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[수학] 직관주의와 형식주의 평가A좋아요

BULLETIN(New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETYVolume 37, Number 1, Pages 55 64S 0273-0979(99)00802-2Article electronically published on December 21, 1999직관주의와 형식주의DR. L. E. J. BROUWER내가 말하려고 하는 주제는 수학의 기반에 관한 것이다. 수학에서의 대립되는 두 이론의 발전을 이해하기 위해서는 “과학”이라는 단어가 무엇인지 정확히 알아야 한다; 수학도 과학에서 출발했기 때문이다.과학이란 어떤 똑같은 현상이 반복되는 것처럼 간주하고 현상의 자연 법칙으로 그런 현상을 분류하는 것이다.자연 현상의 원인을 점점 더 자세히 분류할 수 있게 되자, 직접 재현하는 게 어렵거나 불가능한 현상들을 간접적으로(원인이 되는 현상들을 재현함으로써) 이끌어내기가 더욱 용이해졌고, 자연을 탐구하는 데 있어서 과학이 굉장한 힘을 갖게 되었다. 또한, 인간이 언제 어디서나 자연의 질서를 창조하는 것은, 원인이 되는 현상들을 격리하고(즉, 우리가 원하는 현상에 방해가 되지 않게 하고) 그 결과 현상(secondary phenomena)이 폭넓게 적용될 수 있도록 하기 때문이다. 특히 셈(counting)과 측정(measuring)은 중요한 secondary phenomena라 할 수 있고, 과학의 많은 자연 법칙들이 셈과 측정 결과들간의 상호 관계에 대한 것이다. 이런 관계로부터 우리는 측정 량에 관계된 자연 법칙은 적당히 근사적으로만 현실과 일치함을 알 수 있다; 사실상 자연 법칙은 최고의 성능의 측정 도구를 쓴 경우에 대한 증명이 아니다.예외는 있다. 전통적으로 수론과 기하학, 그리고 강체 동역학과 천체 역학이 그러하다. 이들 분야는 관측 도구 향상의 영향을 별로 받지 않았다. 그런데, 강체 동역학과 천체 역학에 대해서는 많은 사람들이 언젠가는 이들 영역이 근사 이론으로 전락하리라 예측하고 있지만, 비교적 현대까지도 그 어떤 ic logic보다 자연에 잘 들어맞는가 하는 문제는 수학자들이 아니라 철학자나 인류학자들이 풀어야 할 과제이다. 왜 우리는 어떤 systems of symbolic logic은 믿고 어떤 systems of symbolic logic은 믿지 않는가, 특히 왜 우리는 소위 모순적인 시스템 – 어떤 명제와 그것의 부정이 둘 다 유효한 – 에 대해 거부감을 느끼는가 하는 문제는 수학자들이 아니라 심리학자들이 풀어야 할 과제이다.직관주의자들이 칸트 이론을 고수하면서, 19세기 수학 발전과 함께 직관주의자들은 형식주의자들에 비해 상대적으로 입지가 많이 약해졌다. 우선, 특정 분야의 이론들이 다른 분야에서도 성립하는 사례들이 많이 발견되었다: 예를 들어, 사영 기하학은 점과 선의 역할을 뒤바꾸어도 변하지 않으며, 실수 연산에 관한 중요한 내용들이 다양한 복소수 필드에서도 유효하며, 유클리드 기하학의 거의 모든 정리들이 비유클리드(non-archimedian) 기하학에서도 성립한다, 임의의 straight line segment에 대해 그것과 infinitesimal한 straight line segment가 존재한다. 이러한 발견들은, 마치 우리가 산수를 할 때 몇 진법인지 따지지 않는 것처럼, 수학 이론들도 물질에 상관 없이 논리적 형태가 중요하다는 것을 시사해주는 것처럼 보였다.허나 칸트 이론에 가장 타격을 준 것은 초등(elementary) 기하학의 공리들 중 단지 평행선 공리를 그것의 부정(nagative)으로 바꿈으로서 탄생한 비유클리드 기하학이었다. 이러한 발견은 초등 기하학으로 설명할 수 있는 현상들이 비유클리드 기하학으로도 정확하게 – 그러나 주로 덜 compact하게 – 묘사될 수 있다는 점을 보여주었다; 따라서 우리가 사는 공간이 유클리드 공간이라는 것을 증명하는 것이 불가능할 뿐 아니라, 우리가 사는 공간에 맞는 그 기하학이 무엇인지 묻는 것도 무의미하다. 강체의 동역학(kinematics) – 자연 현상의 상당부분 – 을 묘사하는 데에는 초등 기하두 수학적 개체들 간에 하나가 다른 하나의 원소인지 아닌지 판별할 수 있다”; “임의의 집합에 대해, 그의 부분집합들만으로 구성된 집합이 존재한다”; 선택공리: “부분집합들로 분할된 집합은, 각각의 첫 부분집합들에 속한 단 하나의 원소를 포함하는 부분집합을 적어도 한 개 이상 가진다”; 포함공리: “임의의 수학 개체에 대해 특정 성질이 만족되는지 아닌지 결정할 수 있으면, 해당 성질을 만족하는 개체들만으로 구성된 집합이 존재한다”; 합성공리(the axiom of composition): “집합족에 속하는 모든 집합들의 원소들은 새로운 집합을 형성한다”.이러한 공리들을 기반으로 형식주의자들은 먼저 “유한집합”에 관한 정리를 이끌어낸다. 