*수* 스토어

*수*

개인

팔로워0 팔로우

소개

등록된 소개글이 없습니다.

전문분야 등록된 전문분야가 없습니다.

판매자 정보

학교정보

입력된 정보가 없습니다.

직장정보

입력된 정보가 없습니다.

자격증

입력된 정보가 없습니다.

판매지수

판매중 자료수

3개
전체 판매량

18개
최근 3개월 판매량

0개
자료후기 점수

평균A
자료문의 응답률

-

전체자료 3개

[원자에 대해서] 원자에 대해서

원자에 대하여I. 개관현재 100종 남짓한 각 원소에 대하여 각각 대응하는 원자가 존재한다. 용어의 본래의 뜻에서 말하면 물질의 궁극적 입자를 가리키는데, 원자를 뜻하는 atom이라는 말도 그리스어의 비분할(非分割)을 의미하는 atomos에서 유래한다.따라서 원자가 단일하고 불가분(不可分)한 입자가 아니고 복잡한 구조를 가진다는 것이 밝혀진 오늘날에는, 원자라는 말이 가진 본래의 뜻은 없어지고, 소립자(素粒子)라는 한 무리의 입자가 물질의 궁극입자로 연구되고 있다. 그러나 이런 사실은 원자 단계에 있어서의 물질구조연구의 중요성이 낮아진 것이 아니고 오히려 물리학의 주요 과제가 되었다.Ⅱ. 원자와 분자원자는 물질의 기본적 단위이지만, 원자가 모여 물질을 구성하는 데는 다른 종 또는 같은 종의 원자가 결합하여 이것이 하나의 단위가 되어 물질을 구성하는 일이 많다. 이 단위를 분자(分子)라고 한다. 예를 들면, 물은 수소원자 2개와 산소원자 1개가 결합한 물분자를 단위로 하여 구성되며, 산소는 산소원자가 2개 결합한 산소의 분자로 구성된다. 따라서 분자라는 단위에 변화가 일어나지 않는 한 물질은 안정하게 존재하는데, 원자의 조합이 변하여 1개의 분자가 다른 분자로 변화할 때는 원자 그 자체에는 아무 변화가 없어도 물질은 변화한다.화학변화(化學變化)라고 하는 물질의 변화는 이런 종류의 것이며 이른바 원자라는 것은 보통의 화학적 수단으로는 깨뜨릴 수 없는 입자라고도 할 수 있다. 일반적으로 물질구조에는 이러한 원자 → 분자 → 물질이라는 단계적 구성이 있고, 원자는 그것들이 조합된 분자라는 단위를 거쳐 물질을 형성하고 있다. 이 생각은 19세기 초에 제창된 A. 아보가드로의 분자설(分子說)에서 비롯되는데, 이것에 의하여 원자라는 유한(有限)한 종류의 입자로부터 무수히 많다고 할 수 있는 물질이 구성되는 구조가 밝혀졌다. 또 물질은 모두 분자로 이루어진 것은 아니고, 예를 들면 금속 등은 직접 원자로 구성되어 있고 어떤 상태에 있을 때라도 그 속에 분자라는 특정한 구성단위는 인정할 수 없다.Ⅲ. 원자의 구조종류에 따라 차이는 있지만 어느 원자도 원자핵과 그 주위에 존재하는 전자군(電子群)에 의하여 구성되어 있다. 