비유클리드기하학

목차

1. 비유클리드 기하는 수학적으로 합법적인가?
2. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 비교
3. 무엇이 옳은 기하학인가?
4. 기하학의 해방

본문내용

비유클리드 기하는 수학적으로 합법적인가?
쌍곡기하(비유클리드 기하)가 수학적으로 합법적임을 보이기 위해 먼저 공준집합의 몇 가지 성질에 대해 알아보자. 두 개의 서로 다른 공준집합에 대한 성질인 동치성, 하나의 개별적인 공준집합에 대한 무모순성, 독립성, 완전성, 절대성을 살펴보도록 하겠다.
두 공준 체계 과 에 대해 각 체계가 다른 체계를 함의하면, 즉 각 체계의 기본적인 용어들은 다른 체계의 기본적인 용어들을 사용해서 정의할 수 있고 각 체계의 공준들은 다른 체계의 공준으로부터 유도할 수 있으면, 두 체계를 동치라 부른다. 두 공준 체계가 동치이면 그것들에 의해 수반되는 두 가지 추상적인 연구는 물론 같고, 그것은 단지 ‘같은 것을 다른 방법으로 말하는 것’에 불과하다.
어떤 공준 집합에 의해 모순된 명제들이 함의되지 않으면, 그 공준 집합을 무모순이라 부른다. 공준 집합의 무모순성을 증명하기 위해 현재까지 고안된 가장 성공적인 방법은 모형의 방법이다.

참고자료

· 수학적 경험(경문사)-필립 J 데이비스, 로이벤 허시
· 수학의 기초와 기본개념(경문사)-Howard Eves
· 수학: 양식의 과학(경문사)-Keith Devlin
· 수학의 위대한 순간들(경문사)-Howard Eves