론될 수 있다”는 규칙에 동의무정의 용어 ?? 용어 설명에 대한 순환논리(circular reasoniy)에 빠짐을 방지5개 무정의 용어 ?? 점(point)직선(line) David Hilbert가위에있다(lie on) 1899년 논문사이(between) “기하학의 기초"합동(conqruent) 에서 주장함.Euclid의 처음 네 개의 공준Euclid공준Ⅰ. 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대하여 P와 Q를 지나는 직선l이 유일하게 존재한다.* 표시 :l= dyad { PQ}정의 : 선분 AB = 두 점 A, B와 직선dyad { AB}중 A와 B사이에 있는점들의 집합.A, B : 선분AB의 끝점.* 표시 : 선분AB =bar { AB} = {p in dyad { AB} ~````|````p=A ~``or``B````or````A `*`p`*`B }Euclid공준Ⅱ. 임의의 두 선분 AB, CD에 대하여 B가 A와E사이에 있고 선분 CD와 선분BE가 합동인 점 E가 유일하게 존재한다.정의 : 원O = 두 점 O, A가 주어지고bar { OA}와 합동인bar { OP}의 모든 점 적어도 두 개 존재[명제2.5] 한 점에서 만나지 않은 서로 다른 세직선이 존재명제2.4에 의해P,`Q,`R이 존재dyad{PQ},```dyad{PR},```dyad{QR}은 한 점에서 만나지 않음.* 공리계에 대한 해석(interpretation) → 공리계에 사용된 무정의 용어에 적당한 의미를 부여하는 것* 공리계에 대한 모형(model) → 해석된 공리들이 모두 성립하는 수학적 표현을 갖는 형태예1) (3점 기하학)점 →A,``B,``C 직선 → {A,``B}, {B,``C}, {C,``A}점이 직선 위에 있다==점이 직선의 원소일 때RARROW ⅠA1, ⅠA2, ⅠA3을 만족함을 알 수 있음.RARROW 타원기하학* “평행선이 존재한다”는 결합공리군과는 “독립적”이다.* 명제가 주어진 공리계와 독립적(independent)LRARROW 주어진 공리계들로부터 증명도 부정도 될 수 없을 때LRARROW 주어진 공리계를 만족하는 모형 중 명제가 성립하는 모형도 있고 성립하지 않는 모형도 있다.* 주어진 공리계가 완비적(complete)LRARROW 주어진 공리계의 언어로 된 모든 명제가 Ⅰ공리들로부터 증명되거나 부정이 될 때EX. Euclid기하학과 쌍곡기하학은 완비적예2) (구면)점 → 구면 위의 점직선 → 구면의 대원(중심을 지나는 평면과 구와의 교선)RARROW ⅠA1을 만족 못함(대칭점을 지나는 대원이 무수히 많음),ⅠA2, ⅠA3는 만족RARROW 결합기하 모형이 아님RARROW 그러나, 평행선은 없음.예3) (4점기하학)점 → A, B, C, D직선 → {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}점이 직선위에 있다 = 원소관계RARROW ⅠA1, ⅠA2, ⅠA3을 만족RARROW Euclid기하학예4) (5점기하학)점 → A, B, C, D, E직선 → {A,B}, {A,C}, ?,{D,E}결합RARROW 원소관계RARROW ⅠA1, ⅠA2, ⅠA3을 만족RARROW Hyperbolic Geometry (쌍곡기하학)*P RIGHT } : 반직선의 정의명제3.1A,B:임의의 두 점RARROW (ⅰ)vec{AB} SMALLINTER vec{BA} =bar{AB (ⅱ)vec{AB} SMALLUNION vec{BA} = dyad { AB}(ⅰ)의 증명(1) 선분과 반직선의 정의에 의해bar{AB} SUBSET vec{AB},~bar{AB} subset vec{BA}~````RARROW````bar{AB} subset vec{AB} SMALLINTER vec{BA (2)C in vec{AB} SMALLINTER vec{BA}라 가정ⅰ)C=A``or``B~RARROW~C in bar{AB} ⅱ)C!= A ``and``C!=B~``RARROW``A`*B`*C,``A`*C`*B,``C`*A`*B중 하나 성립①A`*B`*C~RARROW~C notin vec{BA} 가정에 모순②C`*A`*B~RARROW~C notin bar{AB} 가정에 모순therefore ````A`*B`*C만 성립RARROW~C in bar{AB} (3) (1)과(2)에서bar{AB}= vec{AB} SMALLINTERvec{BA}* 주의 : 직선이 점들의 모임인지는 실제로 알 수 없음(because 직선이 무정의 용어이므로 점 이외의 것이 있을 수도 있음)(ⅱ)의 증명(1) 반직선의 정의에 의해vec{AB} SUBSET dyad { AB},~vec{BA} subset dyad{AB}therefore~vec{AB} SMALLUNION vec{BA} subset dyad{AB}(2)C in dyad{AB}라 가정ⅰ)C=A~or~B~RARROW~C in vec{AB}````and````C in vec{BA}RARROW~C in vec{AB} smallunion vec{BA} ⅱ)C!