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[컴퓨터네트워크] 모바일ip 평가B괜찮아요

1. Mobile IP의 등장배경 및 개요인터넷의 확산과 기업들의 세계화로 공항이나 회의장 등에서 노트북을 사용하는 비즈니스맨을 찾아보는 것은 어려운 일이 아니다. 이제 인터넷 사용자들은 언제 어디서나 고품질의 인터넷 서비스를 사용하기를 바라고 있으며, 휴대용 컴퓨터나 PDA와 같은 이동 단말기들의 성능 향상과 무선 통신 기술의 발전으로 인하여 그 사용자 수가 크게 증가하고 있다. 그러나, 자신의 홈 네트워크를 떠나 있을 때 이동성이 있는 단말기로 인터넷을 사용하는 것은 그리 쉽지 않다. 즉, 이동한 곳에서 모뎀을 이용하거나 새로운 IP주소를 할당받아야 하는 데, 이는 기존의 IP 프로토콜이 이동성을 보장해주지 못하기 때문이다. 이런 문제를 해결하기 위해 제안된 방법이 모바일 IP다.인터넷은 개발 초기에서부터 모든 종류의 네트워크 기술을 포함하는 범용성이 설계의 중요한 원칙중의 하나였다. 이동 인터넷도 이러한 원칙하에 기존의 네트워크와 효과적으로 연동 되도록 하면서 서로 다른 유선/무선 종류의 네트워크 간의 교환도 유연히 일어나도록 설계 되어야 한다. 이러한 관점에서 Mobile IP에서는 기존 네트워크들과의 연동을 위하여 현재의 주소 체계, 이름 체계, DNS등을 수정하지 않고, 이동성으로 인한 인터넷 주소 변환 문제를 해결하기 위하여 새로운 주소 변환 기법을 도입하여 IP 계층에서 이동성을 지원하도록 하였다. 이동성 지원을 TCP/UDP 계층 이상의 상위 계층이나 데이터 링크 계층 이하의 하위 계층에서 지원하지 않는 이유는 각각 효율성과 범용성에 근거 하고 있다.모바일 IP 이용자는 자신의 홈 네트워크가 아닌 다른 곳에서도 기존의 IP 주소를 이용해, 인터넷을 사용할 수 있다. 상대방 역시 해당 단말이 어느 곳에 위치해 있는지를 인식할 필요 없이 해당 단말의 기존 IP 주소로만 연결을 설정하면 된다. 즉, 모바일 IP란 단말의 이동을 검출하고, 이동 후의 네트워크에서도 이동 전의 네트워크에서와 동일하게 통신할 수 있게 해주는 프로토콜이다. 이의 구현을 위해는 이러한 기능을 이동형 에이전트(Mobile Agent)를 이용해 수행한다. 이동형 에이전트는 이동 단말의 홈 네트워크에 접속돼 있는 홈 에이전트와 이동 단말의 방문지 네트워크에 접속돼 있는 외부 에이전트(Foreign Agent)로 구별된다. 홈 네트워크를 떠나 방문 네트워크에 도착한 이동 단말은 방문지 네트워크에 속해있는 외부 에이전트에게 새로운 IP 주소(Care of Address)를 신청한다. 그러면 외부 에이전트는 새로운 IP 주소의 할당 가능 여부를 검사한 후 이동 단말에 새로운 IP 주소를 할당하고 이를 자신의 리스트에 기록한다. 또한, 이 사실을 이동 단말의 홈 에이전트에게 전송한다. 이 메시지를 받은 홈 에이전트는 자신의 리스트에 이동 단말의 새로운 IP 주소를 기록함으로써 이동 단말의 위치를 검출할 수 있다. 이동 단말과 통신을 하는 상대방은 이동 단말의 기존 IP 주소를 수신으로 하여 패킷을 전송한다. 이동 단말의 홈 네트워크로 전송된 패킷은 홈 에이전트가 대리 수신하며, 홈 에이전트는 이 패킷의 주소에 이동 단말의 새로운 주소를 첨가, 외부 에이전트로 전송한다. 이 패킷을 수신한 외부 에이전트는 패킷에서 첨가된 주소를 삭제한 후 남아있는 이동 단말의 실제 IP 주소를 확인, 해당 단말에 전송한다. 이동 단말에서 상대방으로 전송할 경우에는 자신의 실제 IP 주소를 이용해 홈 에이전트를 거치지 않고 외부 에이전트를 통해 직접 전송하게 된다. 모바일 IP는 이미 1996년 제안돼 활발히 논의돼왔음에도 불구, 아직까지 널리 사용되지 못하고 있다. 이는 이동 단말의 방문지의 네트워크 교환기가 모바일 IP를 지원하지 않는다면(즉, 외부 에이전트가 존재하지 않는다면) 모바일 IP를 사용할 수 없기 때문이다. 가능한 많은 라우터에 모바일 IP를 설치해야 유용한 서비스를 얻을 수 있는데, 시장성이 크지 않다고 여겨지면서 실용화되지 못한 것이다. 그러나, 웨어러블 컴퓨팅(Wearable computing), 유비퀴터스 컴퓨팅(Ubiquitous Comp 또한, 차세대 이동통신 서비스인 IMT-2000에서도 북미의 3GPP2는 모바일 IP를 기반으로 한 서비스를 제안하고 있으며, 유럽의 3GPP의 경우, 현재는 GTP를 이용하여 이동성을 지원하지만 향후 모바일 IP를 수용할 것으로 알려졌다. 모바일 IP의 개선에 대한 추후 연구 과제로는 이동 단말이 홈 네트워크에서 멀리 떨어져 있을 때 이의 접속을 지속적으로 유지하기 어려운 점, 방문지 네트워크를 옮기는 순간에 발생하는 핸드 오프 문제, 그리고 효율적인 등록 및 전송을 위한 지역 등록 등을 들 수 있다.2. Mobile IP 동향무선인터넷 사용자가 지금과 같은 증가 추세라면 기존의 IPv4의 주소체계로는 늘어나는 IP 주소 요구량을 충족시킬 수 없으므로 현재 차세대 인터넷 프로토콜로 주목받고 있는 IPv6를 이용하여 이동성을 제공하고자 하는 연구가 활발히 진행되고 있다.IPv6는 앞으로의 수요를 충족시킬 만큼의 충분한 주소를 제공할 수 있는 큰 주소공간을 가지고 있어 IPv4의 주소부족 문제를 해결한다. 모바일 IPv6는 IPv6의 기능들을 그대로 이용하면서 이동성을 제공 하고자 하기 때문에 모바일 IPv4 보다 효과적으로 이동성을 지원할 수 있으며 탁월한 규모 확장성을 지니고 있다.즉, 네이버 디스커버리(Neighbor Discovery)와 주소 자동설정(Address auto-configuration) 기능이 IPv4에서의 외부 에이전트 기능을 대신함으로써 IPv4에서는 존재해야만 했던 일부 시그널 메시지들과 에이전트를 제거하였다. 또한 경로 최적화를 위한 프로토콜인 차세대 인터넷 프로토콜인 IPv6의 연구가 마무리 단계에 있으며 그 전개가 구체화되면서 IPv6 위에서의 응용들에 대한 연구가더욱 활발하게 이루어지고 있다. 이동단말기로 인터넷을 즐기는 사용자들이 큰폭으로 증가함에 따라 모바일 IPv6는 IPv6가 사용 되는한 함께 제공되어야 하는 필수 항목 중 하나가 되었으며, 여러망 사업자들, 대학들, 연구기관 및 기업체에서 프로토콜 스펙에 맞는 모바일 도입이 필연적이므로 IPv6가 사용되는 한 필수적으로 제공되어야 하는 모바일 IPv6는 선도적인 기업들 및 연구단체, 대학등에서 그 필요성을 인식하여 이미구현을 완료했거나 진행중에 있다.모바일 IPv6에 대한 표준화 작업은 모바일 IP 워킹 그룹에서 진행하고 있으며, 현재‘draft-ietf -mo bileip-ipv6-14.txt’ 버전까지 업데이트 되어 있다.모바일 IPv6는 홈 에이전트, 홈 망, COA(Care of Address)등의 모바일 IPv4의 기본 개념을 그대로수용하고 있다.- 이동노드(Mobile Node: MN) : 자신의 망 접속위치를 바꾸는 호스트 또는 라우터- Correspondent Node(CN) : 이동 노드와 통신하고 있는 호스트 또는 라우터- 홈 에이전트(Home Agent, HA) : 홈 망에 있는 라우터 중 이동 노드의 등록 정보를 가지고 있 어 외부망에 있는 이동 노드의 현재 위치로 데이터 그램을 보내주는 라우터- COA : 이동 노드가 외부 망으로 이동 하였을 경우 IPv6의 주소 자동 설정으로 획득한 주소로 이동 노드가 현재 위치한 망의 프리픽스 정보를 갖으며, 이동노드에서 전송하는 모든패킷은이 주소를 IPv6 헤더의 근원지 주소로 설정- 바인딩(Binding) : 이동한 노드가 홈에이전트에 등록하는 COA와 해당노드의 홈 주소를 매치 시켜 놓는 것으로 일정 라이프 타임내에 갱신되지 않으면 무효화 됨.4. 모바일 IPv6에서 새롭게 정의된 옵션 및 메시지IPv6 노드들이 이동 노드의 바인딩 정보를 동적으로 알아내고 저장하기 위해서 사용하는 새롭게 정의된 옵션들은 다음과 같다.- Binding Update(BU): 이동 노드가 홈 에이전트와 CN에게 자신의 COA를 알리기 위해서 사용- Binding Acknowledgement(BA): HA는 이동 노드에게 BU에 대한 응답으로 BA 전송- Binding Request(BR): CN은 이동 노드는 바인딩 정보의 라이프 타임(lifetime)이 종료하기 전 에 새로운 내 BU를 요구, IPv6 노드는 터널링을 사용하지 않으면서 TCP 연결과 같은 상위 계층 연결을 유지하기 위해서 다음 수신지(destination) 옵션을 정의한다.- 홈 어드레스 옵션(Home Address Option): 이동하는 노드는 CN과 통신할 때 데이터그램의 근원지 주소로 자신의COA를 사용하고 홈 어드레스 옵션에 자신의 홈 주소를 넣어서 전송한다. 이를 수신한 CN은 근원지 주소와 홈 어드레스 옵션 내의 주소를 교체함으로써 TCP 연결과 같이 어드레스와 포트 페어(port pair)로 컨넥션(con -nection) 을 구별하는 상위계층의 연결을 유지할 수 있고 방화벽과 같은 진입 필터링이 구현된망도 무리없이 통과할 수 있다.5. Mobile IP의 기능1) 에이전트 발견MN가 연결된 곳이 홈 네트워크인지, 외부 네트워크인지 결정 할 수 있게 해준다. 또한 MN가 다른 네트워크로 이동했는지 알 수 있게 한다. Mobile IP는 ICMP Router Discovery 를 확장하여, Agent Discovery로 사용한다. Agent Advertisement이동 에이젼트에 의해서 전송되며, MN는 이 메시지를 이용하여, 현재 연결된위치 를 판단한다. Agent Advertisement는 ICMP Router Advertisement에 Mobility Agent Advertisement Extension과 Pregix-Lengths Extension, One-bye Padding Extension 등이 확장 된 것이다. Mobility Agent Advertisement ExtensionICMP Router Advertisement 다음에 위치하고, 이동 에이전트에 의한 Mobility Agent Advertisement 메시지임을 나타낸다. Type, Length, Sequence Number, Registration Lifetime, Flags, Core-of Address가 이루어진다. Prefix-Lengths ExtensionMobilit이다.

