[괴델]괴델의 불완전성 정리

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목차

1.불완전성 정리의 배경
2.불완전성 정리의 내용
2.1불완전성 정리의 내용 요약
3.불완전성 정리의 영향

본문내용

1.불완전성 정리의 배경

힐베르트는 그리스 이래 모든 수학자들이 뚬꾸어 오던 것처럼 유한 개념의 공리(법칙, 원리)로 수학을 완성시킬 수 있다고 믿었다. 다시 말해서 수학의 모든 명제를 몇 개 안되는 공리를 바탕으로 증명할 수 있다고 생각한 것이다. 이러한 입장을 ‘유한주의’라고 부른다. 그러니까 서구의 지성사는 유클리드의 <원론>에서 개화되었던 그리tm 이랴의 전통을 충실히 지켜온 것이다.

힐베르트는 집합론의 패러독스가 자아낸 수학의 위기를 극복하기 위하여, 먼저 수학체RP에 모순이 일어나지 않는다는 것을 밝히려고 하였다. 그러기 위해 논리체계를 비롯하여 자연수 체계, 집합론, 실수론 등의 공리계에 대해서 재검토해 보고 무모순인 공리계를 확립하여, 이들의 ‘완전성’이 확실히 보장받도록 할 것을 제창 하였다. 이것이 이른바 ‘힐베르트 프로그램‘이다.

힐베르트의 계획은 그의 추종자들에 의하여 추진되고 있었는데 이들 중에 오스트리아 출신의 괴델이 있었다. 그는 힐베르트의 프로그램의 실현여부를 알기위해 수학의 완전성을 증명하려고 시도하였다. 그러나 그 결과로 그는 연구목적과 반대로 수학의 불완전성을 증명하게 되었다. 이것이 괴델의 ‘불완전성 정리’의 탄생 배경이다.

자신의 정리를 통해 괴델은 산술을-수학을-완전히 총체적으로 공리화 하려는 힐베르트의 작은 희망의 불씨를 단숨에 앗아가 버렸다. 괴델의 정리는 수학, 철학, 컴퓨터 과학, 언어학, 심리학에 큰 영향을 끼쳤으며 인류가 이룩한 위대한 지적인 업적들 중에서도 손꼽을 만한 것 중의 하나이다.
2.불완전성 정리의 내용

수학에서 쓰이는 공리들은 오늘날까지 알려진 것 외에 더 있을 수 없는가? 즉, 아직도 발견하지 못한

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