[인문] 괴델의 불완전성의 정리

목차

1)무모순 : 그 체계에 속하는 어떤 명제에 대해서도 그 명제와 그것의 부정명제 모두가 증명되는 경우가 없다는 뜻
2)모순 : 한 체계에서 어떤 명제와 그것의 부정명제 모두가 증명이 가능한 경우
3)공리 : 증명이 필요 없는 원리. 전제, 수학의 출발점
. 괴델이란 누구인가?
2). 힐베르트의 계획
3). 불완전성의 정리
4). 불완전의 정리 증명단계
5). 불완전성의 정리의 적용

본문내용

4). 불완전의 정리 증명단계
첫째, "논리식 G는 증명 불가능하다"는 메타 수학적 명제를 나타내는 논리식 G를 형식체계에서 구성한다. 그러면 G는 자기 자신에 관한 명제이므로, 그 내용은 "자기 자신은 증명 불가능하다"는 뜻이 된다. 논리식 G의 괴델수를 n이라 하면, 이 n이 "괴델수 n에 대응되는 논리식은 증명 불가능하다"라는 명제에 대응하도록 구성 한다.
둘째, G는 (형식적으로 G의 부정을 나타내는) ～G가 증명 가능할 때 그리고 그때에 한해 증명 가능함을 증명한다. 즉, G가 증명 가능한 것과 ～G가 증명 가능한 것이 논리적으로 동치임을 증명한다. 만일 어떤 논리식과 그것의 부정이 모두 증명 가능하면, 그 체계는 무모순이 아니다, 따라서 산술체계가 무모순하면, G와 ～G 모두가 증명되는 일이 있어서는 안 된다.
셋째, G가 증명 불가능하지는 않지만 참인 논리식임을 제시한다.
넷째, G가 참이지만 증명 불가능하므로, 산술체계는 불완전하다(제1불완전성정리).
다섯째, 먼저 "산술체계가 무모순하다"는 메타수학적 명제를 나타내는 논리식 J 를 구성한다. 그리고 논리식 "J이면 G이다"가 증명 가능함을 보인다. 끝으로, 논리식 J가 증명 가능하지 않음을 증명한다.

참고자료

· 1. 괴 델
· 존캐스티, 베르너 드파울리 2002
· 2. 불완전성의 정리
· 연세대학교 명예교수 임정대
· 3. http://myhome.naver.com/hypnotic/
· 4. http://mathstart.org/man/man_33.htm