공학/기술| 2004.07.07| 4페이지| 1,000원| 조회(1,031)

네트워크, 인터넷, IP, 모바일, 모바일IP

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[생활과 수학] 생활속의 수학 평가A좋아요

목 차1.우리 주변에 있는 큰 수2.자동판매기의 수학적 구조3.바코드와 수4.벌집은 왜 육각기둥인가?5.생활속의 그래프6.음성인식에 이용되는 수학7.행렬과 컴퓨터8.다이아몬드9.종이의 경제학10.맨홀뚜껑11.지뢰 찾기 게임12.암호를 이해하기 위한 수학13.생일이 같은 확률14.0과 1의 발명 디지털 TV15.리포트를 마치며16.참고 문헌1. 우리 주변에 있는 큰 수우리 주변에는 엄청나게 많고 큰 수가 존재한다. 머리 위의 하늘, 발 밑의 모래, 주위의 공기, 몸 속의 혈액, 이것들 모두가 눈에 보이지 않는 큰 수들을 그 속에 간직하고 있다. 별들의 수, 우리가 있는 곳에서부터 별에 이르는 거리, 별과 별 사이의 거리, 별의 크기, 별의 나이 ... 등에 관한 이야기를 들을 때 상상 밖의 엄청나게 큰 수를 만나게 된다.이 지구상에 흩어진 모래알의 개수에 대해서는 이미 아르키메데스가 계산해 놓았기 때문에 그렇다 치고, 우리가 숨쉬고 있는 공기속에는 가장 큰 "수의 거인"이 숨어 있다. 1m3마다 27000000000000000000개나 포함되어 있는 "분자"라고 불리는 미립자의 집합이 그것이다. 이수가 얼마나 큰 수인가는 상상조차 힘들다. 만일 지구상에 이것과 같은 수의 사람이 산다면 사람들을 수용하는 장소가 부족할 정도가 아니라, 모두 질식해 죽어 버리게 될 것이다.현미경으로 한 방울의 혈액을 살펴보면 "적혈구"라는 극히 작은 물체가 무수히 헤엄치고 있는 것을 볼 수 있다. 이 적혈구가 1mm3용적의 핏방울 속에는 500만 개나 들어 있다. 한 사람의 몸 속에는 몸무게를 나타내는 킬로그램당 약 1/14l의 혈액이 있다. 만일 몸무게가 40kg이면 몸 속에는 약 3l, 즉 3000000mm3의 혈액이 들어 있다. 1mm3의 혈액에는 500만 개의 적혈구가 들어 있기 때문에 몸 속에 들어 있는 적혈구 전체의 수는 5000000 X 3000000 = 15000000000000개. 그러니까 15조 개의 적혈구가 있는 셈이다.이 적혈구의 숫자는 그야말로 엄청난 것이다. 제외한 홀수자리 수의 합) = B3) A+B의 1자릿수를 10에서 뺀 수 : 체크 디지트이다.2) 바코드의 구성바코드를 판독하는 스캐너는 빛을 쪼여 빛이 바코드를 지날 때의 반사광선을 측정하여 판독한다. 이 때 각 숫자를 구성하는 막대를 구성하는 방법은 0∼9까지의 숫자를 코드화하여 만든다.25***************************************4567하나의 숫자는 위의 그림처럼 7피치로 구성되어 있다. 그림들을 보면 다른 것보다 긴 바가 있는데 이것은 양끝과 왼쪽 오른쪽을 구분한 선이다. 7피치를 적당히 배열하여 0∼9까지 숫자를 만든다.4. 벌집은 왜 육각기둥인가?꿀벌이 꿀을 저장하면서 살아가는 벌집을 살펴보면 정육각기둥으로 만들어져 있다. 왜 하필이면 정육각형의 도형을 선택하였을까? 공학적인 이유(비행기 날개, 건축물의 문 등도 내면이 정육각기둥의 벌집 모양으로 되어 있음)는 생략하고 수학적인 이유는 둘레가 같은 여러 가지 도형의 면적을 구하여 보면 그 모양이 원에 가까울수록 면적이 커진다. 그래서 꿀벌이 집단생활을 하지 않고 한 마리씩 독립생활을 한다면 당연히 원기둥의 집을 짓고 살았을 것이다.(또는 구 모양). 그러나 꿀벌은 집단공동 생활을 하고 있다.공동생활을 하는 꿀벌의 입장에서 같은 양의 재료를 사용하여 벌집을 지을 때 경제성을 우선하는 것을 알 수 있다. 평면을 정다각형으로 채우는 데 가장 경제적인 방법은 사이에 틈이 생기지 않도록 하기 위하여 정삼각형, 정사각형, 정육각형을 사용하여야 하고 그 가운데 서로 원에 가장 가까운 정육각형을 선택하였다. 이것이 꿀벌이 정육각기둥으로 벌집을 만드는 이유이다.5.생활속의 그래프우리가 살고 있는 도시의 거리(가로)가 잘 나타나 있는 지도에서 어느 한 지점을 굵은 점(·)으로 표시하면 이 점은 두 개 혹은 그 이상의 도로(거리)를 지나든가 혹은 막다른 골목이 되어 단 하나의 도로만으로 연결되어 있는 경우도 있다. 여기서 그래프라는 하나의 예를 얻을 수 있다. 도시의 어떤 도로는 한 방향으 확률에 관한 이론', '함수공간에서의 거리이론', '천이행렬, 행렬식과 같은 선형대수학에 관한 이론'등이 필요하다. 마지막으로 컴퓨터가 인식하는 과정을 살펴보면, 수학뿐만 아니라 국어, 물리, 사회 등에 대해서도 위의 과정을 거쳐 각각 특징 파라미터를 만들었다고 가정하고, 이제 어떤 사람이 전화(마이크)를 통해 수학이라고 말한다. 음성은 컴퓨터를 통해 숫자 데이터로 전환되고, 각 파라미터에 대해 확률계산을 하면 수학에 대한 파라미터에 대해 확률 값이 가장 크게 나온다. 이런 방법으로 컴퓨터는 음성을 인식하게 된다.7. 행렬과 컴퓨터우리가 현재 인터넷 사이트에 접속할 수 있는 것은 네트워크 망이 있기 때문이다. 통신회사에서 네트워크망을 구성할 때 어느 정도의 망을 구성하고, 비용은 어떻게 하고 할 때 수학에서의 행렬이 필요하다. 그리고, 컴퓨터 그래픽에서 행렬은 유용하다. 2차원, 3차원 그래픽을 표현할 때 행렬을 사용해야 한다. 또, 사람이 하면 엄청난 시간을 요구하는 행렬계산을 컴퓨터로 프로그래밍하여 쉽게 계산할 수 있다.