그 크기, 즉 전자가 존재하는 영역의 넓이는 반지름으로 10-8cm 정도, 가장 구조가 간단한 수소원자에서 1.67 × 1024g, 가장 무거운 천연원소인 우라늄에서는 그 약 240배의 질량을가진다. 이 숫자는, 예를 들면 원자를 1열로 배열시키면 1cm에 약 1억개, 1cc의 부피를 가진 공간에 1024개의 원자가 들어간다는 것을 설명하고 있다. 또한 원자핵은 이것보다도 훨씬 작아서 지름이 원자 전체의 약 10만분의 1이며 그 속에 양전하(陽電荷)를 가지는 양성자(陽性子)와 전기적으로 중성인 중성자(中性子)가 몇 개씩 결합하고, 주위를 양성자와 같은 수의 전자가 둘러싸고 원자핵의 양전하를 중화하여 전기적으로 중성인 원자를 형성한다.이 경우 전자의 질량은 양성자나 중성자의 1,840분의 1에 지나지 않으므로 원자의 질량은 사실상 원자핵에 모여 있다고 보아도 된다. 즉 원자의 지름을 100m로 늘여잡아 생각해 보면 그 중심에 있는 지름 1mm의 좁은 범위에 원자 전체의 실질적인 부분이 모여 있는 것이 된다. 어떤 원자는 원자핵을 형성하고 있는 양성자와 중성자의 수에 의하여 다른 종류의 원자와 구별할 수 있다. 그 중에서도 양성자의 수는 원자핵 밖에 있는 전자의 수를 결정하고 전자의 배열로부터 그 화학적 성질이 결정되므로 물질(元素)을 화학적으로 종별하는 데 있어서 중요한 구실을 하며 그 수는 그 원자가 속하는 원소의 원자번호와 일치된다.그 때문에 원자핵을 형성하고 있는 중성자의 수가 다른 원자라도 양성자수가 같은 원자는 화학적으로 구별할 수 없고, 같은 원소에 속하는 것으로 간주된다. 또 중성자수와 양성자수의 합(질량수)이 같아도 양성자수가 다른 원자는 서로 화학적 성질이 다르며 다른 원소에 속한다. 즉 원자의 화학적 성질은 질량이 아니고 원자핵의 전하, 따라서 그것을 구성하고 있는 양성자의 수로 결정된다.앞의 관계, 즉 양성자수가 같고 질량수가 다른 원자를 그 원소의 동위원소(同位元素), 질량수가 같고 양성자수가 다른 원자를 동중원소(同重元素)라고 한다. 원자의 상대적 질량을 나타내는 데는 화학적 원자량이 사용되는데, 원자량이 대부분 정수값에서 동떨어져 있는 것은 자연에 존재하는 원소가 질량이 다른 몇 종의 원자, 즉 동위원소의 혼합체이기 때문이다.Ⅳ. 전자껍질과 화학적 성질원자의 구조는 흔히 태양계(太陽系)에 비유되고, 전자는 원자핵 주위를 일정한 궤도에 따라 운동한다고 설명하고 있다. 이러한 설명은 원자의 구조를 모식적(模式的)으로 나타내는 데는 편리하지만 본질적인 모순을 내포하고 있다. 즉 전자기학(電磁氣學)의 이론에 의하면 하전입자가 주전(周轉)할 때는 반드시 전자기파의 방출을 수반하여 입자 자체는 점차 에너지를 잃고 운동반지름이 축소될 것이므로, 이렇게 되면 전자는 원자핵과 합체하게 되어 원자가 원자핵과 전자군이라는 명확하게 두 부분으로 구별되어 있다는 사실과 맞지 않게 된다. 