어떤 집합의 원소들이 그의 멱집합(부분집합들 전체로 이루어진 집합)의 원소들과 일대일 대응이 불가능할 때 그러한 집합을 유한집합이라 한다; 다소 복잡한 과정을 통해, 수학적 귀납법이 유한집합의 기본 성질임을 보일 수 있다; 이 정리는, 원소가 하나인 모든 집합들이 어떤 성질을 가지고, 또한 임의의 유한집합에 대해 그가 이 성질을 만족하기 위한 충분조건이 그 집합에서 원소 하나를 뺀 집합에 대해서도 성질을 만족하는 것이라면, 모든 유한집합들이 이 성질을 만족한다는 것이다. 직관주의자들에게는 자명한 것으로 보이는 이 정리를, 형식주의자들은 증명해야 하지만, 불만족스러운 호소를 부정확한 예 또는 무모순성 증명으로 대체하더라도 공리들을 정당화할 수 없다. 형식주의자들은, 그가 세운 공리들로부터 유도되는 무수히 많은 정리들이 서로 모순되는 일이 없다는 것을 보이기 위해, n개의 정리들로부터 모순이 발생하지 않으면 (n+1)번째 정리 역시 나머지와 모순이 없다는 것을 보인 후, 수학적 귀납법을 직관적으로 적용해야 한다. 그러나 형식주의자들은 수학적 귀납법을 증명했더라도 결코 그렇게 하지는 않을 것이다; 왜냐하면, n번째 결론에 도달했을 때 만족하는 성질들의 집합이 n값에 관계없이 유한 집합의 정의를 만족시킨다는 수학적 확실성을 보장해야 하 그들의 존재가 명시적으로 정의되어야 한다. 무엇이든간에, 논의 전개를 위해서는 애초에 대상 집합들의 존재가 정의되어야 하므로, 이렇게 정의된 집합을 무효로 만드는 논증들은 항상 모순을 만들어낸다; 사실상 패러독스의 발견 이후 형식주의자들은 단지 패러독스를 유발하는 집합들을 제외시켰을 뿐이다. 이들은 과거의(수정되기 전의) 포함공리 하에서 정의된 집합들을 거리낌없이 다룬다; 그 결과 직관주의자들은 중요하게 생각하지 않는 확장된 연구 분야를 형식주의자들은 흥미를 갖고 연구하고 있다. 그 한 예로, 계수 이론(theory of potencies)을 들 수 있다. 이 분야에서 직관주의와 형식주의의 차이가 극명하게 드러나므로, 계수 이론에 대해 개략적으로 살펴보자.두 집합의 원소들간에 일대일 대응이 존재할 때, 두 집합이 같은 기수(potency, power)를 갖는다고 말한다. B와 A 사이에는 일대일대응이 존재하지 않고 B와 A의 일부분 간에 일대일 대응이 존재하면, A의 기수가 B보다 크고 B의 기수가 A의 기수보다 작다고 말한다. 어떤 집합이 자신의 진부분집합과 기수가 같을 때, 그러한 집합을 무한집합이라고 하고, 그 밖의 집합들을 유한집합이라 한다. 서수 ω와 같은 기수를 갖는 집합들을 가부번 무한 집합이라 하고 이런 집합들의 기수를 (aleph-null)이라고 한다: 은 가장 작은 무한기수이다. 앞에서 말한 바에 따라서, 이것은 직관주의자들이 존재를 인정하는 유일한 무한기수이다.“가부번 무한 서수”라는 개념을 생각해보자. 이 개념은 형식주의와 직관주의 어느 쪽에서 보더라도 명백하기 때문에 형식주의자들은 “모든 가부번 무한 서수들의 집합”을 정의하고 이것의 기수를 (aleph-one)이라고 부르지만, 직관주의자들은 이를 인정하지 않는다. 가부번 무한 서수를 갖는 가부번 무한 집합들을 여러가지 방법으로 구성할 수 있고, 그러한 집합들에 대해 집합에 속하지 않은 가부번 무한 서수를 할당할 수 있기 때문에, 형식주의자들은 “이 보다 크다”는 식의 결론을 내리지만, 존재하고, 이는 대응규칙에 참여하는 그 어떤 서수들보다도 크다; 따라서 서수들의 집합의 기수는 을 초과할 수 없다.형식주의자들은 더 큰 기수를 얻기 위해, 기존의 기수 에 대해 “기수 를 만들 수 있는 서로 다른 선택들로 이루어진 집합” 을 정의하고, 이 집합의 기수가 보다 크다는 것을 보인다.특히, 서로 다른 실변수함수들에 모든 초등수열들을 대응시키는 여러 방식이 존재하지만, 서로 다른 실변수함수들이 결코 같은 초등수열에 대응되지 않도록 하는 것이 불가능하다는 점에 형식주의자들과 직관주의자들 둘 다 동의한다. 이로부터 형식주의자들은 “실변수함수들의 집합의 기수 c′ 은 연속체의 기수 c 보다 크다” 고 결론짓고, 유사한 방식으로 c′ 보다 더 큰 기수 c′′ 를 만들어 내지만, 직관주의자들에게 이는 무의미하다.형식주의자들이 더 큰 기수를 얻기 위해 쓰는 두 번째 방법은, 기존의 기수 에 대해, “기수가 인 서수들 전체로 이루어진 집합” 을 정의하고, 이 집합의 기수가 보다 크다는 것을 증명하는 방식이다. 특히 형식주의자들은 기수가 인 서수들 전체로 이루어진 집합을 로 정의하고, 가 보다 크다는 것과 이 바로 다음으로 크다는 것을 증명한다. 이 결과를 직관주의적으로 적절히 해석할 수 있더라도, 앞서 소개한 경우들보다 해석이 더 복잡할 것이다.지금까지 다룬 것들은 계수이론의 부정적인 부분들이었다; 그러나 형식주의자들이 이루어 놓은 긍정적인 부분도 있다. Bernstein의 정리는 다음과 같다: “A와 B의 부분집합(a subset of B)이 같은 기수를 갖고, B와 A의 부분집합(a subset of A)이 같은 기수를 가지면, A와 B의 기수는 같다.” 이를 다른 형태로 표현하면, “집합 A = A1 + B1 + C1 이 A1 과 같은 기수를 가지면, A 는 A1 + B1 과도 같은 기수를 갖는다.”가부번 집합에 있어서 이 정리는 자명하다. 그러나 이 정리가 기수가 큰 집합들에 대해서도 직관주의적으로 의미를 가지려면, 이 정리는 다음과 같이 해석되어야 한다d).”