아래 한글에서 글자크기를 크게 한다거나 작게 한다거나 기울게 한다거나 하는 것도 행렬을 이용한 것이다.8. 다이아몬드대부분의 여성들이 결혼예물로 가장 선호하는 보석은 단연 다이아몬드. 그리고 그 가치는 색상과 크기에 있다는 게 일반인들의 생각이다. 그러나 다이아몬드의 진정한 가치를 좌우하는 요소는 바로 커팅이라는 것이 전문가들의 얘기다. 국내기업인 삼신다이아몬드와 판매제휴를 맺은 세계적인 다이아몬드 브랜드 라자르 다이아몬드의 동아시아 마케팅 책임자 로라차우는 색과 투명도는 눈으로 구분할 수 없다. 오로지 빛만이 가치를 결정하며 그 빛을 만드는 것은 바로 커팅이라고 설명한다. 다이아몬드가 지닌 천연의 무지개색을 이끌어내는 완벽한 반사각을 만들기 위해서는 정확한 수학적 비율에 의한 커팅이 이루어져야 한다는 것. 그 과정에서 당연히 깎여나가는 부분이 많고, 그것이 작은 다이아몬드가 큰 것보다 더 비싼 값을 받는 이유라는 설명이다. 국내에서 유통 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. √2는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않는다. 이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념이 실생활에 유용한 종이의 재단에 이용된다.앞에서 A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414였다. 눈치챘겠지만, 이 값은 실제로 √2를 가리킨다. 단지 제조 과정에서 편의를 위해 근사값을 택했을 뿐이다. 그런데 왜 297mm×210mm일까. A4 용지의 전지를 A0라고 하는데, A0의 규격은 1189mm×841mm이다. 더 복잡한 수치다. 그런데 A0 용지의 넓이를 계산해보면 999949㎟임을 알 수 있다. 이는 1000000㎟, 즉 1㎡의 근사값이다. A0는 폭에 대한 길이의 비가 √2이고 넓이는 1㎡가 되도록 만든 종이이다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 A1, A2, A3, A4 등의 ‘에이(A)판’ 용지가 만들어진다. B4와 B5 용지도 많이 사용된다. 이런 종이도 A판과 같은 원리로 만들어진다. 전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는 √2이고 넓이는 1.5㎡가 되도록 규격을 1456mm×1030mm로 정했다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5 등의 ‘비(B)판’이 만들어진다.A판과 B판의 모든 용지가 서로 닮은꼴(A0와 B0의 닮음비는 √1.5이기 때문에, 적절한 비율로 확대하거나 축소해서 다른 용지에 복사할 수 있는 또다른 이점이 있다.A판과 B판의 폭에 대한 길이의 비는 우리 눈에 가장 아름답게 보인다는 황금비는 아니다. 그렇다고 주변에서 황금비를 이루는 종이나 책을 찾아보기 쉬운 것도 아니다. 실제로 황금비를 이루는 직사각형을 그려보면 이것이 매우 길다는 느낌을 갖게 될 것이다. ‘수학적으로’ 만들어진 종이인 A판과 B판이 현대적 황금비가 아닐까.테오도르 힐박사는 조지아 공대에서 자신의 수학 수업시간에 학생들에게 다음과 같은 숙제를 내주었다. ‘동전을 2백번 던져서 나오는있다.벤포드의 규칙을 이용한 이러한 종류의 소프트웨어들은 1999년과 2000년 사이의 중요한 회계상의 변화를 탐지해 낼 수 있으며 이를 간과했을 때 발생할 수 있는 문제를 미연에 방지할 수 있도록 해준다.10. 맨홀뚜껑맨홀 뚜껑은 왜 둥글까? 길을 지나가다 보면 흔히 보이는 맨홀 뚜껑은 항상 원 모양이다.왜 맨홀 뚜껑은 동그랄까? 세모난 모양의 뚜껑이라면 더 개성적일 텐데. 뉴턴의 사과처럼 궁금증을 가질 만하다. 답은 뚜껑이 구멍 속으로 빠지지 않게 하기 위해서다. 만약 맨홀 뚜껑이 삼각형이나 사각형으로 만들어져 있다면 뚜껑이 구멍 속으로 빠질 수 있다. 이 사실은 직접 종이판을 가지고 삼각형이나 사각형을 오려내 오려낸 구멍 속에 빠뜨려 보면 쉽게 확인할 수 있다. 만약 맨홀 뚜껑을 이렇게 만든다면 뚜껑이 자주 빠져 위험하기 짝이 없을 것이다. 맨홀 뚜껑이 원 모양으로 되어 있는 것은 원은 어느 방향으로 폭을 재어도 그 폭이 일정하기 때문이다. 원에서는 지름이 폭이 된다. 폭이 일정하기 때문에 원 모양으로 구멍과 뚜껑을 만들면 이런 맨홀 뚜껑은 구멍으로 빠지지 않는다. 원을 제외하고도 이렇게 폭이 일정한 도형(정폭도형)은 무수히 많이 있다. 삼각형 모양의 정폭도형, 오각형 모양의 정폭도형으로 맨홀 뚜껑을 바꿔보면 어떻겠는가?11. 지뢰찾기 게임수 백만명이 즐기는 개인용 컴퓨터(PC)의 지뢰찾기 게임 '마인스위퍼(Minesweeper)'가 지금까지 풀리지 않은 수학 문제는 물론 고도로 복잡한 컴퓨터 코드 해독의 열쇠가 될 수 있을까. 수학적 요소가 포함된 게임을 즐기며 수학과 게임은 멋진 동반자라고 생각할 만큼 게임 예찬론자인 영국 버밍엄 대학 수학과 교수 리처드 케이에 의해 이 흥미진진한 '게임'은 시작됐다. 윈도 운영체제(OS)에 기본적으로 포함돼 있는 마인스위퍼는 격자의 어느 곳에 지뢰가 묻혀있는 지를 알아내는 손쉬운 게임이다. 몇주에 걸쳐 마인스위퍼를 즐겼던 케이 교수는 이 게임이 현재보다 더 큰 격자에서 실행될 경우 지금까지 풀리지 않던 수학 문제에서순서