= A~and```C!= B ````RARROW````C*A*B,``A*C*B,``A*B*C중 하나 성립①C*A*B````RARROW````C in vec{AB}````RARROW````C in vec{AB} smallunion vec{BA}A} (1)P in vec{AB}``!! (2)P notin vec{AB}````RARROW````P*A*BRARROW````P in vec{AC}Pasch의 정리 :triangle ABC : 임의의 삼각형l smallinter bar { AB }!= phiRARROW~l smallinter bar{AC} != phi````or````l smallinter bar{BC} !=phi(1)C in l````RARROW 당연(2)C notin l라고 가정(3)l smallinter bar{AB} != phi이므로 A와 B는l에 관해 반대쪽(4) C는l에 관해 A와 같은 쪽이거나 B와 같은 쪽(becauseC notin l이므로 C는l에 관한 반평면 어느 한쪽에 속함)(5) C와 A가 같은 쪽이면 C와B는 반대쪽RARROWl smallinter bar { BC} != phi(6) C와 B가 같은 쪽이면 C와A는 반대쪽RARROW````l smallinter bar{AC} != phi명제3.5A*B*C````RARROW````bar{AC}=bar{AB} smallunion bar{BC} & {B}=bar{AB} smallinter bar{BC}(1)bar{AB} subset {bar{AC}```````bar{BC} subset bar{AC}(because정의에서)(2)bar{AB} smallunion bar{BC} subset bar{AC}(3)P in bar{AC}````RARROW````ⅰ)P=C````RARROW````P in bar{AB}````or````P in bar{AC} ````RARROW````P in bar{AB} smallunion bar{AC} ⅱ)P != A````and````P != C````RARROW````A*P*C ①P=B````RARROW````P in bar{AB} ````RARROW````P in bar{AB} smallunion bar{BC} ②P != B````RARROW````A*P*B````RARROW````P in bar{AIGHT }````RARROW````Z in msangleDAE의 내부(because명제3.7)RARROW``vec{AZ}=vec{AB}``RARROW``B in msangle DAE 의 내부 (because명제3.8(1))[정의] 반직선vec{AB}와vec{AC}가 반대 방향이 아님D in msangle CAB의 내부LRARROWvec{AD} 는vec{AB}와VEC{AC}사이에 있음.횡선정리(Crossbar theorem)vec{AD}가vec{AC}와vec{AB}사이에 있으면vec{AD} smallinter`bar{BC} != phi(1)B와C는dyad{AD}에 관해 반대쪽becauseB와C가dyad{AD}에 관해 같은 쪽이라 가정E*A*C인 점E를 선택명제3.8(3)에의해B in msangleDAE의 내부therefore``B와E는dyad{AD}에 관해 같은 쪽RARROW C와E는DYAD{AD}에 관해 같은 쪽 이는E의 선택에 모순!!(2)BAR{BC}smallinter dyad{AD}= LEFT { G RIGHT }이면RARROW````B*G*CRARROW 명제3.7에 의해G in msangle CAB의 내부RARROW G in vec{AD}therefore``bar{BC} smallinter vec{AD} != phi[정의] ①triangle ABC의 내부(intenior) =MSANGLE A의 내부smallinter``msangle B의 내부smallinter``msangle C의 내부②triangleABC의 외부(extenior) =P notin triangle ABC의 내부 andP notin triangle ABC의 변명제3.9 (1)triangleABC에서 반직선r이r smallinter bar{AB} != phi``RARROW``r smallinter bar{AC} != phi````or````r smallinter bar{BC} != phi (2)triangle ABC의 내부에서 출발한 반직선r은triangle ABC의 변과 교차한다. 교점{AB}