이 모순은 전자궤도라는 개념을 버리고, 전자 상태에 양자역학적(量子力學的)인 생각을 적용함으로써 비로소 해결할 수 있다.그러나 전자의 운동에 일정한 제한을 가하면 전자궤도라는 이해하기 쉬운 개념은 그대로 두고서 원자의 내부구조를 설명할 수 있다. 이러한 생각을 기초로 원자구조를 직감적으로 설명하여 원자모형(原子模型)을 제시한 것이 덴마크의 N. 보어이다. 보어가 생각한 원자구조는 원자핵의 주변에 모여 있는 전자는 일정한 조건(보어의 量子條件)을 만족하는 불연속 궤도(양자궤도) 위에만 있고 그 궤도상에 있는 한 전자는 혼자서는 에너지를 밖으로 방출하지 않는다.단, 전자는 1개의 궤도에서 다른 궤도로 옮겨갈 수 있고, 그 때에는 양쪽 궤도에 대응하는 에너지상태의 차가 전자기파의 형태를 취하여 방출되거나 흡수된다고 하는 조건에서 출발한다. 이런 조건에 맞는 원자핵 주위의 전자궤도는 사실상 무수히 있는데, 전자는 밖으로부터 자극된 상태가 아닌 한 에너지가 낮은 안쪽 궤도, 즉 원자핵에 가까운 궤도에 들어가는 경향을 가지고 있다. 단 전자 전부가 특정한 궤도로 들어갈 수는 없고, 한 궤도 위에는 스핀이 다른 2개의 전자만이 들어갈 수 있다. 그 때문에 원자 내의 전자는 그 수가 늘어나는데 따라 가장 에너지가 낮은 안쪽 궤도로부터 차례로 2개씩 들어가서 전자의 궤도에너지의 합이 가장 낮아지도록 분포한다. 수많은 전자궤도는 그 에너지상태에 기초를 두어 몇 개의 무리(K, L, M, N, O)로 크게 나누고, 다시 각각의 무리는 s, p, d라는 궤도군으로 나눈다.주양자수(主量子數) n은 궤도무리(전자껍질이라고 한다)를 구분하는 기본이 되는 수, 부양자수 l은 1개의 전자껍질 속의 궤도군을 더 세분할 때 기본이 되는 수이며 개개의 궤도는 그 궤도가 속하는 전자껍질의 주양자수와 그 속의 궤도군 이름과의 조합, 예를 들면 1s, 2s, 2p,…라는 기호를 사용한다. 단 주양자수가 1인 전자껍질(K껍질)은 궤도군으로서 s만을 가지며, 2인 전자껍질(L껍질)은 s·p, M껍질은 s·p·d라는 궤도군을 포함하고 있다.또 s에 속하는 궤도는 1개, p에 속하는 궤도는 3개, d에는 5개의 궤도가 포함된다. 따라서 1개의 궤도에 전자가 2개씩 들어가는 것을 고려하면 전자의 수용능력은 K껍질이 2개, L껍질이 8개, M껍질이 18개가 된다. 이상과 같은 원자 내의 전자의 껍질구조는 원래는 원자로부터 방출되는 빛의 스펙트럼을 설명하기 위해 생각해낸 것인데, 이것에 의하여 원자의 여러 가지 화학적 성질이나 원소의 주기율(周期律)도 납득될 수 있는 설명이 가능하게 된다.