자연과학| 2004.07.13| 9페이지| 무료| 조회(851)

형식주의, 직관주의, Formalism, intuitionism, cardina..

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[수학] 정17각형의 작도법 평가B괜찮아요

(이 문서는 F. Klein 등이 쓴 Famous Problems and Other Monographs 에서 정 17각형의 작도법 부분을 발췌한 것입니다.) The Construction of the Regular Polygon of 17 Sides 1. We have just seen that the division of the circle into equal parts by the straight edge and compasses is possible only for the prime numbers studied by Gauss. It will now be of interest to learn how the construction can actually be effected. The purpose of this chapter, then, will be to show in an elementary way how to inscribe in the circle the regular polygon of 17 sides. Since we possess as yet no method of construction based upon considerations purely geometrical, we must follow the path indicated by our general discussions. We consider, first of all, the roots of the cyclotomic equation x16 + x15 + … + x2 + x + 1 = 0, and construct geometrically the expression, formed of square root, deduced from it. We know that the roots can be put into the transcendental form εk = cos + i sin (k = 1, 2, …, 16); and if ε1 = cos + i sin , that εk = ε1k . Gor we have 31 ≡ 3 (mod 17), 35 ≡ 5 (mod 17), 39 ≡ 14 (mod 17), 313 ≡ 12 (mod 17), 32 ≡ 9 (mod 17), 36 ≡ 15 (mod 17), 310 ≡ 8 (mod 17), 314 ≡ 2 (mod 17), 33 ≡ 10 (mod 17), 37 ≡ 11 (mod 17), 311 ≡ 7 (mod 17), 315 ≡ 6 (mod 17), 34 ≡ 13 (mod 17), 38 ≡ 16 (mod 17), 312 ≡ 4 (mod 17), 316 ≡ 1 (mod 17). Let us then arrange the roots εk so that their subscripts are the preceding remanders in order ε3, ε9, ε10, ε13, ε5, ε15, ε11, ε16, ε14, ε8, ε7, ε4, ε12, ε2, ε6, ε1 . Notice that if r is the remainder of 3k (mod 17), we have 3k = 17q + r, whence .If r' is the next remainder, we have similarly . Hence in this series of roots each root is the cube of the preceding. Gauss's method consists in decomposing this cycle into sums containing 8, 4, 2, 1 roots respectively, corresponding to the divisors of 16. Each of these sums is called a period. The periods thus obtained may be calculated successively as roots of certain quadratic equations. The process just outlined is only a particular case of that ebolically x1 = 9 + 13 + 15 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, x2 = 3 + 10 + 5 + 11 + 14 + 7 + 12 + 6. Operating upon x1 and x2 in the same way, we form 4 periods of 4 terms : y1 = 13 + 16 + 4 + 1, y2 = 9 + 15 + 8 + 2, y3 = 10 + 11 + 7 + 6, y4 = 3 + 5 + 14 + 12. Operating the same way upon the y's, we obtain 8 periods of 2 terms : z1 = 16 + 1, z2 = 13 + 4, z3 = 15 + 2, z4 = 9 + 8, z5 = 11 + 6, z6 = 10 + 7, z7 = 5 + 12, z8 = 3 + 14. It now remains to show that these periods can be calculated successively by the aid of square roots. 4. It is readily seen that the sum of the remainders corresponding to the roots of forming a period z is always equal to 17. These roots are then εr and ε17 - r ;HenceTherefore all the periods z are real, and we readily obtainMoreover, by definition, x1 = z1 + z2 + z3 + z4, x2 = z5 + z6 + z7 + z8, y1 = z1 + z2, y2 = z3 + z4, y3 = z5 + z6, y4 = z7 + z8. 5. It will be necessary to determine the relative magnitude of the different periods. For this purpose we shall employ the chord AkAk+p subtends p divisions of the semi-circumference and is equal to Sp ; the triangle OAkAk+p shows that Sk+p Sk + Sp, and a fortiori Sk+p Sk+r + Sp+r'. Calculating the differences two and two of the periods y, we easily find y1 – y2 = S13 + S1 – S9 + S15 0, y1 – y3 = S13 + S1 + S7 + S11 0, y1 – y4 = S13 + S1 + S3 - S5 0, y2 – y3 = S9 - S15 + S7 + S11 0, y2 – y4 = S9 - S15 + S3 - S5 0, y3 – y4 = -S7 - S11 + S3 - S5 0. Hence y3 y2 y4 y1. Finally we obtain in a similar way x2 x1. 6. We now propose to calculate z1 = 2 cos(2π/17). After making this calculation and constructing z1, we can easily deduce the side of the regular polygon of 17 sides. In order to find the quadratic equation satisfied by the periods, we proceed to determine symmetric functions of the periods. Associating z1 with the period z2 and thus forming the period y1, we have, first, z1 + z2 = y1. Let us now determine z1z2. We have z1z2 = (16 + 1) (13 + 4), where the symbolic product kp represents εk εp = εk+p. Hen x1 and x2. Since x1 + x2 is equal to the sum of all the roots, x1 + x2 = – 1. Further, x1 x2 = (13 + 16 + 4 + 1 + 9 + 15 + 8 + 2) (10 + 11 + 7 + 6 + 3 + 5 + 14 + 12). Expanding symbolically, each root occurs 4 times, and thus x1 x2 = – 4. Therefore x1 and x2 are the roots of the quadratic x2 + x – 4 = 0 (ξ) whence, since x1 x2,Solving equations ξ, η, η, ζ in succession, z1 is determined by a series of square roots. Effecting the calculations, we see that z1 depends upon the four square rootsIf we wish to reduce z1 to the normal form we must see whether any one of these square roots can be expressed rationally in terms of the others. Now, from the roots of (η),Expanding symbolically, (y1 – y2) (y4 – y3) = (13 + 16 + 4 + 1 – 9 – 15 – 8 – 2)(3 + 5 + 14 + 12 – 10 – 11 – 7 – 6) = 16 + 1 + 10 + 8 – 6 – 7 – 3 – 2+ 2 + 4 + 13 + 11 – 9 – 10 – 6 – 5 + 7 + 9 + 1 + 16 – 14 – 15 – 11 – 10 + 4 + 6 + 15 + 13 – 11 – 12 – 8 – 7 – 12 – 14 – 6 – 4 + 2 + 3 + 16 + 15 – 1 – 3 – 12 – 10 + 8 + 9 + 5 + 4 – 11

