소개글
"디리클레 함수"에 대한 내용입니다.
목차
1. 미적분학의 발전과 역사
1.1. 적분의 발명과 발전
1.2. 미분의 발명과 발전
1.3. 미적분학의 확립 및 확장
1.4. 미적분학이 근대 수학에 미친 영향
2. 함수의 역사 및 고찰
2.1. 라이프니츠와 함수의 개념
2.2. 오일러의 함수 표현법
2.3. 디리클레의 함수 정의
2.4. 칸토어와 집합론
2.5. 함수의 실생활 적용 사례
3. 리만적분과 르벡적분의 비교
3.1. 리만적분의 개념과 한계
3.2. 르벡적분의 정의와 특징
3.3. 두 적분법의 차이점
3.4. 적분 가능 함수 공간의 차이
4. 참고 문헌
본문내용
1. 미적분학의 발전과 역사
1.1. 적분의 발명과 발전
적분의 발명과 발전은 오랜 역사를 가지고 있다. 고대 그리스 시대부터 적분의 개념은 발견되었지만, 당시에는 수학적으로 엄밀하게 정의되지 않았다. 적분의 본격적인 역사는 17세기 중반 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었다고 볼 수 있다.
고대 그리스에서 아르키메데스는 실진법을 이용하여 적분의 기본 개념을 정립하였다. 아르키메데스는 곡선으로 둘러싸인 도형의 면적과 곡선의 길이를 구하려는 과정에서 적분의 개념을 발견하였다. 그는 도형을 무수히 많은 작은 선분으로 나누고 그 선분들의 합으로 도형의 면적을 구하려 했는데, 이것이 바로 적분의 기본 아이디어라고 할 수 있다. 하지만 당시 수학자들은 "무한"과 "무한소"의 개념을 받아들이기 어려워했기 때문에, 아르키메데스의 실진법은 엄밀한 수학적 체계를 확립하지 못했다.
17세기 중반 뉴턴과 라이프니츠는 적분과 미분의 관계를 밝혀내면서 미적분학의 기초를 마련했다. 뉴턴은 유율법(method of fluxion)을 창안했는데, 이는 운동과 관련된 속도와 가속도의 개념을 수학적으로 다룰 수 있게 해주었다. 한편 라이프니츠는 미분과 적분을 서로 역연산의 관계에 있는 것으로 정의하고, 적분을 위한 기호 ∫를 만들어냈다. 이로써 적분은 미분의 역과정으로 이해되게 되었고, 미적분학은 하나의 통일된 체계를 갖추게 되었다.
18세기에는 베르누이 가문과 오일러 등 유럽의 많은 수학자들이 적분학을 발전시켰다. 야곱 베르누이는 '적분(integral)'이라는 용어를 처음 사용했고, 요한 베르누이는 적분과 관련된 '로피탈의 정리'를 발견했다. 또한 오일러는 수많은 공식과 표기법을 만들어냈으며, 대학 교재의 표본이 되는 훌륭한 저서들을 집필했다.
19세기에는 코시와 리만 등의 수학자들이 적분의 개념을 보다 엄밀하게 정의하고자 노력했다. 특히 코시는 적분의 기초가 되는 "무한"과 "극한" 개념을 명확히 정립했는데, 이를 통해 적분 이론이 해석학의 토대 위에 세워질 수 있었다. 리만은 코시의 적분 개념을 더욱 일반화시켜 적분가능 함수의 범위를 확장시켰다.
20세기에는 르베그가 측도 개념을 도입한 새로운 적분을 제안함으로써, 리만 적분의 한계를 극복하였다. 르베그 적분은 함수의 정의역이 아닌 치역을 분할함으로써 기존에 적분이 불가능했던 함수들도 적분할 수 있게 해주었다.
이처럼 적분의 발명과 발전 과정은 2000년 이상의 오랜 역사를 가지고 있다. 고대 그리스에서 시작된 적분 개념은 수학자들의 끊임없는 노력을 거쳐 점점 더 엄밀한 틀 속에 자리 잡게 되었다. 특히 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미분과 적분의 관계가 정립되면서 미적분학이 탄생했고, 이후 수학자들의 연구로 인해 점차 발전을 거듭해 왔다고 볼 수 있다."
