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피아제의 수학학습이론 평가A좋아요

♠ 피아제의 수학 학습 심리학 ♠피아제의 기본 가정인 인식론에 따르면, 모든 인간은 모든 지식의 바탕이 되는 기본적인 소양 (basic stuff)을 가지고 있으며 이를 명확히 하고 재구성하기 위해서는 적절한 문제에 부딪혀야 한다. 이러한 입장은 아동은 백지 (tabula rasa)로 출발하며 인간의 지적인 발달을 경험의 누적된 결과로 설명하는 입장과 대비된다.피아제는 수학적 지식 및 사고의 본질을 조작 (operation)이라고 보고, 그 발생 과정을 분석하여 제시하고 있다.★ Piaget의 발달이론의 교육에의 함의기본 가정1 아동은 즉각적으로 이해되지 않는 새로운 자극과 사상에 의해 끊임없이 도전 받는 능동 적이고 호기심 많은 탐색가이다.2 모든 인지구조는 평형을 향하는 경향이 있다.3 아동의 사고유형과 환경 적 사상간의 불균형(인지적 불평형)은 해결하기 어려운 경험에 대처할 수 있도록 적응시키며 그렇게 함으로써 인지적 평형을 회복하게 된다.{1단계2단계3단계4단계인지적 모순이나 갈등을 느끼지 못함인지적 모순 또는 갈등을 인식모순과 갈등을 해소하기 위한 방안을 찾거나 해결책을 타협함모순되는 도식을 조정하여 인지적 갈등을 해소 인지평형화 단계4 아동은 외적 대상을 그대로 복제하는 것이 아니라 자신의 현존하는 인지구조로 통해 재 해석, 구성해 낸다.5 따라서 주의할 것은 기존의 인지구조가 미성숙하면 할수록 환경에 대한 아동의 해석은 제한적이 된다는 것이다.6 인지발달 각 단계는 질적으로 서로 다른 인지적 기능을 가지며, 이러한 발달단계는 불 변적인 발달계열을 형성한다.일반적인 교수-학습 전략1 학습자 자신이 학습의 주체로서 학습경험을 능동적으로 조작하고 그에 따라 학습하게 하는 학습지도법을 제시한다.2 학생들로 하여금 인지적 모순이나 갈등을 느낄 수 있게 하는 교수전략을 제시한다.3 아동중심의 교육사조에 따라 교육과정을 개발하고 그에 따른 학습지도가 이루어지도록 한다. (발달에 기초한 교육과정)4 개별화 학습을 위한 교수전략을 이용하도록 한다.5 사회적 경험 문화적, 사회적 환경에 따라 차이가 있을 수 있다. -1. 감각운동기 (태어나서부터 대략 2세 정도)출발점은 삼키기, 빨기, 혀 움직이기, 울기와 같은 타고난 생물학적인 반사 작용과 우연히 획득된 어떤 새로운 결과의 능동적인 재생 행위인 순환 반응이다. 이 시기의 유아는 자신의 육체적, 정신적 행동을 sch me이라는 일련의 분명한 행위 단위로 발전, 조직한다. 유아는 자신의 감각과 육체적인 움직임을 조정할 수 있게 되고, 시야에서 사라진 물체가 다시 나타날 수 있음을 알게 되고, 물리적인 대상에 이름을 붙일 수 있게 된다.2. 전조작기 (2세 ∼ 7세)언어와 상징기능의 습득과 더불어 시작된다. 이 시기 아동의 가장 중요한 특징은 자기 중심성이다. 자기 중심성이란 세상을 자신만의 단일한 관점에서 보는 것으로, 여러 가지 시각이나 관점이 존재한다는 것을 알지 못하고, 스스로에게 사로 잡혀 있다는 자각조차 없는 상태를 뜻한다. 피아제는 자기 중심성이라는 특징을 가역성의 결여로 설명하고 있다. 아동은 마음속으로 한 행동을 거꾸로 하여 출발점에 되돌아오는 데 곤란을 느끼며, 일단 실행된 행동에 집착하고 앞에서 행한 다른 행동이나 가능한 행동과 조정하지 못한다. 내면화된 가역적 행동이 조작이므로, 조작의 결여가 이 시기의 중요한 특징이 된다.또한, 이 시기 아동의 사고를 두 가지 종류의 모순을 구분하고 있다.첫째는 건망증에 의한 모순 으로, 아동이 한 가지 대상에 대하여 두 가지 모순된 견해를 가지고 주저하고 있을 때, 이 중 한 가지를 언급한 다음 잠시 시간이 지나면 이미 말한 것을 잊어버리고 다른 것을 언급하기도 한다는 것이다.둘째는 응축에 의한 모순 으로, 동일한 현상에 대하여 두 가지 모순된 설명 사이에서 하나를 선택할 수 없는 아동은, 두 가지 모두에 동의하기도, 그것을 융합하기도 한다. 구체적 조작기에 접어들면서, 함의에 대한 자각이 이루어지고, 응축에 의한 모순을 제거하면서 점진적으로 가역적 행동이 가능해지며, 이는 자기중심성의 감소와 연결되어 나타난다. 무게를 놓아 평형을 회복할 수 있는데 이것이 상반에 의한 가역성이다.이 단계의 아동은 개념 사이의 관계를 내면적으로 취급할 수 있다. 즉 개념적 표상과 그 관계를 다룰 수 있어 문제를 내면적으로 시행착오를 통하거나 가설의 검증을 통하여 해결할 수 있으며 새로운 아이디어를 이해하고 이미 획득된 개념과 관련지을 수 있다. 그러나, 이러한 조작은 당시의, 혹은 전에 행하여진 구체적인 대상의 취급과 직접 관련되며, 구체적 대상 없이 언어적 명제만을 다루는 형식적 수준에는 이르지 못한다는 점에서 형식적 조작기와는 구분된다.구체적 조작기의 아동 가르치기1 계속해서 구체적 준비물과 시각적 보조물을 사용한다. 특히 수준 높은 자료들을 다룰 때 그렇게 한다.2 물체들을 조작하고 검증할 기회를 계속해서 제공한다.3 발표와 읽기가 간단하고 잘 조직화되도록 한다.4 친숙한 예를 사용해서 복잡한 개념들을 설명한다.5 물체와 개념들을 점점 복잡한 수준에서 분류하고 군집화 할 기회를 준다.6 논리적, 분석적 사고를 요하는 문제들을 제시한다.4. 