1. 벡터와 공간 기하학1. 삼차원 좌표계1. 평면- 평면에 있는 모든 점은 실수의 순서쌍 (a, b)로 표현 / 평면 ⇒ 이차원2. 공간- 공간에 있는 모든 점은 실수의 순서 삼조 (a, b, c)로 표현- 공간에 있는 점을 표현하기 위해서, 먼저 고정된 점 (원점) O를 택하고, O를 지나고 서로 수직인세 개의 유향직선을 택함. ⇒ 좌표축- x축과 y축 ⇒ 수평선, z축 ⇒ 연직선- z축의 방향 ⇒ 오른손 법칙(오른손의 손가락들을 z축 둘레로 양의 x축부터 양의 y축까지 시계 반대 방향으로 90˚만큼휘감았을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향 ⇒ z축의 양의 방향)3. 좌표평면- 세 개의 좌표 평면 (xy평면, yz평면, zx평면) : 공간을 여덟 개의 부분으로 나눔 ⇒ 각각을 팔분 공간xy평면 : x축과 y축을 포함하는 평면 / yz평면 : y축과 z축을 포함하는 평면 /zx평면 : x축과 z축을 포함하는 평면※ 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정됨- 좌표P를 공간에 있는 임의의 점이라 할 때, yz평면으로부터 P까지의 거리를 a, xz평면으로부터P까지의 거리를 b, xy평면으로부터 P까지의 거리를 c라고 하자.이때 점 P를 실수의 순서 삼조 (a, b, c)로 표현하고 a, b, c를 P의 좌표라 함.- 사영P로부터 xy평면에 수선을 내리면 좌표가 (a, b, 0)인 점 Q, 이를 P의 xy평면으로의 사영이라 함.4. 삼차원 직교 좌표 체계 or 좌표계- 데카르트 곱 ?×?×? ={(x, y, z)|x, y, z ∈ ?}은 실수의 순서 삼조 전체의 집합 ⇒ ?³공간의 점 P와 ?³의 순서 삼조 (a, b, c) 사이에 일대일 대응 성립- 이차원 해석 기하학 : x와 y에 관한 방정식의 그래프는 ?²의 곡선- 삼차원 해석 기하학 : x, y, z에 관한 방정식은 ?³의 곡면5. 삼차원에서의 거리 공식- 두 점 P₁(x₁, y₁, z₁)과 P₂(x₂, y₂, z₂) 사이의 거리 |P₁P₂|는 다음과 같다.|P₁P₂| =sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} +(z _{2} -z _{1} ) ^{2}}6. 구면의 방정식- 중심이 C (h, k, l)이고 반지름이 r인 구면의 방정식은 다음과 같다.(x-h)² + (y-k)² + (z-l)² = r²- 특히, 중심이 원점 O인 구면의 방정식은 다음과 같다.x² + y² + z² = r²2. 벡터1. 벡터- 화살표 또는 유향선분으로 표현 / 화살표의 길이 ⇒ 벡터의 크기 , 화살표 ⇒ 벡터의 방향굵은 글씨의 문자 (v) 또는 위에 화살표를 붙인 문자 ({vec{v}}) 로 나타냄.- 변위 벡터 v는 시점(꼬리)이 A이고 종점(머리)이 B인데, 이를 v ={vec{AB}} 로 나타냄.벡터 u ={vec{CD}} 는 v와 위치가 다르지만 길이가 같고 방향도 같음.- u와 v는 서로 동치라고 하며, u = v로 나타냄.- 길이가 0인 벡터를 0으로 나타내고 영 벡터라 함. / 영 벡터는 방향이 없는 유일한 벡터임.2. 벡터의 결합- 입자가 A부터 B까지 움직인다고 할 때, 변위 벡터는{vec{AB}}이다.다음에 이 입자가 방향을 바꾸어 B부터 C까지 움직여서 그 변위 벡터가{vec{BC}}라고 하자.이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 A부터 C까지 움직이는 것.{vec{AC}} ={vec{AB}} +{vec{BC}} :{vec{AC}}는{vec{AB}}와{vec{BC}}의 합- 벡터 덧셈의 정의두 벡터 u와 v가 v의 시점이 u의 종점에 있도록 위치하고 있으면, 합 u+v는 u의 시점부터v의 종점까지의 벡터. / 삼각형 법칙과 평행 사변형 법칙이 있음.- 스칼라 곱셈의 정의c는 스칼라(벡터와 구별하기 위해서 쓰이는 실수 c)이고 v는 벡터라 하자.스칼라 배 cv를 길이는 |c|과 v의 길이의 곱이고 방향은 c >0 일 때 v와 같고,c π/2인 경우에는 cosΘ 대신에 |cosΘ|를 이용해야한다.) 따라서 이 평행 육면체의 부피는 다음과 같다.V = Ah = |b×c||a||cosΘ| = |a·(b×c)|- 공식세 벡터 a, b, c로 결정되는 평행 육면체의 부피는 다음과 같이 이것들의 스칼라 삼중 곱의 크기이다.V = |a·(b×c)|공식을 사용해서 a, b, c로 결정되는 평행 육면체의 부피가 0으로 밝혀지면,세 벡터는 같은 평면에 있음 또는 공면임을 알 수 있다.4. 