1.2. 미분의 발명과 발전
미분의 발명과 발전에 대해서는 다음과 같다.
미분은 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠에 의해 동시에 발명되었다. 뉴턴은 '유율법(method of fluxion)'이라는 이름으로, 라이프니츠는 '미분법(calculus)'이라는 이름으로 미분을 발명하였다.
뉴턴은 운동과 관련하여 발생하는 속도나 가속도의 개념을 나타내기 위해 '유량(fluxion)'과 '유율(fluxure)'이라는 개념을 고안하였다. 유량이란 액체뿐만 아니라 연속적으로 변화하는 모든 양을 의미하고, 유율은 독립변수인 시간에 대한 유량의 변화율을 뜻한다. 뉴턴은 유율의 유율, 그 유율의 유율과 같이 새로운 유율이 계속 나타나는 과정을 통해 미분을 정의하였다. 즉, 뉴턴에게 미분은 연속운동에서의 속도와 가속도를 구하는 방법이었다.
반면 라이프니츠는 미분을 변화량에 대한 변화량의 관계로 정의하였다. 라이프니츠는 변량 X에 대한 함수 Y를 "X에 관한 식"이라고 표현했는데, 이는 오늘날 우리가 사용하는 함수 표기법 f(x)와 유사하다. 그리고 라이프니츠는 미분을 dy/dx라는 기호로 나타내어 미적분학의 기호법을 정립하였다. 이처럼 뉴턴과 라이프니츠는 서로 다른 관점에서 미분을 정의했지만, 결과적으로 미분이라는 개념을 독립적으로 발명한 것이다.
뉴턴과 라이프니츠의 미분 발명 이후, 18세기에는 베르누이 일가와 오일러, 테일러, 매클로린 등 많은 수학자들에 의해 미분학이 크게 발전하였다. 베르누이 일가는 유럽 대륙에 미적분학을 전파하는데 힘썼고, 오일러는 다양한 미분 공식과 표기법을 만들어냈다. 테일러와 매클로린은 유용한 함수 전개식을 발표하였다.
한편 19세기에는 미분의 기초 개념에 대한 엄밀성 문제가 대두되었다. 뉴턴과 라이프니츠는 무한, 무한소 등의 개념을 사용하여 미분을 정의했지만, 이에 대한 수학적 엄밀성이 부족하였다. 이에 코시, 디리클레, 바이어슈트라스 등의 수학자들이 미분의 기초를 보다 엄밀하게 정립하고자 노력하였다. 특히 코시는 '델타-엡실론 이론'을 통해 연속성의 개념을 명확히 정의하여 미분의 토대를 수립하는데 기여하였다.
이처럼 미분은 뉴턴과 라이프니츠의 발명을 시작으로, 18세기와 19세기를 거치며 개념의 정립과 발전을 이루어왔다. 수학자들의 노력을 통해 미분이라는 개념이 점차 완성되어 왔으며, ...
참고 자료
르벡적분과 적분가능 함수공간 , 2010 , 이인선 , 원광대학교
적분개념의 발달 : 리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로 , 2008 , 김경화 , 한국수학사학회지
구분구적법과 정적분의 개념 분석, 2008 , 신보미 외 1 명 , 한국학교수학회논문집
수학백과 리만적분
수학백과 르베그 적분
기본자료
김용운 편, 『김용운의 수학사』, 살림, 2017
학위논문
심유미, 「미적분학의 수학사적 고찰」, 연세대학교 석사학위논문, 2016
이수정, 「수학사를 활용한 미적분학 지도자료 연구」, 인하대학교 석사학위논문, 2018
단행본
다카하시 수유․다케우치 도루 외, 『(뉴턴의 대발명) 미분과 적분』, 뉴턴코리아, 2016
https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2446240&categoryId=51640&cid=51640&tkFrom=tlist&tkListId=270599&tkTocId=355850&tkSort=