자연과학| 2004.05.22| 6페이지| 무료| 조회(2,242)

가우스, 정다각형, 작도, polygon, 정17각형

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[소설] A Clockwork Orange 소설 첫머리 by Blake Morrison

IntroductionIt was the source of some unhappiness to Anthony Burgess that, ofthe fifty or more works which he published during his lifetime, AClorkwork Orange should be the most famous. He had, he believed,written better books and feared he would be remembered ‘as thefountain and origin of a great film’ - that is, as the man who wrotethe novel from which Stanley Kubrick made the more celebratedmovie. Why, he wondered, could the reading public not attend tohis other achievements: the Enderby novels; the playful fictionalexplorations of Shakespeare; the critical guides to Joyce; the music,the libretti, the plays, even the journalism and reviews? He comparedhimself to Rachmaninoff, whose Prelude in C Sharp Minor, writtenas a boy, is better known than the works of his maturity. The lettersBurgess received from students working on A Clockwork Orange,evidence though they were of the esteem in which he was held inAcademe, did not console him. Irritated, even embittered, he pushedon with otherin English, whether as poetry, or humour (what could bemore comical than policemen being millicents?), or plausible slang.Being a devotee of Finnegans Wake, he believed the more layers ofambiguity, the better. Thus the word for ‘work’ is rabbit, which owessomething to the Russian verb rabotat, but may also suggest rab(Russian for ‘slave’), and carries an echo of ‘robot’, and in Alex’svocabulary suggests scaredy behaviour. But Russian imports aren’tthe only aspect of the language. There are also, in the above passage,xthe repetitions ('creech creech creeching away'), the echoes of Shakespeare (to my ear, 'untrussed' comes in this category), and the wonderfully laconic use of the word 'like': 'Then there was like quiet and we were full of like hate.'This use of 'like' was probably rare in 1962, but became commonplace in the counter-culture of the late 60s, as did the hallucinogenic drugs (the milk-plus) which Alex uses for recreation. Much about A Clockwork Orange is prophetic: by keepin Alex, whom he later meets again, by which time his wife has died, as a result, it seems, of the rape. He is also the author of a book called A Clockwork Orange. This book doesn't sound like Burgess's - it is, says Alex, 'written in a very bezoomny like style, full of Ah and Oh and that саl, and bears more resemblance to Colin Wilson's existentialist polemic The Outsider - but when Alexander speaks up for individual choice and freedom it is in words very like his author's. The effect here is of an endlessly receding mirror. There is another image in the mirror, too. In 1944, while Burgess was serving in Gibraltar, his first wife, Lynne, was beaten, kicked and robbed in London by a gang of four GI deserters. She suffered a miscarriage as a result, and Burgess once speculated, in an interview, that her poor health and early death may have had something to do with the attack. ('CLOCK-WORK ORANGE GANG KILLED MY WIFE - AUTHOR' ran the headline in the London Evening News.) The fictionalizingal progress. What was really wanted was a Nixonian book with no shred of optimism in it.'Perhaps the first author ever, if his version of events is to be believed, to suffer from an American need for pessimism, Burgess had the comfort of knowing that foreign translations of the book, into French, Italian, Spanish, Catalan, Romanian, Russian, Hebrew and German, were based on the English version. Yet most people know A Clockwork Orange in its truncated US version. Why? Because this was the textxviiwhich Stanley Kubrick worked from when he came to make his film of the novel in 1972. Burgess had known of Kubrick's project before he was invited by Warner Brothers to a private preview of the film, in London, in the autumn of 1971. He had even written a script, which, like several others, Kubrick had rejected. It seems surprising, in the circumstances, that Kubrick was not aware of the unabridged English version, but if Burgess's autobiography is to be trusted it was the author himself who ap chellovecks made out of tin and with a spring inside andthen a winding handle on the outside and you wind it up grrr grrr grrr andoff it itties, like walking, O my brothers. But it itties in a straight line andbangs straight into things bang bang and it cannot help what it is doing.Being young is like being like one of these malenky machines.My son, my son. When I had my son I would explain all that to him whenhe was starry enough to like understand. But then I knew he would notunderstand or would not want to understand at all and would do all theveshches I had done, yes perhaps even killing some poor starry forellasurrounded with mewing kots and koshkas, and I would not be able to reallystop him. And nor would he be able to stop his own son, brothers. And soit would itty on to like the end of the world, round and round and round,like some bolshy gigantic like chelloveck, like old Bog Himself (by courtesyof Korova Milkbar) turning and turning and turning a vonny grahzny orangein his g.