자연과학| 2003.12.29| 12페이지| 1,000원| 조회(5,074)

수학, 생활, 수, 생활속의수학, 수학의사용

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[생활과 수학] 수학에서 모순이란?

목 차1.모순(패러독스)이란?2.수학에서의 모순의 예1)전체는 부분보다 작지 않다2)대수에서의 가짜 증명3)존재증명4)n = n + 1의 증명3.무한에 얽힌 패러독스1)선분의 한끝에서 다른 끝으로 갈 수 없다2)달리기의 명수 아킬레스도 거북이를 따라잡을 수 없다3)나는 화살은 날지 않는다어떤 시간과 그 반의 시간은 같다4)모든 원둘레의 길이는 같다5)호텔 패러독스6)거짓말쟁이의 패러독스5.리포트를 마치며6.참고문헌1. 모순(패러독스)이란?역설이라고도 하며, 사전적 의미로는 "참된 명제와 모순되는 결론을 낳는 추론(推論)" 이라고 나와있다.패러독스라는 말은 우리말로는 역리라든가 역설 등이라 변역되어 있다. 원래 패러독스는 그리스어에서 유래한 말로서 통설(독사, doxa)에 반하는(파라, para) 것을 의미하고 있다 한다. '이와나미 수학 사전' 속의 '역리'의 항을 찾아보면 다음과 같이 적혀 있다.'일반의 판단에 반하는 결과를 유도하는 논설이 있고 그 설에 반론할 정당한 근거를 찾아내기 어려울 때 그 설을 역리(또는 역설)라 한다. 특히 어떤 명제와 그 부정명제가 함께 논리상 동등하다고 생각되는 논거를 갖고 주장되고 그에 이르는 추론 속에서 잘못을 명확히 지적할 수 없을 때 이것을 이율배반(antinomy)이라 한다. 그러나 이율배반과 역리는 엄밀히 구별하여 사용되는 말은 아니고 동의어로서도 사용된다.'2. 수학에서의 모순의 예1) 전체는 부분보다 작지 않다일대일 대응으로부터 전체가 그 일부분과 똑같다는 모순적인 결과가 나온다. 그리스 시대부터 '전체는 부분보다 크다'라고 생각되어 왔으나 무한개의 집합의 경우 자연수와 짝수와의 예처럼 전체가 그 일부분과 일대일로 대응하고 있는 것 같은 일도 있기 때문에 그리스 이래의 이 명제는 '전체는 부분보다 작지 않다'라 바꿔 적어야 할 것이다. 오히려 전체가 그 일부분과 똑같아지는 것이 무한집합의 특징이기 때문에 이러한 것을 사용하여 무한의 정의로 할 수도 있다. '무한집합이란 그 일부분과 일대일로 대응이 붙는 집합을 말대응을 붙일 수 없는 집합을 말한다'미다 씨의 수기 속에 삼각형의 밑변 BC와 중점을 연결한 선분 MN과는 일대일로 대응하고 있다라는 이야기가 나와 있었으나 M이나 N은 중점일 필요는 없고 선분 MN이 얼마만큼 짧은 선분이었다 하여도 밑변 BC와 일대일로 대응한다. 거듭 0과 1사이의 임의의 실수 x에 tan(x- { 1} over { 2}) pi가 되는 실수를 대응시키면 1밀리미터의 선분 속의 점의 개수는 무한으로 긴 직선에 포함되어 있는 점의 개수와 똑같다고 하는 정말 모순적인 결과가 나온다.2) 대수에서의 가짜 증명x에 대한 무리방정식x = 1 -SQRT { 2x-3}이 있다. 이것을 변형하여SQRT { 2x-3}= 1 - x 양변을 제곱하면2x - 3 = 1 - 2x + x2x2 - 4x + 4 = 0(x - 2)2 = 0그러므로 x = 2이것을 원래의 방정식에 대입해 보면 2 = 0가 된다.여기서 답이 나온 2는 무리 방정식의 풀이가 아니라는 것이다. 따라서 이 무리방정식에는 풀이가 없다고 말하면 된다. 이 방정식에 풀이가 있으면 그 풀이는 2라는 것을 얻을 수 있다. 그러나 2는 풀이가 아니라는 것을 알았다. 따라서 원래의 방정식에는 풀이가 없다라는 결과를 낳게 되어서 모순이 일어난다.3) 존재 증명2개의 2차방정식의 공통해를 구하는 문제가 두 문항 있다. 두 문항 모두 같은 방법으로 풀었는데도 한쪽은 옳은 답이 얻어지고 다른쪽은 잘못된 답이 얻어졌다.(1) x2 - 4x + 3 = 0 ……①x2 - 5x + 4 = 0 ……②의 공통해를 구하라.① - ②로부터 x - 1 = 0 따라서 x = 1이 공통해이다.(2) x2 - 6x + 5 = 0 ……③x2 - 5x + 6 = 0 ……④의 공통해를 구하라③ - ④로부터 -x - 1 = 0 따라서 x = -1이 공통해이다.원래의 방정식에 대입해 보면 (1)쪽은 1이 ①과 ②의 공통해로 되어 있다. 그런데도 (2)쪽에서는 -1은 ③과 ④도 만족시키지 않는다.4) n = n + 1의 증명다음은 모든 자연수 nn+1라는 사실에서부터 이끌어낸 증명이다.(n+1)^2 = n^2 +2n+1(n+1)^2 -(2n+1)=n^2(n+1)^2 -(n+1)(2n+1)=n^2 -n(2n+1)(n+1)^2 -(n+1)(2n+1)+ { (2n+1)^2 } over {4 } =n^2 -n(2n+1)+{ (2n+1)^2 } over {4 }LEFT { (n+1)-{ (2n+1) } over {2 } RIGHT } ^2 = LEFT { n-{ (2n+1) } over {2 } RIGHT } ^2(n+1)-{ (2n+1) } over {2 } =n-{ (2n+1) } over {2 }∴n+1=n이 된다.아니 이럴수가!!!n+1이n과 같다니 이 증명이 잘못된 것이 아니라면 수학사가 다시 씌어져야 할텐데... 어디가 틀렸을까? 