본문내용
1. 수학 보고서 (건축 속, 설계 된 미적분)
1.1. 미적분이란?
미적분은 미분과 적분의 수학적 이론을 말하며, 17세기 중반에 라이프니츠와 뉴턴에 의해 개발되었다. 라이프니츠나 뉴턴의 방법 모두 무한소 문제를 풀기 위한 것이었으며, 곡선의 접선, 호의 길이, 곡률 반경, 무게중심, 면적(넓이), 부피 등을 구하기 위해 쓰였다. 우리가 살고 있는 세상은 모든 것이 움직이고 변하는데, 미분은 이처럼 움직이는 대상을 다루고, 적분은 도형의 넓이, 부피와 같이 움직이지 않는 대상을 다룬다. 적분은 기원전부터 아이디어가 알려져 있었으나, 미분은 17세기에 이르러서야 비로소 시작되었다. 이는 움직이는 대상을 연구하는 것이 더 어렵기 때문이다. 이처럼 미적분은 17세기에 완성되었으며, 세상의 움직임과 변화를 연구하고 설명하는데 중요한 역할을 해왔다고 할 수 있다.
1.2. 건축 속 미적분
1.2.1. 피터 아이젠만의 작품
피터 아이젠만은 90년대에 건물과 랜드스케이프가 연속적인 관계를 갖는 프로젝트를 만들어냈다. 그의 작품인 뉴욕 IFCCA 도시 설계안(1999)과 생 쟈크 드 콤포스텔라(Saint Jacques de compostelle) 문화 센터 계획(1999)은 환경의 주름으로서의 건물이라는 개념을 보여준다. 이들의 작품에서 연속성과 유동성은 종종 운동, 행동, 순환들, 프로그램들의 미분적 분석 그래프에 의해 정당화된다. 이처럼 아이젠만의 작품들은 미적분과 직접적인 관련성을 보여주고 있다. 그의 건물은 또한 사건과 행위를 발생하는 잠재적인 장이나 환경으로 작동한다. 블롭(blob) 건축, 유동적(fluid) 건축, 액체(liquid) 건축, 혼성(hybrid) 건축, 비-표준(non-standard) 건축 등은 이러한 미분적인 사건으로부터 도출되는 환경으로서의 건축을 만드는 시도들을 보여준다.
1.2.2. 건축 속에서 사용된 미적분
1.2.2.1. 연속함수
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속이라고 한다. 또 어떤 구간에서 연속인 함수를 연속함수라고 한다. 이때 연속이란 어떤 x값을 중심으로 그 함수 값이 극단적으로 변화하지 않고 부드럽게 변화한다는 것을 의미한다. 즉, 작은 변화에도 함수 값이 크게 변화하지 않는다는 뜻이다.
연속함수는 수학에서 매우 중요한 의미를 가지는데, 미분과 적분 등의 개념과 깊은 관련이 있기 때문이다. 예를 들어 어떤 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하려면 f(x)가 x=a에서 연속이어야 한다. 또한 정적분을 구하기 위해서는 그 구간에서 함수가 연속이어야 한다.
따라서 연속함수는 미분가능성, 정적분의 계산 등 수학의 핵심 개념들과 깊이 관련되어 있어, 수학적 분석을 위해 매우 중요한 성질이라고 볼 수 있다. 건축 설계에서도 곡면 형태 등 연속성이 중요한 요소로 작용하며, 건물의 구조적 안정성 등을 고려할 때 연속함수의 개념이 활용된다고 할 수 있다.
1.2.2.2. 미분가능과 연속성
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다. 즉, 미분가능성은 연속성을 내포한다. 그러나 반대로 함수 f(x)가 x=a에서 연속이라고 해서 x=a에서 반드시 미분가능한 것은 아니다. 함수 f(x)가 x=a에서 연속이 아니면 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않는다. 예를 들어 절대값 함수 |x|는 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 이처럼 연속성은 미분가능성보다 더 약한 개념이다.
1.2.2.3. 사이클로이드 곡선
사이클로이드 곡선은 원 모양 굴렁쇠 위의 한 지점에 점을 찍은 뒤 굴렸을 때, 그 점이 그리는 곡선이다. 이 곡선 위에서 공을 굴리면 직선보다 더 빨리 굴러 떨어진다. 우리나라의 전통 가옥인 한옥의 기와에서도 사이클로이드 곡선을 볼 수 있는데, 이는 빗방울을 빨리 흘려보내어 목재의 부식을 방지하는 역할을 한다. 즉, 사이클로이드 곡선은 건축물에서 실용적인 기능을 갖고 있는 것이다.
또한 사이클로이드 곡선은 스키장, 롤러코스터, 물고기의 비늘, 독수리의 낙하 등 다양한 자연 현상에서도 발견되어 왔다. 즉, 자연은 에너지를 적게 사용하면서도 최적의 해결책을 스스로 찾아내는데, 사이클로이드 곡선은 이러한 자연의 지혜를 잘 보여주는 대표적인 예라고 할 수 있다.
이처럼 사이클로이드 곡선은 건축과 자연 현상에서 중요한 역할을 하고 있으며, 수학적으로도 매우 의미 있는 곡선이다. 사이클로이드 곡선을 통해 우리는 자연의 지혜와 수학의 관계, 그리고 건축 디자인에 수학이 미치는 영향을 알 수 있다.
1.2.2.4. 지수함수
지수함수란 밑과 지수의 거듭제곱 꼴의 함수로, 1이 아닌 양수 a에 대하여 f(x)=a^x 꼴로 나타나는 함수를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 한다. 이러한 지수함수는 건축물에서도 다양하게 활용되고 있는데, 대표적인 예로 프랑스 파리의 에펠탑을 들 수 있다.
에펠탑은 좌우 대칭으로 우아하게 뻗은 곡선으로 유명한데, 이러한 곡선은 지수함수 y=2^n의 그래프와 닮아있다. 즉, 지수 n의 자리에 1부터 차례로 숫자를 넣어 계산한 값을 좌표에서 이으면 에펠탑의 곡선이 완성된다는 것이다. 처음에 에펠탑을 설계할 때는 수학적 곡선, 함수를 이용하지 않고 단순한 느낌으로 지었지만, 결과적으로는 지수함수가 응용되어 아름답고 독특한 형태의 건축물이 탄생한 것이다.
이처럼 지수함수는 건축물의 특징적인 곡선을 만들어내는데 활용되어, 단순한 계산 도구가 아니라 실제 삶에 밀접히 연관된 수학 개념이라고 할 수 있다. 지수함수는 기술과 예술이 융합된 건축 분야에서 주요한 역할을 수행하며, 보이지 않는 수학의 힘이 우리 일상을 풍요롭게 만들고 있다고 볼 수 있다."
1.2.2.5. 쌍곡함수
쌍곡함수는 대표적으로 '쌍곡 코사인 함수'와 '쌍곡 사인 함수'가 있다. 쌍곡 코사인 함수는 cosh(x)로 나타내며, 지수함수의 덧셈에 의해 정의된다. 즉, cosh(x) = (e^x ...
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