인문/어학| 2004.02.05| 18페이지| 무료| 조회(427)

오렌지, 큐브릭, 시계태엽, Stanley, 스탠리

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[세계정치] 노스우즈 작전 전문 번역본

일급비밀 특별 취급 要, 돌리지 말 것연합참모장워싱턴 25, D.C.기밀해제 1962년 3월 13일국방부 장관에게 보내는 메모Subject: 쿠바에서의 미군 군사 개입의 정당화 (TS)1. 합동참모본부는 작전사령관에게 미군의 쿠바 군사 개입을 정당화할 구실을 간결하면서 정확하게 알려달라는 본부의 요청에 대한 답으로 이(첨부) 메모를 고려했다.2. 합동참모본부는 이 메모를 계획 목적의 예비 제출물로서 돌리기를 추천한다. 이것과 유사한 제출물들이 다른 정보기관들에도 있을 것이고, 이것은 장기간 계획 수립의 기초로 이용될 것이다. 그럼 개개의 프로젝트들은 사례별로 고려될 것이다.3. 더 나아가, 기본 계획의 군사적, 보조군사적(para-military) 측면을 만든 주된 책임을 한 정보기관이 떠안을 것이다. 이러한 공개, 비공개 군사 작전들의 책임을 합동참모본부에 전가시키는 것을 추천한다.합동참모본부장 귀하:L. L. Lemnitzer의장합동참모본부1 동봉쿠바 프로젝트 관련, 작전사령부에 갈 메모일급기밀 COPY NO. 1JCS 1969/321 특별 배포1962년 3월 12일2165 페이지장관들이합동참모본부에게노스우즈(S)에 대하여위 주제에 대한 보고서*는 합동참모본부가 고려할 것을 요구F. J. BLOUINM. J. INGELIDO합참 비서일급기밀 COPY NO. 1JCS 1969/321 특별 배포1962년 3월 12일합동참모본부JCS 1969/321 에 대한 결정장관들의노스우즈(S)에 대한 메모1. 1962년 3월 13일 그들의 회의에서, 합동참모본부는 JCS 1969/321 의 8번째 단락의 추천을 승인했다.2. 회의에서 사령관은 해군의 직접적 염려를 말했다, 10장의 제안, US 코드 141 (o), 적용되고 이행됐다.3. 이러한 결정은 JCS 1969/321의 일부가 됐고 맨 첫 장에 첨부될 것이다.F. J. BLOUINM. J. INGELIDO합참 비서1962년 3월 12일 COPY OF COPIES특별 배포캐리비언 통계 그룹에 대한국방성과합동참모본부 대미국이 서유럽에 한 것처럼 쿠바에 소비에트 기지를 설립한 바 없다. 따라서, 쿠바 문제는 시간이 매우 중요한 요인이며, 모든 계획들은 몇 달 내에 제시될 것이다.결 론7. '동봉 A'에 첨가된 제안들은 제시된 내용에 잘 맞다. 그러나, 이 제안들은 다른 정보기관들의 계획과 함께, 하나의 종합적이고 시간을 요하는 계획 - 미군의 쿠바 군사 개입 정당화에 초점을 맞춘 - 의 차원에서 다루어져야 한다.추 천8. 다음을 추천한다:a. '동봉 A'와 첨부된 것들은 국방부 장관에게 전달하여 승인받고 쿠바 프로젝트 작전사령관에게 전달되어야 한다.b. 이 문서는 연합사령관이나 다른 사령관들에게 전달하지 않는다.c. 이 문서는 NATO 활동에 연관된 미군 장교들에게 전달하지 않는다.d. 이 문서는 의장, 미국 대표단, UN 군사참모위원회에 전달하지 않는다.국방부장관을 위한 메모주제: 미군의 쿠바에 대한 군사 개입의 정당화(TS)1. 합동참모본부는 미군의 쿠바에 대한 군사 개입을 정당화할 구실들에 대해간단하되 정확하게 묘사해 달라는 본부의 요청*에 대한 쿠바 프로젝트 작전사령부의 메모를 검토했다.2. 합동참모본부는 메모의 제안들을 계획 목적의 예비 제출물로서 돌리기를 추천한다. 다른 정보기관들로부터도 유사한 제출물이 나올 것으로 보이며, 이런 제출물들은 시간적으로 조정된 계획을 발견시키기 위한 기초로 사용될 것으로 보인다. 이후에 개별 계획들은 사례별로 심사될 것이다.3. 더 나아가, 기본 계획의 군사적, 보조군사적(para-military) 측면을 만든 주된 책임을 한 정보기관이 떠안을 것이다. 이러한 공개, 비공개 군사 작전들의 책임을 합동참모본부에 전가시키는 것을 추천한다.'동봉 A''동봉 A'에 추가사항초 안쿠바 프로젝트 작전사령부를 위한 메모주제: 쿠바에 대한 미군의 군사 개입 정당화 (TS)1. 참조사항은 1962년 5월 5일, 쿠바 프로젝트 작전사령부로부터크레익 장군에게 보내는 메모 - "몽구스 작전"과 관련해 구실들에대한 간단하되 정확한 묘사를 요청한 - 에 대한적이 공개적인 군사적 개입이므로, 기본 계획의 군사적,보조군사적(para-military) 측면을 만든 주된 책임을 합동참모본부에 전가시키는 것을 추천한다.'동봉 A'에 추가사항에 덧붙임쿠바에 대한 미군의 군사 개입 정당화 구실들(주: 다음에 이어질 행동의 경로들은 오직 계획하고 있는 목적들을 위해 적합하게 예비적으로 제출된 것이다. 그 목표들은 연대기적으로나 상하의 순서로 정리되지 않았다. 다른 기관들의 유사한 자료들과 함께 그것들은 단일하고 통합적이며, 시간적으로 조정된 계획의 전개를 위한 시작의 지점을 제공하는 것을 의도하고 있다. 그러한 계획은 쿠바에서 미군의 군사적 개입을 위한 명쾌한 정당화라는 목표를 냉정하게 이끌 수 있게 의도된 점증적이고 긴밀한 행위들의 맥락 안에서 개별적인 프로젝트들의 평가를 허용한다.)1. 