해석학의 역사

*정*
최초 등록일
2007.11.30
최종 저작일
2007.11
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해석학의 역사

목차

▶ 해석학의 역사 (1) ◀
적분 개념의 기원
1. 에우독소스의 실진법( 착출법, method of exhaustion )
2. 아르키메데스의 평형법
3. 카발리에리의 원리

미분 개념의 기원
1. 데카르트의 해석적 방법
2. 페르마의 방법

미적분학의 기본정리의 발견과 발전
1. 미적분학의 기본정리
2. 미적분학의 기본정리의 역사 발생 과정 (Toeplitz)
3. 발견 과정의 수학 교육적 시사

▶ 해석학의 역사 (2) ◀
함수 개념의 역사발생과정과 해석학의 발전

본문내용

▶ 해석학의 역사 (1) ◀
적분 개념의 기원
1. 에우독소스의 실진법( 착출법, method of exhaustion )
실진법은 흔히 에우독소스가 제논의 역설에 대한 대응으로 고안한 것으로 알려져 있다.
이 방법은 양의 무한 가분성을 가정한 후 다음 명제에 기초하고 있다.
“만일 어떤 양으로부터 절반 이상의 부분을 빼내고 다시 나머지 부분으로부터 절반 이상의 부분을 빼내는 과정을 계속할 경우 결국 어떤 정해진 양보다도 작은 양만 남을 수 있다.”
이 방법은 일단 하나의 식이 알려지면 이를 입증하기 위한 엄밀한 도구는 될 수 있으나, 어떤 결과를 발견하는 데는 무익하다. 실진법을 가장 잘 응용한 학자는 아르키메데스를 꼽을 수 있다. 아르키메데스는 포물선 영역의 면적을 구하였다.
2. 아르키메데스의 평형법
아르키메데스는 실진법에서 더 나아가 구적법의 결과를 발견하기 위한 방법으로 평형법을 사용하였다.
평형법의 기본적인 생각은 다음과 같다.
어떤 도형의 넓이나 부피를 찾기 위해서 그것을 매우 많은 얇고 평행한 가로 평면 또는 세로 평면으로 자르고 그 조각을 넓이와 무게중심을 이미 알고 있는 도형과 평형을 이루도록 주어진 지레의 한 끝에 매단다. 아르키메데스의 사고 천칭에서 이를 확인할 수 있는데, 그는 평면 곡선으로 둘러싸인 내부의 넓이와 곡면으로 둘러싸인 부피를 구할 수 있는 일반적인 방법을 발견하였다.
3. 카발리에리의 원리
갈릴레이의 제자 카발리에리는 무한소에 관한 논문 ‘불가분량의 연속 기하학’을 통해서 넓이는 불가분량인 선분으로, 입체는 불가분량인 넓이로 이루어졌다는 견해를 보였다.
그가 생각한 불가분량은 본질적으로 정적분 개념의 기초가 되지만 이 불가분량이라는 개념을 정립하는 용어는 정확하지 않았다.
미분 개념의 기원
미분개념은 기하학적인 접선을 구하는 문제가 해석기하학의 발명에 따라 대수적으로 접선의 식을 구하는 문제로 바뀌면서 자연스럽게 나타났다.
1. 데카르트의 해석적 방법
데카르트는 접선을 구하기 위해 다음의 방법을 이용하였다.
주어진 곡선의 임의의 방정식을 이라 하고, 이 접선을 그으려는 곡선 위의 점 의 좌표라 하자. 축 위의 점 을 라 하자. 그러면 를 중심으로 하고 를 지나는 원의 방정식은 다음과 같다.
이 방정식과 에서 를 소거하면 원이 주어진 곡선과 만나는 좌표를 나타내는 만의 방정식을 얻는다. 이제 이 방정식이 과 같은 중근을 갖도록 를 결정한다. 한 편 원이 에서 주어진 곡선과 접하기 때문에, 는 에서의 곡선의 법선과 축과의 교점이 된다. 이 원이 그려지면 구하려는 접선을 작도할 수 있다.
(예 : 위의 점 에서 그은 접선)

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