자연과학| 2005.07.22| 4페이지| 1,000원| 조회(600)

분자, 원자, 전자구조, 화학적성질, 전자껍질

미리보기

닫기
추상군의 개념

Ⅰ . 서 론19세기의 수학적 학문에는 추상군 이론의 전개에 관한 3가지 역사적 근원 학설로 대수방정식이론, 수 이론, 그리고 기하학이론 있다. 비록 뒤의 두 영역(수 이론, 기하학 이론)보다는 첫 번째 영역(대수방정식 이론)이 더 명확한 이론이지만 이 세 영역 모두 추상적 군론 방법에 이용된다.19세기 기하학의 중심주제는 기하학 변환의 다양한 유형에 속하는 상수를 찾는 것이었다. 점차적으로 스스로 변환하는 것에 집중하기 시작하였고, 그 중 많은 경우가 그룹의 원소로써 여겨질 수 있다는 것을 짐작할 수 있었다.수 이론에서는 이미 18세기에 Leonhard Euler은 고정된 소수p로 거듭제곱 수{{ a}^{n }을 나눌 경우 나머지에 대하여 고찰하였다. 이 나머지는 그룹(group)"의 성질을 가지고 있었다. 마찬가지로, F. Gauss는 그의 저서 “Arithmeticae(1800)”(정수론연구)에서 2차형식 {a { x}^{2 }+2bxy+c{ y}^{2 }에 대해 광범위하게 다루었고, 특히 이러한 형태의 동치류들은 그룹의 성질이 되게 하는 구성을 가지고 있음을 보여주었다.마지막으로 대수방정식이론에서는 그룹의 개념을 명백히 제시하였다.Joseph-Louis Lagrange(1736∼1813)은 그룹 의 문제를 해결하기 위한 수단으로 방정식의 근인 순열을 연구하기 시작하였다. 물론, 이러한 순열도 결국엔 그룹의 원소로써 간주되었다.1882년에 Walter von Dyck(1856∼1934) 와 Heinrich Weber(1842∼1913)은 3가지의 역사적 근원인 대수방정식이론, 수 이론, 그리고 기하학이론을 결합하였고, 추상그룹의 개념에 관하여 명백한 정의를 제시하였다.여기에서는 수학사라는 수업을 중심으로 추상군의 개념의 유래에 대해 중점을 두겠습니다.Ⅱ . 추상군의 개념1 ) 추상군의 정의그룹 G는 G {G {G 의 가진 집합이며, 이항연산에 대해 정의되어 있고다음의 네 가지 특성을 충족한다.1. closure: x, y가 G에 속하면 xy 는 G에 속한1821년에 Cauchy 는 Ruffini 에게 그가 확실하 게 읽은 그의 연구를 칭찬하는 글을 썼다. Ruffini 의 연구에는 그룹에 대한 명백한 정 의가 제시되어 있지 않지만, 그 개념은 확실하게 제시되며, Galois 의 연구로서 Cauchy 의 사고에 주요한 영향을 미칠 수도 있다.](3) 1854년에 Cayley그룹에 대한 추상적인 정의를 처음으로 시도한 사람은 Cayley 였다. 그는 1854년에 그 룹에 관한 논문을 작성하였으며 1878년에 다시 두 개의 저널을 발표하였다. 1854년도 논문에서 그는 시스템 (x, y, ... )에 관하여 작용하는 기호 {에 관한 추상적인 정의를 제시하려고 다음과 같이 시도하였다.{(x, y, ... ) = (x', y', ... ) , x', y', ... 가 x, y, ... .의 함수인 경우Cayley는 고정 시스템 항을 항등 기호 1 로 정의하였다. 그는 먼저 {로 연산을 한 다 음 {로 연산을 하여 {{요소를 정의하였다. 그는 {{가 {{와 동일할 필요는 없다고 언급하였다. 또한 Cayley는 결합법칙{.{{= {{.{가 충족될 필요가 있다고 하였다. 그는 두 가지 적이 집합에 포함되는 특성을 가지는 기호의 집합을 그룹이라고 부른다고 언급하였다.이것은 그룹에 대한 추상적인 정의에 있어서 중요한 시도이지만, Cayley는 무리하여 실 패하였다. 그가 한 것은 완전히 엉망이었다. 그의 기호가 연산자라면 그가 결합법칙을 필요로 하는 이유는 무엇인가? 순열에 대하여 결합법칙은 자동적으로 연산자를 따른다. 또한 x', y', ... 가 x, y, ...의 함수인 경우 (x', y', ... )가 시스템이 속할 것이라는 점도 명확하지 않다. 이 정의는 완전히 성공적인 것이 아니다.(4) 1878년에 Cayley1878년에 Cayley는 다음과 같이 기록하였다.◆ 그룹은 결합법칙으로 정의된다. ◆이 아이디어는 Burnside, von Dyck (1882) 외 기타 사람들에 의해 파악되었다.(5) 1897년에 Burn인물인 Schur는 Frobenius의 영 향을 받았다.Ⅲ . 결 론군론은 추상대수학의 여러 분야 중 최초로 개발되어 19C 말 - 20C 초반부터 본격적인 연구가 시작되면서 가장 기본적이고 핵심적인 분야로서 추상대수학의 발전에 기여하여 왔다. 당시는 유한 치한군의 연구에서 시작되어 p-군, 가해군(soluble group) 및 일반적인 추상적 군의 구조에 대한 활발한 연구가 계속되었다. 특히 유한 치환군은 이미 19C 중반 Cauchy 와 19C 후반 C. Jordan의 대수방정식의 연구에 기원을 둔 연구에 이어 20C 초와 중반 W. Burnside, W. A. Manning, J. S. Frame 등에 의하여 중요한 연구가 계속 되었고 H. Zassenhaus, H. Wielandt 등에 이르러서는 유한치환군의 기본구조에 대한 상당한 연구 결과가 나오게 되었다. 