다섯 번째 줄에서 여섯 번째 줄로 넘어가면서 제곱근을 취하는 과정에서 잘못이 생겼다.a^2 = b^2과 동치는a=b가 아니라a=±b이다.n+1은n과 같을 수 없으므로 우리의 경우a=b를 택해야 한다.(n+1)- { 2n+1} over { 2} =n+{ 2n+1} over { 2}만 원래식과 동치인 것이다.3. 무한에 얽힌 패러독스1) 선분의 한 끝에서 다른 끝으로 갈 수 없다.선분은 자와 콤파스를 사용하면 중점을 구할 수 있다. 선분의 길이가 아무리 짧아도 이것은 가능하다. 이 사실에서 선분이 무한개의 점을 포함하고 있음을 알 수 있다. 여기서 다음과 같은 문제가 일어난다.'만일 점이 아무리 작아도 크기를 갖는다면 이 선분의 한 끝에서 다른 끝으로 갈 수 있는가?'A로부터 B로 가기 위해서는 그 중점 C를 통과해야 한다. 또 A로부터 C로 가기 위해서는 그 중점 D를 통과해야 한다. 중점이 무한히 많고, 각 중점을 통과하는데 얼마만큼이라도 시간이 걸린다면, 유한의 시간 내에 무한의 점을 통과할 수 없으므로, 결국 A로부터 B로 가는 데는 무한의 시간이 소요될 것이다. 따라서 운동체는 A로부터 B에게로 도달할 수는 없다. 즉, 운동은 일어나지 않는다.이러한 파라독스를 내세워학자 제논이다.2) 달리기의 명수 아킬레스도 거북이를 따라잡을 수 없다제논과 입장을 달리하는 피타고라스학파의 지지자들은 이 파라독스에 대해서 선분상에 아무리 많은 점이 있다 하여도 이들 점에 하나씩 대응하는 시각 역시 크기가 없기 때문에, 모든 점을 통과하는 데는 무한의 시간이 필요 없다는 주장을 반박하기 위해서 제논이 내놓은 파라독스이다.아킬레스는 그리스 신화에 나오는 달리기의 명수, 그리고 거북이는 세상에서 제일 느린 동물로 알려져 있다. 이 파라독스는,라는 내용이다.아킬레스가 거북이를 따라 잡기 위해서는 먼저 거북이기 있던 지점을 통과해야 하지만, 이 때는 이미 거북이는 얼마만큼이라도 앞에 나가 있다. 아킬레스는 거북이가 나아간 만큼 또 가야 하지만 그 때는 거북이도 얼마 만큼 앞서 나가고 있다. 이렇게 해서, 아킬레스는 거북이를 따라잡을 듯 하면서도 영원히 거북이를 아슬아슬하게 놓치고 만다는 이야기이다.즉, 가장 발이 빠르다고 알려진 아킬레스도 그보다 먼저 출발한 거북이는 결코 따라잡을 수 없다. 아킬레스가 거북이의 출발점에 도착했을 때는 이미 거북이는 앞으로 나아갔고 아킬레스가 다시 따라잡을 경우에도 거북이는 이미 그 지점을 지나쳐버리기 때문이다.3) 나는 화살은 날지 않는다, 어떤 시간과 그 반의 시간은 같다시간이 "크기가 없는 무한의 시각의 모임"이라는 주장에 대해서 제논은 "날으는 화살은 날지 않는다"라는 파라독스를 내세워 반대한다.공중을 나는 화살을 생각해보면, 나는 시간 내의 각 시각에 있어서, 화살은 일정한 위치를 차지하고 있으므로, 마땅히 그 때마다 정지하고 있어야 한다. 이러한 정지가 아무리 모여 있어도 운동은 될 수 없다. 그러므로 시간이 무한의 시각으로 되어 있다는 것은 잘못인 것이다. 제논은 또, "어떤 시간과 그 반의 시간은 같다"라는 파라독스를 내놓았는데, 이에 대해서도 철학자들은 이렇다 할 반론으로 맞서지 못했다.A ○ ○ ○ ○ ○ ○B ○ ○ ○ ○ ○ ○ →C ← ○ ○ ○ ○ ○ ○A ○ ○ ○ ○ ○ ○B ○ ○ ○ 태, B와 C는 반대방향으로 같은 속도로 움직이고 있다. 어느 시간이 진 후, A, B, C는 그아래 그림과 같이 나란히 서게 된다. 이 위치에 오기 위해서는, B의 원소는 A의 3개의 원소를 스치고, 동시에 C의 6개의 원소를 스치게 된다.스치는 시간은, 스치는 원소의 개수에 비례하기 때문에, B, A가 스치는 시간은 B, C가 스치는 시간의 반이다. 그러나 이 두 가지 일은 동시에 일어난 것이기 때문에, 그 시간은 같다.따라서, 4) 모든 원둘레의 길이는 같다그림과 같이 A를 중심으로 하는 동심원의 판자를 평면상에 수직으로 세워서 1회전 시켰을 때 A, C, B가 D, F, E의 위치에 왔다고 하자. 이 때, BE는 큰 원판의 둘레의 길이이고, CF는 작은 원판의 길이이다.그런데 그림으로 보면 BE = CF이기 때문에, 큰 원판의 둘레와 작은 원판의 둘레의 길이가 같다라는 결론이 나온다. 그럴리가 없는데, 어디가 잘못되었을까?큰 원판 위의 점은 항상 BE에 딱 붙어서 회전하고 있고, 작은 원판의 점도 큰 원판의 반경 위에 있으므로 이것 역시 CF와 밀착되어 있다고 보아야 하고, 그러니 만일 C가 미끄러진다면 B도 반드시 미끄러질 텐데, 참으로 알다가도 모르는 일이라고, 누구나 한번쯤은 고개를 갸우뚱한다. 그러나 이 수수께끼는 그림의 아래쪽 부분의 정육각형을 회전시켜 보면 풀린다.큰 정육각형의 변은 언제나 직선 AS에 밀착하고 있으나, 작은 정육각형의 변은 군데군데서 점프하고 있다.예를 들어, 큰 정육각형이 오른쪽으로 회전하여, 그 위의 점 C가 Q와 겹쳤다고 하면, 작은 정육각형의 점 I는 O에, K는 P의 위치에 와서, IK는 OP와 겹쳐진다. 그렇다면, IO사이에서는, 작은 정육각형의 변은 직선 IT에 밀착하지 않고 점프한 셈이 된다. 작은 정육각형의 회전에서는 IO, PY, …와 같은 슬립하는 대목이 생기는 것이다.변의 개수를 아주 크게 늘려서, 이번에는 정백만각형의 경우를 생각해 보면, 작은 쪽의 회전의 자취 HT는, 백만 개의 변을 합친 길이와 백이다.

