1. 설계 이론평면 응력과 관련된 내용을 실제 적용하여 압력 용기나 보 등을 해석할 수 있다. 이런 해석에 적용되는 이론과 주어진 수식 등을 활용하여 압력용기 중 음료 캔을 설계할 수 있다. 음료 캔은 단면의 모양이 원형이므로 원통형 압력용기로 분류된다. 원통형 압력용기는 하중의 대칭성 때문에 용기의 외부 표면에서 전단응력이 작용하지 않는다. 주응력을 표현하면 다음과 같다.[그림1] 원통형 압력용기와 절단면에서의 응력분포원주방향 응력[그림1]의 (b)를 참고해서 원주방향 응력 과 내압에 의한 합력 사이의 식은 다음과 같이 구한다.길이방향 응력[그림1]의 (c)를 참고해서 길이방향 응력 과 내압에 의한 합력 사이의 식은 다음과 같이 구한다.위 두 식을 비교하면 임을 알 수 있다. 따라서 원통형 용기 속의 원주방향 응력은 길이방향 응력의 두 배이다.변형률이 때, 축은 원통의 길이방향, 축은 원주방향으로 설정하자. 주응력에 대한 내압의 비는 매우 작게 설정하면 방향으로의 응력은 없고 요소는 2축응력 상태에 있다. 평면응력 상태에서 2축응력의 특별한 경우(에 방향(길이방향)으로의 변형률을 먼저 구해보자.같은 방법으로 방향(각각 원주방향, 표면의 법선방향)의 변형률을 구해보면 다음과 같다.바깥 표면에서의 응력원통형 바깥 표면에서의 주응력을 [그림 2]에 표현했다. 이므로 요소는 2축응력 상태에 있다. 면내 전단응력과 면외 전단응력은 다음과 같다.면내 전단응력:면외 전단응력:이는 각각 축과 축에 대해 회전한 면에서 최대 값을 가지므로 다음과 같다.절대 최대 전단응력은이 응력은 축에 대해 회전한 평면에서 발생한다.[그림 2] 바깥표면에서의 응력안쪽 표면에서의 응력[그림 3]과 같이 용기의 안쪽 표면에서의 응력 상태를 나타낼 수 있다. 주응력은 다음의 셋이다.축에 대해 회전에 의해 얻어지는 세 개의 최대 전단응력들은 다음과 같다.[그림 3] 안쪽 표면에서의 응력안전계수공학설계에 있어서 하중을 지지하거나 이동시키도록 설계된 물체(구조물)의 부하능력은 고려대상이다. 구조물의 파단을 피하려면, 구조물이 실제로 지지할 수 있는 하중이 사용 중 견디는 데 필요한 하중보다 켜야 한다. 파단이란 구조물의 균열이나 와전붕괴를 의미하거나, 또는 변형이 한계치를 넘어 구조물이 자기의 기능을 더 이상 수행할 수 없음을 의미한다. 물체의 부하능력을 강도라 하며, 구조물의 실제의 강도는 요구되는 강도보다 커야 한다. 실제로 강도의 요구되는 강도에 대한 비는 안전계수 이라 한다. 여기서는 안전계수를 실제 작용하는 응력에 대한 재료의 항복 응력 비로 규정하겠다.파단을 방지하기 위해서는 안전계수는 1보다 커야 한다.2. 음료 캔 설계이때 얇은 쉘 이론의 몇 가지 제약을 더 고려하면 설계한 음료 캔(압력 용기)의 해석이 더 매끄럽게 가능하다. 고려하는 제약은 네 가지로 다음과 같다.1. 벽 두께는 다른 치수와 비교해 반드시 작아야 한다. (비 는 10 이상이어야 한다.)2. 내압은 반드시 외압을 초과해야 한다. (안쪽으로의 좌굴을 막기 위해)3. 이 설계에서의 해석은 단지 내압의 효과에만 근거한다. (외부 하중, 반력, 구조물의 무게 등은 고려하지 않는다.)4. 유도된 공식들은 응력집중점 부근을 제외하고는 용기의 모든 벽에 대해 유효하다.설계할 음료 캔의 재료를 알루미늄 7075-T6로 설정하고 탄성계수(), 뽀아송 비()를 구한 후 반지름(), 캔 두께()와 내부 압력()를 미지수로 설정하고 값들을 대입해 응력과 변형률과 전단응력의 값을 구한다.= 72= 0.33= 50= 0.25= ()원주방향 응력길이방향 응력길이방향 변형률캔 열기 전과 후의 변형률 차는 다음과 같다.원주방향 변형률캔 열기 전과 후의 변형률 차는 다음과 같다.표면의 법선방향 변형률캔 열기 전과 후의 변형률 차는 다음과 같다.바깥 표면에서의 축의 최대전단응력안쪽 표면에서의 축의 최대전단응력쉘이 얇은 벽을 가질 때 주응력 에 비해 방향의 주응력 가 매우 작아서 무시할 수 있고, 따라서 추가적인 항 p/2는 무시해도 된다. 여기서는 무시하지 않고 계산하겠다.설계한 음료 캔이 실제 사용 가능한 지 알아보기 위해 안전계수를 구한다. 이때 알루미늄 7075-T6의 항복응력은 480 MPa이다.축(길이 방향) 방향의 안전계수축(원주 방향) 방향의 안전계수안전계수가 1보다 크기 때문에 잘 설계된 캔이다.내부 압력 변화에 따른 안전 계수설계한 음료 캔 안에 어떤 것을 담는 지에 따라 내부 압력은 달라질 것이다. 캔이 음료를 담기에 적합한지 판단하기 위해서는 안전계수의 크기가 1보다 큰지 확인하면 된다. 내부 압력의 값을 정하지 않아 미지수로 둔다면 안전계수는 다음과 같다.이를 안전계수-압력 좌표평면에 그래프와 를 나타내면 다음과 같다.두 안전계수가 1보다 작은 순간부터 구조물에 파손이 일어나므로 설계한 음료 캔에 담는 액체때문에 높아진 내부 압력은 보다 작아야 한다.