그런 후 과거 20년 동안은 무한 치환군의 연구가 시작되었고 많은 진전은 있었지만 여전히 많은 연구과제를 남겨두고 있다. 최근 치환군의 연구는 타 영역간의 관계성을 규명하는데 많은 관심을 보이고 있다. 치환군과 조합이론, 위상적 방법을 통한 치환군의 연구, 치환군 이론의 그래프이론(graph theory)에의 응용 등은 여러 영역간의 도움을 주고받는 주요한 연구영역이다.참고 문헌http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Abstract_groups.html이우영{`cdot`신항균 (번역), 수학사 (An Introduction to the history of mathemathics), 경문사, 1996http://mail.pknu.ac.kr/~hsim/algebra/gpgrp.hwphttp://mail.pknu.ac.kr/~hsim/algebra/group.hwp네이버 백과 사전엠파스 백과 사전부 록1. 유한군과 대수적 그래프이론부경대학교 심효섭19C 초의 기하학, 18C 말의 정수론과 대수방정식의 연구 속에서 나타나기 시작한 군(group)되어 왔고, 현재에도 B. Alspach, M.Conder, D. Marusic, L. Nowitz, C.E. Praeger, D.E. Tayler와 M.Y. Xu, C.H. Li 등에 의하여 활발히 연구되고 있다. 이러한 vertex-transitive 그래프의 연구의 주요한 목표는 모든 vertex-transitive 그래프, 모든 arc-transitve 그래프와 모든 half-transitive 그래프를 결정하고 분류하는 문제이다.추상군의 연산을 기하적으로 나타내는 방법으로 1878년 A. Cayley에 의하여 Cayley 다이어그램이란 이름으로 처음 소개된 Cayley 그래프는 Coxter와 Moser에 의하여 생성자와 관계식에 의하여 주어진 추상군의 연구에 사용되었으며, 오늘날 대수적그래프이론에서 그 이론적, 응용적 중요성이 널리 인식되어 왔다. 특히 대수적그래프이론 분야에서 vertex-transitive 그래프의 일종으로서, arc-transitive 그래프의 분류문제나 half-transitive 그래프의 연구에 있어서 그 중요성이 C.Y. Chao, J.L. Berggren, J. Oxley, C.E. Praeger, B. Alspach, D. Marusic등의 세계적인 대수적그래프 이론 학자들의 연구를 통하여 잘 알려져 왔다{G를 주어진 한 유한군이라 하고 S를 G의 항등원 1을 포함하지 않는 G의 부분집합이라 하자. 이 때 {S위의 {G의 Cayley 그래프 {X``=``{rm Cay}(G,`S`)는{V`(X`)``= ``G, ~~E(X) = {`` (g, `sg) ```| ```g` in G,`` s `in S `}로 정의 되는 digraph를 의미한다. 특히, {S가 symmetric일 때, 즉 {S^{-1}``=``S일 때, 이러한 digraph는 두 directed edges {(g, `sg`)와 {(sg, `g`)를 동일시 하여 한 edge로 봄으로써 방향을 갖지않는 보통의 그래프로 볼 수 있다.Cayley 그래프의 대칭성과 Cayley graphs - a survey, To appear in Discrete Math.[3] C.H. Li and C.E. Praeger, On the isomorphism problem for finite Cayley graphs of bounded valency, Europ. J. Combin. 20 (1999), 279-292[4] C.H. Li and H.S. Sim, The graphical regular representations of finite metacyclic p-groups, Europ. J. Combin. 21 (2000), 917-925[5] C.H. Li and H.S. Sim, On half-transitive metacirculant graphs of prime-power order, J. Combin. Ser. B 81(2001), 45-57[6] C.H. Li and H.S. Sim, Automorphisms of Cayley graphs of metacyclic groups of prime-power order, J. Austral. Math. Soc. 71 (2001), 223-231[7] B.D. McKay and C.E. Praeger, Vertex-transitive graphs which are not Cayley graphs, J. Australian Math. Soc. Ser. A, 56 (1994), 53-63[8] M. Muzychuk, On Adam's conjecture is true in the squre-free case, J. Combin. Theory Ser. A, 72 (1995), 118-134[9] M. Muzychuk, On Adam's conjecture for circulant graphs, Discrete Math. 176 (1997), 285-298[10] M. Muzychuk, M. Klin, and R. Poschel, The isomorphism problem for 다.