형식적 조작기 (11세 ∼ 12세)형식적 조작기에서는 대상, 성질, 개념 등이 명사로 파악되고, 구체적인 상태나 조작이 명제로 표현되는 수준을 넘어서 정신 활동의 영역이 보다 확대되어 구체적 조작뿐만 아니라 언어적 가설에 근거한 추론을 할 수 있게 된다. 피아제는 형식적 조작기에 접어들면서 새로운 태도가 생겨나는 근원을 구체적 조작으로 해결할 수 있는 방법이 점점 복잡해지는 데서 비롯되는 방향 전환에서 찾고 있다.구체적 조작기의 아동들은 어려운 문제에 처했을 때 단순히 의미 있는 어떤 것이 자료에서 저절로 나타나기를 희망하면서 관계를 발견하려고 시도한다. 그러나, 구성된 연결 고리가 너무 복잡하다면 언젠가 분석하지 않고서 남겨둔 변인이 나중에 방해 요소로서 재등장할 것이기 때문에 자신의 사고 단계를 재추적해야 한다. 여기서 형식적 조작기에 독특한 사고의 변화가 일어나 간섭 변인의 방해에서 자유롭게 변인 {x를 분석하기 위하여 간섭 변인 {y를 외부 대상이 갖는 성질들로부터 일반화된 지식을 끌어내는 경험적 추상화와, 아동의 활동에 대한 일반적 조정으로부터 이루어지는 반영적 추상화, 그리고 아동의 활동으로부터 구성이 이루어지지만 그 구성 결과의 확인은 외부 대상에 대해서 행해지는 의사 경험적 추상화가 그것이다.예를 들어, 아동이 큰 사과는 작은 사과보다 무겁다는 것을 발견하였다면 물리적인 경험을 한 것이다. 그러한 성질은 아동이 작용하기 전에도 사과가 갖고 있던 성질이며, 아동이 그 성질을 경험한 데 불과하다. 이처럼, 경험으로부터 무게 개념을 추상하였을 때 경험적 추상화 에 의한 것이다. 이에 대해서, 사과를 어떤 모양으로 늘어놓고 어떤 순서로 세어 보아도 개수가 같다는 것을 발견하였을 때, 아동은 논리-수학적 경험을 한 것이다. 이러한 성질은 사과 자체와는 무관한 것으로서 아동은 자신의 활동과 그 결과에 대한 경험을 한 것이다. 이와 같은 경험으로부터 집합의 원소의 순서와는 관계없는, 원소의 개수라고 하는 개념을 추상하였을 때 아동은 반영적 추상화 를 하였다고 볼 수 있다.또한, 반영적 추상화의 메커니즘은 반사와 반성이라는 두 가지 상보적인 과정에 의하여 진행된다. 반사는 전 단계에서 얻은 것을 보다 상위의 단계로 옮긴다고 하는 의미이며, 반사가 시작되는 가장 기초적인 단계는 감각 운동적 움직임에서 출발하는 일련의 행동을 내면화하여 개념화의 시초인 표상으로 투사하는 것이다. 예를 들어, 아동에게 빨간 칩과 노란 칩들을 마음대로 늘어놓게 했다고 하자. 빨간 칩만을 계속 늘어놓던 아동이 이제는 노란 칩을 놓는다 라는 말을 했다면, 이는 아동이 빨간 칩을 놓고 있던 자신의 행동을 의식하기 시작한 것이며, 그 행동을 표상한 것이다. 행동이 내면화되었다는 것은 행동과 관련된 어떤 내적 구성이 이루어져서 이를 통해 행동을 의식하고 그 행동을 다른 행동과 결합할 수 있게 하는 것이다. 이러한 내면화 과정은 인지 발달의 모든 단계에서 나타나는 것이기도 하지만, 특히 반사의 과정은 반드시 내면화로부터 시작되어야 한물이므로, 학습은 조작의 바탕이 되는 여러 가지 활동 중심으로 구성되어야 한다. 수학 학습 내용 중 상당 부분은 수 개념, 도형 개념, 함수 개념, 확률 개념 등 추상화를 통한 여러 가지 개념의 획득으로 이루어져 있다는 점에서, 학생들이 여러 활동의 내면화로부터 반영적 추상화를 통하여 보다 고차적인 내용을 학습해 나가도록 하는 것이 피아제의 이론에 따른 지도 방법이 될 것이다.둘째로, 학습자에게 구체물을 다루는 경험을 충분히 제공할 필요가 있다. 피아제에 따르면 초등학교 시기의 대부분을 차지하는 구체적 조작기 수준의 아동들의 사고의 특징은, 당시에 혹은 전에 행하여진 구체적인 대상의 취급과 직접 관련되며 언어적 명제만을 다루는 형식적 수준에는 이르지 못한다는 것이다. 따라서, 초등학교 저학년에서부터 수학 학습의 기초가 되는 구체물의 조작 활동을 충분히 제공하여 장래 학습의 토대가 될 수 있도록 해 주는 것이 필요할 것이다.셋째로, 학습자가 인지적 불균형을 느낄 수 있는 갈등 상황을 제공할 필요가 있다. 학습자의 인지 발달이나 개념의 발달은 인지적 불균형의 해소를 위한 동화와 조절의 균형화 과정이 그 바탕이 되고 있으며, 이를 위하여 일시적 균형 상태에 있는 학습자의 수준보다 조금 더 복잡한 상황을 경험하게 함으로써 보다 높은 수준의 균형을 위한 동기를 부여할 필요가 있는 것이다. 또한, 전조작기에서 구체적 조작기로의 발달에서 중요한 계기는 자기중심성에서 탈피하면서 모순을 인식하게 만드는 것이며, 구체적 조작기에서 형식적 조작기로의 발달은 학습자가 기존의 조작으로 해결하기 복잡한 상황에 대한 탐색 과정에서 비롯된다는 점에서, 학습자에게 갈등을 유발할 수 있는 다소 복잡한 상황을 제시할 필요가 있다.이에 덧붙여 피아제의 심리학에 따른 학습을 구현하기 위해서는 교사의 정확한 진단과 소집단 활동의 역할이 중요하다. 피아제 자신도 언급하고 있듯이 인지 발달 단계의 연령 구분은 학습자마다 다를 수 있으며, 동일한 조건에서 학습을 수행하더라도 학습 속도는 학습자마다 다양하.

