소개글
"미분적분학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 미분과 적분의 기본 개념
1.1. 미분의 정의와 특성
1.2. 적분의 정의와 특성
1.3. 미분과 적분의 관계
2. 미분의 실생활 응용
2.1. 과속 방지 카메라
2.2. 일기 예보
3. 적분의 실생활 응용
3.1. 자동차 속력 계기판
3.2. 엘리베이터에서의 적분 응용
3.3. CT(computed tomograpy) 원리
4. 전자탐사와 적분방정식
4.1. 적분방정식을 이용한 소형 루프형 해양 전자탐사
5. 확률분포의 형태
5.1. 이산형 확률분포
5.2. 연속형 확률분포
6. 참고 문헌
본문내용
1. 미분과 적분의 기본 개념
1.1. 미분의 정의와 특성
미분이란 어떤 운동이나 함수의 순간적인 움직임을 서술하는 방법이다. 수학에서는 함수의 그래프를 그릴 때, 어떤 함수의 도함수를 구할 때 등등 널리 사용된다. 어떠한 함수 f(x)가 있을 때 f(x)의 도함수 f'(x)는 f(x)의 순간변화율의 함수값을 가지므로 극한을 사용하여 f'(x)= lim _{h-> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}} 라는 간단한 식을 얻을 수 있다. 모든 x에 대해서 f'(x)의 값이 존재한다면 f(x)는 미분가능하다는 뜻이며, f'(x)와 {df} over {dx} 그리고 {d} over {dx} f(x)는 같은 표현으로 쓰인다.
수학에서의 미분은 함수 f(x)와 g(x)가 동시에 지나는 점(a,b)에서의 접선의 기울기를 미분을 이용하여 구할 수 있다. 또한 점(a,b)가 아니더라도 그래프 위의 모든 점에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다. 미분적분학뿐만 아니라 다른 과목에서도 미분을 활용하여 문제를 해결하고 있다. 유체역학이나 동역학, 그리고 토질역학 등등 우리 과에서 배우는 과목들은 모두 미분에 기초를 두고 있다.
1.2. 적분의 정의와 특성
함수의 적분은 넓이와 부피를 계산하는 데 사용된다. 두 개 이상의 변수를 가진 함수의 정적분과 곡선 위의 선적분, 곡면 위의 면적분 역시 여러 과학 분야에서 유용하게 사용되고 있기 때문에 실생활에서 여러 방면에서 쓰이게 된다. 어떠한 함수 f(x)가 있을 때 적분을 해서 f(x)가 되는 함수를 f(x)의 부정적분이라고 하며, 보통 f(x)의 부정적분은 f'(x)로 표현한다. f(x)과 f'(x)를 이용하여 간단히 표현하자면 f(x)= ∫f'(x) dx로 표현할 수 있다.
구간을 정해서 적분을 하고 싶다면 정적분을 사용하면 되는데 함수 f(x)안에 있는 어떤 구간 (a,b) 사이를 적분한다고 하면 ∫a^b f(x) dx로 나타낼 수 있고, f(x)을 적분한 함수를 F(x)라 한다면 ∫a^b f(x) dx는 F(b)-F(a)로 풀 수 있다. 미분과 마찬가지로 적분 또한 수학뿐만 아니라 다른 곳에서 유용하게 쓰이고 있다. 전공과 관련된 토질역학이나 유체역학 같은 과목명에 역학이 들어간다면 적분을 기초로 하여 배우게 된다.
1.3. 미분과 적분의 관계
미분과 적분의 관계는 매우 밀접하다. 미분과 적분은 서로 반대되는 개념이지만 서로를 보완하는 관계에 있다. 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 구하는 것이 미분이라면, 함수 f(x)를 구하는 것이 적분이라고 할 수 있다.
함수 f(x)가 주어졌을 때, 이 함수의 도함수 f'(x)를 구하면 이 함수가 어떻게 변화하는지를 알 수 있다. 반대로 도함수 f'(x)가 주어졌을 때, 이를 적분하여 원래의 함수 f(x)를 구할 수 있다. 이를 "미분의 역과정이 적분이다"라고 표현한다.
수학에서는 이러한 미분과 적분의 관계를 다음과 같은 기본정리로 정의한다:
"함수 f(x)의 도함수가 f'(x)이면, f(x)의 부정적분은 ∫f'(x)dx = f(x) + C 이다."
여기서 C는 적분 상수로, 부정적분을 할 때 생기는 적분상수를 의미한다. 또한 정적분의 경우에도 미분과 적분의 관계가 성립한다:
"함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분은 ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)이다."
여기서 F(x)는 f(x)의 원시함수 또는 부정적분을 나타낸다.
이처럼 미분과 적분은 서로 역관계에 있으면서도 서로를 보완하는 관계이다. 함수의 성질을 분석하고자 할 때 이 두...
참고 자료
[네이버 지식백과] 미분 [differential] 대한 수학회
[네이버 지식백과] 적분 [integral] 대한 수학회
[앗, 이런 곳에도 수학이!] - 황소연 옮김, 아키마야 진, 마쓰나가 기요코 지음(2013)
[생활 속의 수학] - 이규봉, 김성숙, 김화수 지음(2008)
[수학은 생활이다] - 박형빈 지음(1998)
[멜론 수학] - 박영훈, 황선희 지음(2007)
[뉴턴이 들려주는 미분1 이야기] - 김승태 지음(2009)
[네이버 지식백과] PID 제어 [proportional integral derivative control, -制御] (IT용어사전, 한국정보통신기술협회)
[네이버 지식백과] 컴퓨터 단층촬영 [computed tomography] (서울대학교병원 의학정보, 서울대학교병원)
[네이버 지식백과] 푸리에 변환 [fourier transform] (파퓰러음악용어사전 & 클래식음악용어사전, 2002. 1. 28., 삼호뮤직)
논문 : [적분방정식 기반의 3차원 모델링을 이용한 소형 루프형 해양 전자탐사 자료의 반응 분석] - 고휘철·박인화·이성곤 (한국지질자원연구원 지열자원연구실, 과학기술연합대학교 물리탐사공학, 한국광물자원공사)
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