자연과학| 2004.11.26| 15페이지| 1,000원| 조회(262)

수학사, 추상군, 추상그룹, 군론

미리보기

닫기
위상 수학에 대해서 평가A좋아요

Ⅰ . 서 론위상수학은 수학의 다른 분야에 비하여 짧은 역사에도 불구하고 비약적인 발전을 거듭하고 있다. 그 이유는 순수 위상수학분야가 수학의 다른 분야에서 활발히 연구되어진 여러 가지 업적들을 이용하여 새로운 연구분야를 개척하였을 뿐만 아니라 위상수학의 연구 업적들이 수학의 다른 여러 분야에도 지대한 영향을 끼치고 있기 때문이다. 비단 수학 분야만이 아니라 천체물리학, 전산학, 정보통신 분야와 분자생물학에 이르기까지 다양한 학문에 응용이 되고 있다.위상수학의 중요성은 단순히 위와 같은 위상수학의 연구결과가 다른 분야에 응용된다는 사실에만 있는 것이 아니다. 보다 중요한 것은 위상수학을 교육받은 재원들이 수학과는 전혀 관계가 없을 것 같은 다른 분야에 진출하여 뛰어난 업적을 이루어 내고 있다는 것이다. 위상수학은 학생들에게 기하적인 감각과 공간 지각력을 길러주어서 공간적인 대상을 다루는 분야에 있어서는 그 대상을 빠른 시간 내에 분석하고 그 특성을 파악할 수 있는 능력을 배양해 준다. 또한 대부분의 수학 분야가 미시적인 관점에서 대상을 연구하는 반면 위상수학은 대상을 거시적인 관점에서 전체를 통찰하는 능력을 길러준다. 이러한 능력은 수학의 다른 분야에서 길러줄 수 없는 위상수학의 고유한 영역이며 현대사회에서 필요로 하는 인재들이 갖추어야 할 능력 중의 하나이다.Ⅱ . 위상 수학 (Topology)1) 위상수학이란같다 의 의미의 새 정립.위상이나 위상수학(또는 위상기하학)이라고 불리는 현대수학의 한 분야이다. 위상수학이란 어떤 대상을 연속적으로 변형시킬 때 변하지 않는 성질을 공부하는 것이다. 즉, 위상적 변형의 세 가지 특성인 구부리거나 잡아당기고 비트는 조작을 하여도 없어지지 않는 사물의 특성과 관련한 기하학이다. `위상'은 가깝고 멀다는 개념을 추상화한 개념이다. 가까움을 나타내는데는 여러 가지 방법이 있다. 가장 쉽게 생각되는 것이 거리를 숫자로 나타내 주는 것이다. 이러한 방법을 수학에서는 metric 또는 `거리구조'라고 한다. 위상수학은 크게 말해서쾨니히스베르크의 다리건너기 문제18세기 동(東)프로이센의 수도 쾨니히스베르크(현재의 칼리닌그라드)에 있던 프레겔강(江)의 다리건너기를 제재(題材)로 한 초기의 위상기하학 문제이다.쾨니히스베르크는 프레겔강에 의해 ［그림 1］과 같이 A,B,C,D의 4지역으로 나누어지고, 이들 지역을 잇는 7개의 다리 a,b,c,d,e,f,g가 놓여 있었다. 그런데 이 7개의 다리에 대해 “같은 다리를 두 번 건너는 일 없이 이들 다리를 모두 건너라”는 문제가 누군가에 의해 출제되었다. 이것은 ‘한 붓 그리기’의 문제이며, 위상기하학의 기초적인 문제로서 유명하다. 이 문제에서 각 지역을 점(點)으로, 다리를 선(線)으로 나타내면 ［그림 2］와 같이 된다. ［그림］에서 점 A , B, C, D는 각 지역이고, 선은 7개의 다리이다. 점 A를 출발하여 선을 따라 연필을 떼지 않고 어느 선도 한 번만 지나도록 그릴 수 있다면, 이 문제는 해결되는 셈이다. 그러나 이것은 불가능하다는 것이 스위스의 수학자 L.오일러에 의해 밝혀졌다.오일러는 다음과 같이 주장했다. 그물의 꼭지점들을 고려하자. 그런 경로의 꼭지점 중에서 시작되거나 끝나지 않는 꼭지점에서는 반드시 짝수개의 모서리가 만나야 한다. 왜냐하면 그런 모서리들은 들어오고 나오기 위해 한 쌍씩 짝지어 있기 때문이다. 