자연과학| 2003.12.29| 8페이지| 1,000원| 조회(959)

수학, 러셀, 패러독스, 모순, 역설

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[멀티미디어공학개론] 컴퓨터 용어 정리

1. PCM 과정표본화(sampling)- 연속적으로 변화하는 아날로그 신호를 주기적인 신호 진폭의 대표값을 뽑아내는조작→ PAM 조작- 표본화 기초정리 (Nyquist주파수) fs=2fm, T = 1 / fs양자화(quantization)- 읽어들인 표본치를 수량화하는 단계, 즉 PAM 파를 구분하여 대표값으로 만드는 조작부호화(coding)- 양자화된 표본 펄스의 진폭치를 디지털 부호로 바꾸는 과정- 0과 1의 2진 조합으로 변환, 즉 A/D변환2. ADSLasymmetric digital subscriber line(비대칭 디지털 가입자 라인)의 약어. xDSL 기술 중에서 주로 인터넷 접속, VOD, 원격 LAN 접속, 멀티미디어 접속에 사용되는 방법. 미국 벨애틀랜틱에서 개발한 비디오 전송을 위한 회선기술의 하나로서, 1.5Mbps급의 압축된 신호(MPEG-1)를 기존의 전화선인 2선식 가입자 선로(T1/E1급 선로)를 통해 전화국으로부터 5.5킬로미터까지 떨어진 가입자 집으로 전송하는 기술. 단방향 영상 채널과 제어신호를 위한 양방향 채널 및 일반 전화 채널이 각기 다른 주파수 대역으로 복조되어 있어 전화와 주문형 비디오(VOD)를 동시 서비스할 수 있다. 향 후 가입자 설비가 광케이블로 되기 전단계의 고속 가입자 전송수단으로 사용될 예정이다. 한국통신에는 반포전화국에서 시험서비스를 최초로 실시하였다. 상업적으로는 하나로통신이 99년도에 최초로 서비스하였다. 일반 가정용 가입자들은 적은 양의 데이터를 보내고 많은 양의 데이터를 받기 때문에 이런 비대칭 성질을 잘 이용한다. 데이터를 받을 때는 3km까지 6Mbps 속도로, 5km까지는 1.5Mbps 속도를 보일 수 있다. 양방향으로는 잘하면 640kbps 속도를 보인다. 국제표준으로는 ANSI의 T1.413, ITU-T에서 권고한 'G.992.1(G.dmt라고 불렀다.)'이 있고, 'G.992.2(G.lite)'가 있다. 그러나 각 회사별 독자 방식으로 동작되는 시스템도 많다.3. DRAM : 동적램 위해서는 주기적으로 재충전을 하여야 하는데, 이러한 작업을 Refresh라고 한다. 이와 달리 플립플롭을 이용하는 static RAM은 전기가 방전되는 현상이 없기 때문에 재충전 작업이 필요하지 않다. 동적 기억 소자가 정적 기억 소자보다 더 간단하고 더 작고 밀도가 더 높으며, 같은 용량의 정적 램보다 가격이 더 싸다. 대용량 기억장치에서 많이 채택되고 있다.4. CODEC부호기-해독기(COder-DECoder)의 약어. 한 장치 내에서 전송을 서로 다른 방향으로 하면서 신호를 부호화하고 해독하는 장치. 아날로그 신호를 디지털 신호로 바꾸거나 그 역의 작업을 수행하는 장치. 이는 신호를 통신회선을 통해 멀리까지 전송하기 위한 장치로, 변복조기(모뎀)와 기능이 유사하나 변환 방향은 반대이다.5. Sever & Client클라이언트/서버는 두 개의 컴퓨터 프로그램 사이에 이루어지는 역할 관계를 나타내는 것이다. 클라이언트는 다른 프로그램에게 서비스를 요청하는 프로그램이며, 서버는 그 요청에 대해 응답을 해주는 프로그램이다. 클라이언트/서버 개념은 단일 컴퓨터 내에서도 적용될 수 있지만, 네트웍 환경에서 더 큰 의미를 가진다. 네트웍 상에서 클라이언트/서버 모델은 여러 다른 지역에 걸쳐 분산되어 있는 프로그램들을 연결시켜주는 편리한 수단을 제공한다.클라이언트/서버 모델을 이용하여 거래내용을 처리하는 것은 매우 보편적인 일이다. 예를 들어, 누군가 자신의 은행계좌 내역을 조회하려고 하는 경우, 먼저 자신의 PC에 있는 클라이언트 프로그램이 은행에 위치한 거래 서버에 그 요구사항을 전송하게 되고, 거래 서버는 다시 계좌내역을 검색해주는 일을 하는 데이터베이스 서버에 그 요구사항을 보내게 된다. 데이터베이스 서버가 계좌내역을 검색하여 그 내용을 거래 서버에 보내면, 거래 서버는 다시 그 내용을 계좌 내역을 요구한 PC의 클라이언트 프로그램으로 보냄으로써, 최종적으로 화면에 나타나게 된다.클라이언트/서버 모델은 네트웍 컴퓨팅의 주요 개념이 되었다. 오늘날 만들어지고 있요구하는 클라이언트 프로그램이다.일반적인 클라이언트/서버 모델에서는, 보통 데몬(daemon)이라 불리는 서버프로그램이 먼저 활성화된 상태에서 클라이언트의 요구사항을 기다리는데, 대체로 다수의 클라이언트 프로그램이 하나의 서버 프로그램을 공유한다.컴퓨터를 판매하기 위한 마케팅 측면에 있어서 클라이언트/서버란 용어는 여러 대의 소형 컴퓨터들로 구성된 분산 컴퓨팅 구조와, 하나의 메인 컴퓨터로 구성된 중앙집중식 컴퓨팅 구조를 구별하기 위해 사용되어 왔다. 그러나 이런 차이점은 메인프레임과 그 응용프로그램들이 클라이언트/서버 모델과 혼합되어 네트웍 컴퓨팅 구조의 일부분이 되면서 거의 사라졌다6. Proxy Server인터넷을 사용하는 기업에서, 프럭시 서버는 PC 사용자와 인터넷 사이에서 중개자 역할을 수행하는 서버로서, 보안이나 관리적 차원의 규제 그리고 캐시 서비스 등을 제공한다. 