쿠바에서 미군의 군사개입을 위한 기초로써 정당한 도발적 행위가 사용되는 것을 원하고 있기 때문에, 33c 작전에 대응하는 것으로 발전된 필요한 예비적 전투들을 포함시키기 위해서 은폐와 기만 계획은 쿠바의 반응을 유발시키는 초기의 노력으로 실행될 수 있다. 긴박한 침공을 쿠바인들에게 인식시키는 더 기만적인 전투와 같은 공격이 강조될 것이다. 그 계획의 철저한 실행을 통해서 우리의 군사적 입지는 쿠바인들의 반격이 정당화된다고 하더라도 실행에서 개입으로 빠른 전환을 허용하게 된다.2. 잘 정리된 일련의 사건들은 관타나모 기지 주변에서 적대적인 쿠바 무장세력에 의해 이루어진 존재들에 창조적인 모습을 부여하는 것이 일어나도록 계획되어 있다.a. 신뢰할 수 있는 공격을 확립하기 위한 사건들(연대기적인 순서 아님)(1) 소문을 퍼뜨리기(다수). 비밀 라디오 시설 이용.(2) 기지를 공격하기 위해 제복을 입은 우호적인 쿠바인들을 '담장을 넘어' 상륙시키기.(3) 기지 안에서 (우호적인) 쿠바인 파괴공작원들을 생포하기.(4) 기지 정문 근처에서 시위를 시작하기(우호적인 쿠바인들로).(5) 기지 안에서 탄약을 폭발시키기. 화재를 일으키기 시작함.(6) 공군기다. 미국은 존재하지 않는 가상의 승무원들을 '소개(疎開)'시키기 위해 미군이 담당하는 공중-해상 작전을 곧이어 펼칠 수 있다. 미국 신문에 허위로 된 피해자 명단을 발표하고, 국가적인 분노라는 고무적인 분위기를 일으키게 한다.4. 우리는 마이애미 지역과 다른 플로리다의 시, 그리고 워싱턴에서도 공산주의자 쿠바의 테러에 대해 비난하는 캠페인을 전개할 수 있다.그 테러 캠페인은 미국에서 피난처를 찾고 있는 쿠바 피난민을 겨냥한 것이다. 우리는 플로리다로 향하는 쿠바인들의 보트를 침몰시킬 수 있다(진짜 혹은 가짜로). 우리는 광범위하게 알려지게 되는 실례들에서 부상자들의 존재에까지 미국에서 쿠바 피난민들의 삶에 대한 시도들을 조장할 수 있다. 신중하게 선택된 장소에서 약간의 플라스틱 폭탄을 폭발시키면서, 쿠바 요원들의 체포와 쿠바의 개입을 입증하는 준비된 자료들을 퍼뜨리는 것은 또한 무책임한 정부라는 아이디어를 투사하는 데 도움이 될 것이다.5. '쿠바에 기지를 두고 있는 카스트로 지지자인' 불법침입자는 인접해 있는 카리브해 연안 국가들에 대해서도 실험이 가능하다(도미니카 공화국에 6월 14일 침공한 것과 비슷하다). 우리는 카스트로가 아이티, 도미니카 공화국, 과테말라, 그리고 니카라과 등에 대항해 비밀스러운 파괴적인 노력을 지원하고 있는 것을 알고 있다. 이러한 노력들은 폭로를 위해 확대되고 고안된 것들이 추가될 수 있다. 예를 들어, 도미니카 공화국 공군에게 자국의 영공에 대한 침입은 매우 거슬리는 일이다. 쿠바의 B-26이나 C-46 항공기가 야간에 기습 폭격을 할 수 있다. 소비에트 진영에서 생산된 소이탄이 발견될 수 있다. 이것은 해안에서 발견되고 저지될 '쿠바의' 무기수송과 도미니카 공화국에서 지하 공산주의자들에 대한 '쿠바인'의 메시지로 연결될 수 있다.6. 미군 조종사들에 의해 미그기와 유사한 공군기의 사용은 추가적인 도발을 제공할 수 있다. 민간 영공의 공격과 미그기와 유사한 공군기에 의해 미군의 무인항공기가 파괴되는 것, 그리고 선박에 대한 공선별된 승객들을 태울 것이며, 모든 승객들은 세심하게 준비된 가명을 사용할 것이다. 실제로 등록된 항공기는 무인항공기로 전환된다.b. 무인 항공기와 실제 항공기의 이륙 시간은 플로리다 남쪽 랑데부 지점에 맞추어 조정될 것이다. 랑데부 지점으로부터 승객들을 수송하는 항공기는 낮은 고도로 하강하게 될 것이고, 에글린 공군기지에 있는 부속지역으로 직접적으로 향하게 된다. 그곳에서 승객들은 비행기에서 내리고 항공기는 원래 위치로 되돌아간다. 그 동안에 무인항공기는 계획된 항로대로 비행을 계속할 것이다. 쿠바 상공에서 그 무인 항공기는 쿠바의 미그기의 공격을 받고 있음을 타전하는 국제조난신호를 내보내게 된다. 그 신호의 전달은 라디오 신호에 의해 발생할 항공기의 파괴에 의해 방해받을 것이다. 이것은 미국이 그 사건을 '판매'하려고 시도하는 것 대신에 서구의 국제민간항공기구(ICAO)의 수신으로 그 항공기에 일어난 일이 미국에 알려지게 된다.9. 공산주의 국가인 쿠바의 미그기들이 정당한 이유가 없는 공격으로 미 공군의 항공기를 파괴하는 사건을 조작해낼 가능성은 충분하다.a. 약 4, 5대의 F-101 항공기는 플로리다의 공군기지의 부속건물에서 쿠바 연안으로 추적을 위해 급파될 것이다. 그것의 임무는 남부 플로리다에서 영공 방어훈련을 위해 항공기를 가장하고 항로를 거꾸로 비행하는 것이다. 이 항공기는 자주 다향한 형태로 비행을 실행할 수 있다. 승무원들은 적어도 쿠바 연안에서 12마일 떨어진 곳에 남아있도록 지시를 받을 것이다. 그들은 쿠바의 미그기에 의해 저질러지는 적대적인 전투가 벌어지는 사건에서 탄약을 실어 나르게 된다.b. 그러한 한 번의 비행에서, 미리 지시를 받은 조종사는 항공기 사이에서 상당한 간격으로 추적비행을 할 것이다. 쿠바 섬 가까이에서 이 비행사가 미그기에 의해 기습당하고 추락하고 있다는 신호를 보낼 것이다. 다른 신호는 발신되지 않는다. 그 조종사는 매우 낮은 고도로 서쪽으로 비행하고, 에글린 기지에 속한 안전한 장소에 착륙한다. 그 항공기는 준비된다.