그런데 쾨니히스베르크의 다리 그물에는 홀수 개의 모서리가 만나는 네 개의 꼭지점이 있다. 그러므로 그럼 경로는 존재하지 않는다. 결국, 다리를 한 번씩만 지나면서 쾨니히스베르크의 모든 다리를 통과하는 경로는 없다.˝@볼록 다면체에 관한 위상적 성질v=다면체의 꼭지점, e=모서리, f=면의 수를 나타낼 때,v-e+f=2(이 관계식은 데카르트가 예시하였고 오일러가 처음으로 증명하였다.){(2)뫼비우스의 띠독일의 수학자 A.F.뫼비우스가 처음으로 제시하였기 때문에 뫼비우스의 띠라고 한다. ［그림 1］의 (1)과 같은 직사각형 띠를 꼬지 않고 점 A와 D, 점 B와 C가 만나도록 변 AB와 DC를 붙여 고리를 만들면 ［그림 2］의서 파리에 갔다. 파리에서 토이겐스에게 수학을 배웠으며, 데카르트나 파르멜의 책을 열심히 읽었다. 1686년에는 적은 분량이나 많은 분량을 계산으로 정확히 알아낼 수 있게 되어, 곡선의 성질이나 도형의 넓이를 쉽게 알 수도 있게 되었는데, 물리학이나 천문학의 발전에 새로운 영향을 미쳤다. 미분적분법은 라이프니쯔의 것이 더 편리하다. 베를린 학사원을 만들고, 유럽 각지에도 학사원을 세울 것을 장려하여 학문의 발전에 힘썼다.2 오일러 [Euler, Leonhard, 1707.4.15 ~ 1783.9.18] 스위스의 수학자 ·물리학자.배젤 출생. 주로 독일 ·러시아의 학사원을 무대로 활약하였고, 해석학의 화신(化身), 최대의 알고리스트(algorist:數學者) 등으로 불렸다. 그의 연구는 수학 ·천문학 ·물리학뿐만 아니라, 의학 ·식물학 ·화학 등 많은 분야에 광범위하게 걸쳐 있다. 처음에는 목사가 되기 위하여 바젤대학에서 신학과 헤브라이어를 공부하였으나, 수학에서 J.베르누이의 관심을 끌어 곧 D.베르누이, N.베르누이와 사귀었다. 이와 같이 베르누이가(家) 사람들의 조언과 상트페테르부르크학사원에 간 베르누이 형제의 소개로, 처음에는 그 학사원의 의학부에 이어서 수학부에 적을 두었다.후에 시력을 잃고 장님이 되었으나 천부적인 기억력과 강인한 정신력으로 연구를 계속하였다. 수학자로서의 연구를 시작한 시기는 뉴턴이 죽은 시기에 해당하여 해석기하학 ·미적분학의 개념은 갖추어져 있었으나 조직적 연구는 초보단계로 특히 역학 ·기하학의 분야는 충분한 체계가 서 있지 않았다.이러한 미적분학을 발전시켜 《무한해석 개론 Introductio in Analysis Infinitorum》(1748) 《미분학 원리 Institutiones Calculi Differontial》(1755) 《적분학 원리 Institutiones Calculi Integrelis》(1768∼1770), 변분학(變分學:극대 또는 극소의 성질을 가진 곡선을 발견하는 방법)을 창시하여 역학을 해석적으로 풀이하 역학 ·실험물리학 교수가 되었다. 1887년 프랑스 학사원 회원, 1906년 그 회장이 되는 등 프랑스 학계를 지도하면서, 30권 이상의 저서와 500편 이상의 논문을 남겼다.수학에서는 수론(數論) ·함수론 ·미분방정식론에 업적을 남겼는데, 특히 보형함수(保型函數) 이론을 만들어냈으며 천체역학 및 우주진화론 분야에서는 여러 방면의 수학을 구사해서 그 방법을 근대화하였다. 삼체문제(三體問題) 및 그 일반화로서의 n체(體) 문제 연구는 획기적인 것이며, 3권으로 된 《천체역학의 새 방법》(1892∼1899)은 수리천문학에 새 시대를 열었다. 변분방정식(變分方程式)과 적분불변량(積分不變量)의 도입, 주기계(週期界)에 관한 연구, 회전유체론(回轉流體論)과 우주진화의 연구 등도 모두 뛰어나다.