프럭시 서버는 기업의 네트웍을 외부 네트웍으로부터 분리시켜주는 게이트웨이 서버, 그리고 기업의 네트웍을 외부의 침입으로부터 보호하는 방화벽 서버 등과 관련이 있거나, 또는 그 일부가 된다.프럭시 서버는 사용자로부터 웹 페이지 전송요청 등과 같은 인터넷 서비스 요청을 받는다. 만약 그 요구가 필터 요건을 통과한 정당한 요구라면, 프럭시 서버는 자신의 로컬 캐시에 이전에 다운로드 해놓았던 웹 페이지가 존재하는지를 확인한다. 이때, 만약 그 페이지가 발견되면, 사용자의 요구를 인터넷에서 새로 찾지 않고 로컬 캐시에 있는 내용을 사용자에게 보낸다. 그러나, 사용자가 캐시에 없는 내용을 요구한 경우에는, 프럭시 서버가 사용자를 대신해 자기 자신의 IP 주소 중 하나를 사용하여 외부의 인터넷에 있는 서버에 페이지 요구를 전달하고, 요청한 페이지가 도착되면, 프럭시 서버는 원래의 요청자에게 그것을 전달한다.그러나, 사용자에게 이러한 프럭시 서버의 존재는 보이지 않으며, 모든 인터넷 요구와 응답은 마치 해당 인터넷 서버와 직접 수행되는 것처럼 보인다 (사실 프럭시 서버가 사용자에게 완전히 안 보이는, 그 내용들은 사용자의 응답시간을 개선시킬 수 있도록 프럭시 서버의 캐시에 있는 것이 좋을 것이다. 그러나, 실제로 캐시 서버라고 불리는 특별한 서버들도 있다. 그외에도 프럭시 서버는 또한 입출력에 관한 기록을 남기는 일도 함께 수행한다.프럭시, 방화벽 그리고 캐시 등의 기능들은 별도의 서버 프로그램에서 수행될 수도 있고, 하나의 패키지에 통합되어 있을 수도 있다. 예를 들어 프럭시 서버는 방화벽 서버와 같은 컴퓨터에 있을 수도 있고, 별도의 서버에 존재하면서 방화벽을 통해 요구를 전달하는 것도 가능하다.7. Hub일반적으로, 허브는 (자전거 등의) 바퀴에서 살이 꼽히는 휠의 중심부를 말한다. 그 외에도 이 용어는 한 지역에서 다른 지역으로 비행기가 연결되는 공항을 '허브'라고 부르기 때문에, 해외 출장이 잦은 사람에게도 익숙한 용어이다. 그러나 데이터 통신에서 말하는 허브는, 데이터가 하나 또는 그 이상의 방향으로부터 한곳으로 모이는 장소로서, 들어온 데이터들은 다시 하나 또는 그 이상의 방향으로 전달된다. 허브는 보통 어떤 종류의 스위치를 포함한다 (스위치라고 불리는 장비는 보통 허브라고도 불린다). 허브는 데이터가 모여드는 곳이고 스위치는 모여든 데이터를 어떻게 그리고 어디로 보낼 것인지를 결정하는 것이, 두 장비의 차이점이다. 스위칭 측면에서 고려한다면, 허브는 또한 라우터를 포함할 수 있다.네트웍 형상을 나타낼 때, 허브의 형상은 외부로 향하는 여러 개의 회선이 붙을 수 있는 백본(주회선)과, 부착되는 장치들을 위한 하나 이상의 접속 포트들로 구성된다. 이것은 근거리통신망에 접속되어 있지 않은 인터넷 사용자들에 있어, 인터넷 서비스 공급자에 의해 제공되는 가장 일반적인 네트웍 형상이다. 그외에 또다른 네트웍 형상이 있다면, 버스형이나 링형 네트웍일 것이다 (둘 모두 브리지를 사용하면 허브 네트웍에 접속될 수 있다).네트웍 제품으로서의 허브는 다이얼업 사용자를 위한 모뎀 카드 집합체나, 이더넷이나 토큰링과 같은 근거리통신망 접속을 위한 게이트웨이 카드컴퓨터와 단말기 사이 등에서 정보교환이 필요한 경우, 이를 원활하게 하기 위하여 정한 여러 가지 통신규칙과 방법에 대한 약속 즉, 통신의 규약 변환 등의 처리를 하는 복잡한 처리기능을 가진 컴퓨터를 게이트웨이 프로세서라고 부른다.9. Packet데이터 전송에서 사용되는 데이터의 묶음. 패킷 전송은 두 지점 사이에 데이터를 연속적으로 전송하지 않고, 전송할 데이터를 적당한 크기로 나누어 패킷이라는 형태로 구성한 다음 패킷들을 하나씩 보내는 방법을 쓴다. 각각의 패킷은 일정한 크기의 데이터뿐만 아니라 데이터 수신처, 주소 또는 제어 코드 등의 제어 정보까지 담고 있다. 보통 한 패킷은 1024비트의 데이터를 담고 있을 수 있다.10. Plug-in플러그인은 웹 브라우저의 일부로서 쉽게 설치되고 사용될 수 있는 프로그램을 말한다. 넷스케이프 브라우저를 통해 사운드나 동영상을 재생하거나, 기타 다른 기능들을 수행해주는 추가 프로그램들을 다운로드하여 설치하고, 또 정의할 수 있도록 한 것이 그 시초가 되었다. 이러한 프로그램들은 처음에는 헬퍼(helper) 응용프로그램들이라고 불렸다. 그러나, 이러한 응용프로그램들은 브라우저와는 별개로 실행되었으며, 이를 위해 새로운 창을 여는 것이 필요했다. 이에 비해 플러그인 프로그램은 브라우저에 의해 자동으로 인식되고, 그것의 기능은 현재 나타나고 있는 주 HTML 파일 내에 통합된다.다운로드할 수 있는 유명한 플러그인들로는 문서를 검색하고, 마치 인쇄매체를 보는 것과 같이 볼 수 있도록 해주는 어도비사의 애크로뱃이라는 프로그램을 비롯하여, 매크로미디어의 디렉터를 위한 쇽웨이브 등, 이제는 수백 개 이상의 플러그인 들이 존재한다. 그러나, 대부분의 사용자들은 그 모든 플러그인들을 미리 준비할 필요는 없으며, 다만 특정 플러그인이 필요한 시점마다 다운로드하면 된다.11. CSS, DTD, SchemaCSS - HTML의 기능을 확장해주는 태그셋의 한 종류. W3C에서 만들었다. HTML에서는 폰트 정보, 문단모양 정보 등을 매번 문