사회과학| 2003.10.14| 15페이지| 무료| 조회(420)

음모이론, northwoods, 노스우드, 띠에르메이상, thierrymeyss..

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[수학] 연립부등식의 쌍대성 증명

1. 선형계획법선형계획(linear programming) 또는 선형최적화(linear optimization)는 목적함수 f가 제어변수 x1, ..., xn의 선형함수이고, 이들 변수의 영역은 일차부등식계로 제한되어 있는 제약조건을 가진 최적화문제를 푸는 방법으로 이루어진다. 이와 같은 형의 문제는 예를 들면 생산, 상품의 분배, 경제학과 근사이론에서 흔히 나타난다. 이것을 간단한 예를 통하여 설명해 보자.예제1) 생산계획Silvex 社 는 J형과 K형 기름탱크를 생산한다. 두 기계 M1, M2를 사용한다고 하자. M1에서는 J를 생산하는 데 2분, K를 생산하는 데 8분이 걸린다. M2에서는 J를 생산하는 데 5분, K를 생산하는 데 2분이 걸린다. J는 40$에, K는 88$에 팔려고 한다. 시간당 x1개의 J와 x2개의 K를 생산한다고 하면, 시간당 순이익은z = f(x1, x2) = 40x1 + 88x2이다. 순이익을 최대가 되게 하는 production figure x1, x2를 구하라.Solution) 문제로부터 다음과 같은 다섯 개의 식을 세울 수 있다.(0) z = 40x1 + 88x2(1) 2x1 + 8x2 60(분) (기계 M1)(2) 5x1 + 2x2 60(분) (기계 M2)(3) x1 0(4) x2 0이다. 다음 그림은 이 제약조건을 보여주고 있다.(x1, x2)는 사각형 OABC로 제한된다. (O(0, 0), A(12, 0), B(10, 5), C(0, 7.5))그림에서 빨간 색 선은 f=840를 만족시키는 점들로 이루어진 선이다. 그림에서 알 수 있듯이, B에서 f값은 최대이며, 이 때의 최대이익은 시간당 40 * 10 + 88 * 5 = 840$이다.※ 선형계획문제의 표준형일반적으로 선형계획문제는 추가변수(slack variable)을 추가하면 오직 연립일차방정식들과xi 0 들로 나타낼 수 있다. 예컨대 위의 문제에서 2x1 + 8x2 60 는2x1 + 8x2 + x3 = 60,x3 0으로 나타낼 수 있고, 5x1 + 2x2 60 feasible solution)는 변수 x1, ..., xn 중에서 적어도 n-m 개가 0인 가능해를 의미한다. 위 예제1에서 기본가능해는 O, A, B, C 이고 B는 최적해이다.x1, ..., xn 중에서 적어도 n-m 개가 0이 되면 0이 아닌 변수들은 m개 이하가 되어 위의 m개의 식에서 0인 항들을 제외하면 m원(혹은 이하) 1차 연립방정식이 되어 해가 유일(혹은 없거나)하게 된다.Theorem 1: 기본가능해들 중 적어도 하나는 최적해이다.증명은 『Linear Programming, Methods and Applications』3rd ed. by Gass, S. I., New York: McGraw-Hill, 1969 를 참고하라.2. 단체법(simplex method)Theorem 1 에 따라, 우리는 최적해를 찾기 위해 기본가능해들만 조사하면 된다. 이것은 n개의 변수들 중 n-m 개를 0으로 놓으면 해결된다.(나머지 m개의 변수들은 연립방정식 풀면 나온다) 그러나, n개의 변수 중에서 n-m 개를 0으로 놓는 방법이 nCn-m 이기 때문에, 무작정 다 조사하는 것은 비효율적이다.(사실은 뒤에서 쌍대성 정리를 증명하기 위해서도 단체법을 알아둘 필요가 있다) G. B. Dantzig는 기본가능해들을 검색하는 방법으로 단체법(simplex method)을 고안했다. 이 방법에서는 한 기본가능해로부터 목적함수 f의 값이 항상 증가하도록 다른 기본가능해로 단계적으로 계속 진행한다. 이 방법은 출발해야 하는 기본가능해를 구하는 초기연산에서 시작하는데, 각 단계는 세 가지의 연산으로 구성되어 있다.연산 O1 : 피봇(pivot) 열 선택연산 O2 : 피봇 행 선택연산 O3 : Gauss-Jordan elimination(소거법)예제1을 단체법으로 풀어보면 단체법을 쉽게 이해할 수 있을 것이다.일단 예제1을 행렬로 나타내자. 중요한 세 개의 식들을 다시 써 보면 다음과 같다.z - 40x1 - 88x2 = 0(3) 2x1 +8x2 + x3 = 605x1 +1 (1행) 의 원소가 음수인 열(들 중 가장 왼쪽 열)을 피봇으로 잡는다. (4)에서 Column 2 (2열) 의 1행 원소가 음수(-40)이므로 Column 2 가 피봇이 된다. 다음 그림에서 분홍색 열이 피봇이다.Operation O2: 피봇 행 선택.마지막 열을 O1에서 피봇으로 선택한 열로 나누어 본다(단, 1행은 제외한다). 그 결과는가 된다. 몫이 가장 작은 행을 pivot equation으로 잡고 해당 원소를 피봇으로 잡는다. 즉, 3행의 몫(12)이 가장 작으므로 3행을 pivot equation으로 잡고 5(3행 2열의 원소)를 피봇으로 잡는다. 다음 그림에서 녹색 행이 pivot equation이고, 노란색 원소가 피봇이다.Operation O3: Elimination by Row Operations.소거법을 써서 피봇 열에서 피봇을 제외한 원소들이 모두 0이 되게 만든다. 즉,(Row 1) ← (Row 1) + 8 * (Row 3)(Row 2) ← (Row 2) - 0.4 * (Row 3)그 결과는 다음과 같다.T1에서 기본변수는 x1, x3 이고, T1에 대응되는 기본가능해는x1 = 60/5 = 12, x2 = 0, x3 = 36/1 = 36, x4 = 0, z = 480이 된다. 