회전력- 회전력 또는 돌림힘 τ는 다음과 같이 위치 벡터와 힘 벡터의 외적으로 정의한다.τ = r × F이는 원점을 중심으로 회전하려는 물체의 경향을 측정한다. 회전력 벡터의 방향 ⇒ 회전축회전력 벡터의 크기는 다음과 같다.|τ| = |r| × |F| = |r||F|sinΘ (Θ는 위치 벡터와 힘 벡터 사이의 각)회전시키는 F의 유일한 성분은 r에 수직인 성분 ⇒ |F|sinΘ이다.회전력의 크기 = r과 F로 결정되는 평행사변형의 넓이5. 직선과 평면의 방정식1. 직선의 방정식- 직선 L의 벡터 방정식r=`r _{0} `+`tv (t는 매개변수)- 직선 L의 방향을 알려주는 벡터 v를 v = 와 같이 성분으로 나타내면, tv = 이다.또, r = 와r _{0} = 으로 쓸 수 있으므로, 벡터 방정식은 다음과 같이 된다. = x =x _{0} + at, y =y _{0} + bt, z =z _{0} + ct (t ∈ ?)이런 방정식들을 점P _{0} (x _{0},y _{0},z _{0})을 지나고 벡터 v = 에 평행인직선 L 의 매개 방정식이라 하며, 매개 변수 t의 각 값에 대해 L의 점 (x, y, z)가 대응한다.2. 방향수와 대칭 방정식- 방향수벡터 v = 를 이용해서 직선 L의 방향을 나타낼 때, 수 a, b, c를 L의 방향수라 함.- 대칭 방정식{x-x _{0}} over {a} `=` {y-y _{0}} over {b} `=` {z-z _{0}} over {c}- 직선 L이 연직 평면x=x _{0} 에 놓여 있음.x=x _{0},{y-y _{0}} over {b} `=` {z-z _{0}} over {c}-r _{0} 부터r _{1}까지의 선분은 다음과 같은 벡터 방정식으로 주어진다.r(t) = (1-t)r _{0} + tr _{1}3. 평면- 평면의 벡터 방정식n BULLET (r-r _{0} )`=`0 /n BULLET r`=`n BULLET r _{0}- 평면의 스칼라 방정식n = , r = ,r _{0} = 으로 나타내면 벡터 방정식은 다음과 같이 된다. BULLET `=`0` a(x -x _{0}) + b(y -y _{0}) + c(z -z _{0}) = 0⇒ 점P _{0} (x _{0},y _{0},z _{0})을 지나고 법선 벡터 n = 인 평면의 스칼라 방정식임.6. 주면과 이차곡선1. 자국- 곡면의 그래프를 그리기 위해서는 좌표 평면들과 평행인 평면과 곡면의 교선을 결정하면 쓸모 있따.이런 곡선을 곡면의 자국 (또는 단면) 이라 한다.2. 기둥- 주어진 평면 곡선을 지나고 주어진 직선에 평행인 (모선이라 부르는) 직선 전체로 이루어진 곡면3. 곡면- 곡면의 방정식에서 변수 x, y, z 중 하나가 없으면, 그 곡면은 기둥이다.※ 곡면을 다룰 때x ^{2} +y ^{2} `=`1과 같은 방정식이 원이 아니라 원기둥을 표현한다는 사실을확실하게 이해할 필요가 있다.xy평면에서 원기둥x ^{2} +y ^{2} `=`1의 자국은 방정식이
7. PROOF OF VALIDITY The formal proof of q ≔ the sequence of statements s.t. for each i, is a axiom or the proved theorem or a hypothesis or a statement derived from and for using the rules of inference, and . "If he studies medicine, then he prepares to earn a good living.If he studies the arts, then he prepares to live a good life. If he prepares to earn a good living or he prepares to live a good life, then his college tuition is not wasted.His college tuition is wasted.Therefore, he studies neither medicine nor the arts."It may be symbolized as:H 1. M → EH 2. A → LH 3. (E∨L) → ～W H 4. W C. ∴ ～M∧～A The formal proof of validity for the above argument :1. M → E (Hyp.)2. A → L (Hyp.) 3. (E∨L) → ～W (Hyp.)4. W/∴ ～M∧～A (Hyp./Concl.)5. ～(E∧L) 3, 4, M.T.6. ～E∧～L 5, De. M.
벡터 해석학 중간 정리