공학/기술| 2003.12.29| 6페이지| 1,000원| 조회(602)

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[생활과 수학] 수란 무엇인가?

제 목 : 수학은 어디에 있는가?과 목 명 : 생활과 수학학 과 : 컴퓨터과학과학 번 : 98156064이 름 : 이 동 률제 출 일 : 2003년 10월 1일담당교수 : 한 응 섭 교수님목 차1.수학이란 무엇인가2.수학의 필요성3.수학의 2가지 측면1) 발전적인 측면2) 철학적인 측면4.수학의 발전과정1)그리스 이전의 수학2)그리스의 수학3)그리스 이후의 수학4)현대 수학5.수학은 어디에 있는가1)컴퓨터와 관련된 수학2)생활속의 수학6.리포트를 마치며1. 수(數)의 정의수의 사전적 의미는 "물건의 다소, 대소, 위치, 순서 등을 나타내기 위한 목적에서 생긴 자연수·정수·유리수·실수·복소수등의 총칭" 이라고 정의가 되어있다.'수'는 자연수에서 시작하여 수의 개념은 점차 확대되어 정수, 다시 유리수, 실수, 복소수에 도달하고, 더욱 확장되어 다원수로 발전되는데, 이를 통틀어 수라 한다. 그리고, 수학에서는 하나의 기본적인 개념이고, 수학의 개념과는 확실하게 구별해야 한다. 흔히 '수'라고 하면 누구나 1, 2, 3...등을 우선 머리 속에 떠올리곤 한다. 그 이유는 우리들이 일상생활 속에서 사용하는 수는 1.25,root 3, 9 등의 수가 아니고 1, 2, 3과 같은 수를 사용하고 있기 때문이다. 인류가 수를 사용하지 않았다면 오늘날의 문명사회는 존재하지 않았을 것이다. 일상 생활에서 필수적으로 이용되는 차례, 양, 비율, 등은 모두 수를 써서 나타낼 수 있고, 우리가 가정에서 사용하는 크고 작은 물건을 비롯하여 상품을 생산하는 기계들, 교통수단인 자동차, 항공기 등 모든 문명은 수와 식을 이용하여 설계하고 제작되는 것이며, 이들을 가동하는 데에도 수가 이용된다. 이와 같이 오늘날 널리 이용되고 있는 수의 개념을 인류가 언제부터 사용하기 시작하였는지 그 연대를 정확하게 말할 수는 없다. 그래서 사람들은 추측에 의존할 수밖에 없으나 상상해 보는 것은 그리 어려운 일이 아니다. 왜냐하면 원시시대에도 그들 부족의 인원을 세거나, 가축들을 셈하였을 것이다. 그러다 사사용하여 가로쓰기로 나타내고 5가 되면 새로운 기호를 썼다. 여기까지는 메소포타미아나 이집트, 그리고 고대 그리스나 로마의 경우와 같다.그러나 그 이상이 되면 숫자의 모양이 크게 달라진다. 6, 7, 8, 9는 옛날에는 다음과 같이 숫자를 썼다.세월이 지남에 따라 4, 6, 8은 다음과 같이 변했다.(7과 9는 본래대로 썼다.)10부터 40까지의 수는 다음과 같으며, 그 중 20과 30을 나타내는 숫자는 근래까지도 사용되어 왔다.3) 로마의 기수법수 백년 간 이용되어 왔으며, 현재까지도 몇 곳에서는 이들 수 이름이 사용되고 있다. 이를테면 주춧돌 위에 적힌 날짜나 책에서 장의 수를 나타낼 때 간혹 로마 수 이름으로 쓴다. 로마수 이름은 , , , 와 같이 손가락의 그림에서 유래되었다고 사학가는 믿고 있다. 로마 사람들을 다섯 대신에 손 하나를 이용하였다. 그러다가 차차 그 표의 몇 개를 없애고 다섯을 V와 같이 썼다. 두 개의 다섯을 합친 것이 열에 대한 기호 X로 되었다. 다른 기호는 그들의 알파벳의 문자였다. 다음 표는 로마 사람들이 사용하였던 그 다른 문자들을 나타낸 것이다.현재의 수151*************로마의 수IVXLCDM고대 로마 사람들은 이집트 사람들이 훨씬 전에 만들었던 것처럼 한 기호를 되풀이해서 씀으로써 더 큰 수들을 만들었다. 나중에 로마 사람들은 어떤 수를 줄이기 위하여 뺄셈을 이용하였다.1. 보다 큰 양을 나타내는 기호가 왼쪽에 놓여 있으면 그 기호의 값을 더한다.예를 들면 DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561.2. 반면에 보다 작은 값을 나타내는 기호가 한 기호의 왼쪽에 놓여 있을 때는 큰 값 에서 그 작은 값을 뺀다.즉 Ⅸ = 10 - 1 = 9, XC = 100 - 10 = 90.3. 하나의 수를 쓰는데 덧셈과 뺄셈이 모두 이용될 수 있다.첫째로 뺄셈을 나타내기 위하여 놓여진 수가 있으면 우선적으로 계산한다. 즉, 괄 호로 묶어서 먼저 계산한다. 둘째, 뺄셈으로 구해진 값은 그 수의 다른 모든 수에 더해진다+ 3 = 1 * 60 + 3 그리고72 = 60 + 12 = 1 * 60 + 12이므로 지금의 63과 72를 각각 '1, 3', '1, 12'와 같이 나타내었다. 왜 60진법을 사용했는지는 정확하게 알 수 없으나 대략 다음과 같이 추정하고 있다. 1년은 약 360일이라는 데서 원둘레의 각을 360도로 삼았다. 거기서 원둘레를 반지름으로 가르면 원은 6등분되고 한 부분의 중심각이 60도가 된다. 그래서 60을 기본으로 삼았을 것이라고 추정하고 있다.바빌로니아의 60진법은 후에 아라비아로 계승되고, 이어서 유럽까지 퍼져 16세기까지는 천문학이나 수학의 어려운 계산에 사용되기도 했다. 사실 60진법은 지금도 시간과 각도의 단위로 사용되고 있다.(1시간=60분, 1분=60초, 1도=60'(분), 1'(분)=60"(초))2) 정 수(整數 , integer)정수는 음의 정수와 0, 그리고 양의 정수(자연수)를 합한 것이다. 메소포타미아에서는 0을 쓰지 않았는데 이 위대한 0이라는 숫자는 어떻게 태어났을까? 0의 탄생지는 인도이다. 오늘날 사용하는 10진 위치적 기수법을 만들어 낸 것도 인도인이다. 물론 그들이 사용한 기수법은 아직 완전한 것은 아니었지만 위치적 기수법의 원리(또는 자리잡기 원리)가 확립되어감에 따라 빈자리를 나타내는 기호가 필요해진 것은 당연한 이치였던 것이다. 기원전 2세기경에는 불교에서 쓰는 말인 공(空)을 써서 지금의 0을 대신하였다. 그러다가 3, 4세기경에는 점을 찍어서 나타냈으며 7세기에 들어서 비로소 지금의 0이 등장하였다. 0이라는 것을 나타내는 기호가 제 모습을 갖추기까지는 이토록 오랜 세월이 걸렸다. 인도인이 발명한 숫자 1에서 9까지의 기호와 0은 아라비아를 거쳐 유럽으로 건너갔는데 15세기 말쯤에야 비로소 현재와 같은 형태를 갖추게 된다. 그러나 이 인도식 기수법이 순조롭게 전해진 것은 아니다. 왜냐하면 새로운 것들의 유입은 그 이질감이 사라지기 전까지는 편리하다는 이유만으로는 받아들이기가 어렵기 때문이었다.0이 등장하기 이전에는 어 0 + 0 = 0, 0 + x = x, 0 * x = 0을 찾아냄으로써 수로서의 자격을 갖추게 되었다.정수의 발생은 자연수는 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있었지만, 뺄셈과 나눗셈에는 자유롭지 못했다. 즉 임의의 두 자연수를 취하여 뺄셈이나 나눗셈을 하여도 그 결과가 반드시 자연수가 된다고는 할 수 없었다. 예를 들면 '5 - 7'이나 '7 - 7'의 결과는 자연수가 아니다. 여기서 음의 정수와 0이 발생하게 되었다. 그런데 우리는 0을 자연수로 생각하지 않는다. 왜냐하면 '없음'을 세는 것은 대부분의 사람들에게 자연스럽게 여겨지지 않기 때문이다. 이처럼 0은 눈에 보이지 않는 없다는 표현으로 사용되는데 0의 발견으로 수의 체계에 일대 혁명을 불러 일으키는데 바로 양수의 반대인 음수의 발견이다. 음수는 이런··· -3, -2, -1, 형태를 갖추고 있는데 음의 정수는 인도에서 처음으로 탄생되었는데 음의 정수는 '0'의 개념 위에서 생겨났다. 기원전 수세기 전부터 인도나 중국에서는 '500-800'정도의 뺄셈은 할 수 있었다고 하나, 유럽에서는 음수의 개념이 아주 늦게 싹텄다. 유럽인들이 음수를 당연한 것으로 받아들이기 시작한 것은 데카르트가 음수를 직선 위에 나타내면서 받아들이기 시작했다. 음수가 실제의 수로서 자격을 인정받고 자연수와 함께 정수의 체제를 이루게 된 것은 다름 아닌 0의 덕분이었다. 이런 음의 정수는 0보다 작은 수를 말하는데 양수에 대한 반대 개념이다. 음수는 부호 (－)를 사용하여 －1, －2, －5와 같이 나타낸다. 음수를 도입함으로써, 양수의 범위에서는 자유로이 계산할 수 없는 뺄셈, 예컨대 3－5의 계산이 가능하게 되었다.3) 유리수(有理數 , rational number)유리수란 실수 중에서 정수와 분수를 유리수라고 한다. 유리수의 발생은 물건의 집합을 세는 데서 자연수가 발생하였으며, 개수를 따질 수 없는, 이른바 연속량을 재기 위해서는 소수 또는 분수가 필요하게 되었다. 즉 어떤 일정한 단위를 기준으로 하여 연속량을 잴 때는 er)무리수의 사전적 의미는 실수 중에서 유리수가 아닌 수. 즉, 두 정수 a, b의 비(比)인 꼴 a/b(b≠0)로 나타낼 수 없는 수이다.정수와 분수를 하나로 정의한 유리수체에서는 그 안에서 이루어진 사칙연산의 결과는 모두 유리수이다(단, 0으로 나누는 것은 제외). 이와 같은 사실을, 유리수체는 사칙연산에 대하여 닫혀 있다고 한다. 유리수를 계수로 하는 이차방정식은 유리수의 범위에서 반드시 해를 갖는다고 할 수 없다. 이를테면 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 구하는 이차방정식의 근 ±2는 정수도 아니며, 분수도 아니다. 일반적으로 부진근수(유리수가 아닌 근수) n√a라든지, 원주율 π또는 자연로그의 밑으로 쓰이는 e와 같은 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다.무리수의 발생은 기원전 6세기까지도 그리스 사람들은 유리수의 체계만으로 기하적 용도에 충분하다고 믿었으나 다음과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이root2는 유리수로 나타낼 수 없었다. 그러나 그리스 인들은 정수와 정수의 비로 모든 기하적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었고, 비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 분수를 아무도 찾지는 못하였어도, 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할거라는 믿음이 있었다.이후에 무리수는 극한 ·연속 등 해석학의 여러 개념이 발달함에 따라 점차 밝혀지게 되었으며, 19세기 말, G.칸토어, J.W.R.데데킨트, K.바이어슈트라스 등에 의하여 그 기초가 확고하게 되었다. 또, 이들은 유리수와 무리수를 실수로서, 동일한 정의 밑에서 다루었으며, 칸토어는 유리수열을, 데데킨트는 유리수의 절단을 써서 실수를 정의하면서 실수 중의 무리수의 특색을 명확히 하였다가장 유명한 무리수는 피타고라스의 상수라고 불리어지는SQRT { 2}이다. 전해지는 이야기에 의하면 피타고라스 학파의 히파수스(Hippasus)는SQRT { 2}의 무리성을 보이기 위해 기하학적 방법을 사용했다고 한다. 그때 그는 바다에서 항해중다.

자연과학| 2003.12.29| 9페이지| 1,000원| 조회(992)

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