이것은 Fig. 442 의 A에 해당된다.T1의 첫 번째 행을 보면 x2의 계수가 음수(-72)인 것을 볼 수 있다. 따라서 T1은 우리가 원하는 행렬이 아니며, 우리는 또다시 O1, O2, O3를 반복해야 한다.Operation O1: 피봇 열 선택.T1에서 3열이 음수(-72)이므로 3열을 피봇으로 잡는다.Operation O2: 피봇 행 선택.36/7.2 = 5 이고 60/2 = 30 이므로 2행을 pivot equation으로 잡고 7.2를 피봇으로 잡는다.Operation O3: Elimination by row operations gives36/7.2 = 5 이고 60/2 = 30 이므로 2행을 pivot equation으로 잡고 7.2를 피봇으로 .., n.이 문제의 쌍둥이(dual) 문제는 다음과 같다.(P2)를 최대화하되≥ cj for j = 1, 2, ..., n,yi ≥ 0 for i = 1, 2, ..., m.예제2)3x1 + 1x2 + 2x3 를1x1 + 1x2 + 3x3 ≤ 302x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 244x1 + 1x2 + 2x3 ≤ 36x1, x2, x3 ≥ 0하에서 최대화하는 문제의 쌍둥이 문제는30y1 + 24y2 + 36y3 를1y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 31y1 + 2y2 + 1y3 ≥ 13y1 + 5y2 + 2y3 ≥ 2y1, y2, y3 ≥ 0하에서 최소화하는 문제이다.Theorem 2 (Weak linear-programming duality): 가 P1의 기본가능해이고, 가 P2의 기본가능해이면,≤ 이다.증명) 복잡한 기호를 쓰지 않고 위 예를 갖고 설명하겠다.해 (x1, x2, x3)와 (y1, y2, y3)에 대해서,3x1 + 1x2 + 2x3 ≤ (1y1 + 2y2 + 4y3)x1 + (1y1 + 2y2 + 1y3)x2 + (3y1 + 5y2 + 2y3)x3 = (1x1 + 1x2 + 3x3)y1 + (2x1 + 2x2 + 5x3)y2 + (4x1 + 1x2 + 2x3)y3 ≤ 30y1 + 24y2 + 36y3그런데, 눈치 빠른 사람이라면 위 식에서 등호가 성립하는 경우가 있을 거라 예상할 것이다. 그렇다. 게다가, 어떤 문제의 최적해에서의 목표 함수 값은 그 문제의 쌍둥이 문제의 최적해에서의 목표 함수와 정확히 같다! 즉, 위 예제2에서 (x1, x2, x3) = (8, 4, 0) 가 원래 문제의 최적해이고 이 때 목표 함수 3x1 + 1x2 + 2x3 = 28 인데, 이 값은 쌍둥이 문제의 최적해 (y1, y2, y3) = (0, 1/6, 2/3) 에서의 목표 함수 30y1 + 24y2 + 36y3 = 28 과 정확히 같다!Theorem 3 (Linear-programming duality): 가 P1의 최적해이고, 가 P2의 최적해이면,= 이다.증명 x3, x4, x5, x6)에 대해 성립한다(원래의 식을 단지 변형한 것이므로 당연하다). 따라서(3x1 + 1x2 + 2x3)= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6 + 0x4 + x5 / 6 + 2x6 / 3)= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6) - (0x4 + x5 / 6 + 2x6 / 3) (x1~xn 과 xn+1~xn+m 으로 나눔)= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6) - (y1 * x4 + y2 * x5 + y3 * x6) (∵ yi = cn+1+i)= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6) - (y1 * (30 - (1x1 + 1x2 + 3x3)) + y2 * (24 - (2x1 + 2x2 + 5x3)) + y3 * (36 - (4x1 + 1x2 + 2x3)))= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6) - (30y1 + 24y2 + 36y3) + (1x1 + 1x2 + 3x3)y1 + (2x1 + 2x2 + 5x3)y2 + (4x1 + 1x2 + 2x3)y3= 28 - (0x1 + 0x2 + x3 / 6) - (30y1 + 24y2 + 36y3) + (1y1 + 2y2 + 4y3)x1 + (1y1 + 2y2 + 1y3)x2 + (3y1 + 5y2 + 2y3)x3= {28 - (30y1 + 24y2 + 36y3)} + (-0 + 1y1 + 2y2 + 4y3)x1 + (-0 + 1y1 + 2y2 + 1y3)x2 + (-1/6 + 3y1 + 5y2 + 2y3)x3즉,(0 + 3x1 + 1x2 + 2x3) = (a + bx1 + cx2 + dx3),a = {28 - (30y1 + 24y2 + 36y3)},b = (-0 + 1y1 + 2y2 + 4y3),c = (-0 + 1y1 + 2y2 + 1y3),d = (-1/6 + 3y1 + 5y2 + 2y3)이것이 임의의 (x1, x2, x3) 에 대해 성립하려면 양변의 상수항과 계수들이 같아야 한다. 즉, a = 0, b = 3, c = 1, d = 2 이어야 한다.

자연과학| 2003.09.29| 8페이지| 무료| 조회(1,028)

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