물리학에서도 전자기파론 ·양자론 ·상대성이론에 공헌하고, 특히 문제의 지적에서 커다란 역할을 하였다. 그 밖에 과학 비평면에서도 활약하였는데, 특히 만년에 《과학과 가설 La Science et l’hypothse》(1903)《과학의 가치 La Valeur de la science》(1904) 《과학과 방법 Science et mthode》(1908) 등의 과학 사상서를 저술하여, 수학이나 정밀과학에서 쓰이는 방법을 탐구하면서, 거기서 차지하는 가설의 역할을 검토하고, 아울러 과학적 인식의 의의와 가치를 해명하려고 하였다. ‘과학을 위한 과학’을 표방하였는데, 이것은 당시 과학의 실용주의적 경향에 대한 저항으로서 평가된다.Ⅲ . 결 론위상 수학은 수학 여러 분야를 통합하는 학문으로 20세기에 그 위치를 확보하였다. 위치와 형상의 학문이라는 뜻에서 위상, 위상수학, 위상기하학이라 명명되었다. 기하학적 성질 가운데 도형의 연속적 변형에 의해서 변화를 받지 않는 것에 관한 연구로, 오일러의 다면체론에서 출발, 포앙카레의 대수적 토폴로지, 브로워의 부동점 정리(fixed point theorem)를 통해 정립되어 갔다.위상기하학(topology)은 공간의 위상적 성질을 구체적으로 연구하다. 모든 정다면체에 대해서 그 꼭지점의 수를 , 모서리의 수를 , 면의 수를 로 하면 =2가 성립한다. 이것은 정다면체뿐만 아니라 구면과 동상인 모든 다면체에 대해서도 성립한다. 다면체에 대한 연구는 고대그리스 시대로 거슬러 올라가지만, 이 사실은 1640년 비로소 R. 데카르트에 의해 발견되었고 1752년 L. 오일러에 의해 재발견되었다. 일반적으로 다면체의 꼭지점의 수 와 면의 수 의 합에서 모서리의 수 를 뺀 수 를 그 다면체의 오일러표수(Euler's characteristic)라고 한다. 동상인 다면체의 오일러 표수는 같다. 이와 같이 동상인 도형에 공통적인 성질을 도형의 위상적 성질이라고 하며 오일러 표수 따위의 양을 위상 불변량이라고 한다. 물체의 표면은 곡면이다. 무한히 넓은 평면도 곡면이며 원판(成板)처럼 가장자리가 있는 곡면도 있으나, 물체의 표면은 무한히 넓지 않으며 가장자리도 없다. 이러한 곡면을 폐곡면이라고 하며 폐곡면은 다면체와 동상이다. 따라서 폐곡면의 오일러 표수는 그 곡면과 동상인 다면체의 오일러 표수로서 정의된다. 물체의 표면인 폐곡면의 위상적 성질은 그 오일러 표수로 결정된다. 물체표면을 구성하는 폐곡면이 취할 수 있는 오일러 표수는 2, 0, －2, －4, …,－2n, … (은 자연수)이고, 주어진 오일러 표수를 가진 폐곡면은 쉽게 만들 수 있다. 구에 개의 손잡이를 붙인 입체 표면인 폐곡면의 오일러 표수는 2(1－)가 된다〔그림 3-a〕. 개의 구멍이 난 비스킷의 표면이라고 해도 좋다〔그림 3-b〕. 를 폐곡면의 종류수(genus)라고 한다. (곡면의 종류수)=1－½(오일러 표수)이며, 따라서 종류수도 곡면의 위상불변량이다. 물체의 모양은 수없이 다양하지만 모든 물체의 표면은 몇 개의 구멍이 난 비스킷 표면과 동상이 된다. 곡면은 물체의 표면뿐 아니라 원판처럼 가장자리가 있는 곡면도 있다. 폐곡면에서 그 위에 있는 몇 개의 원판 내부를 제거하면 가장자리가 있는 곡면이 만들어지는데, 이와 같은 곡면과 위상적 성질을 달리하는.

자연과학| 2004.11.26| 18페이지| 1,000원| 조회(1,200)

기하학, 뫼비우스, 위상수학, 위상기하학, 한붓 그리기

미리보기

닫기