자연과학| 2005.06.27| 10페이지| 1,000원| 조회(690)

교육, 피아제, 수학, 인지발달, 반영적 추상화

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프로이덴탈의 수학학습이론

♠ Freudenthal 교수 학습 이론 ♠Ⅰ. 수학관프로이덴탈은 명제 체계로서의 과학보다 활동 그 자체로서의 과학을 생각하고 과학은 그 연구문제와 연구 방법 및 연구태도가 적절성, 일관성, 공공성이란 특성을 갖는 활동인 바 결과적 지식인 명제 체계로서의 과학의 특성인 진리성은 과학의 준거가 될 수 없다고 주장한다. 이는 결과적 지식으로서의 과학은 국소적인 연역적 체계 이상이 아니며, 논리적으로 닫힌 체계, 완비된 연역체계인 과학은 존재하지 않음을 강조하는 것이다. 이러한 입장은 수학은 절대적으로 확실한 객관적으로 존재하는 완전한 지식체계이며 상기, 곧 발견을 통해 알게 된다는 전통적인 플라톤적인 관념을 수용하지 않는 것이다. 프로이덴탈의 이러한 관점은 브라우어(Brouwer)의 직관주의 수리철학의 영향을 받은 것이다. 수학을 기본적인 직관을 바탕으로 일련의 정신적 활동에 의해 구성되어 가는 것으로 보는 직관주의 수리 철학적 입장은 프로이덴탈의 수학화 학습-지도론의 기초가 되고 있다.프로이덴탈은 실행되는 수학의 주요한 수학적 활동을 수학화 활동으로 보고 있다. 수학화란 수학적 수단에 의해 현상에 의해 현상을 정리하고 조직하는 활동이며, 현실상황이든 수학적 상황이든 현상 가운데에서 그 정리수단인 본질을 찾는 활동, 즉 현상에 질서를 부여하는 활동을 말한다. 공간적 현상을 도형으로 파악하는 것은 공간을 수학화하는 것이며, 평행사변형의 한가지 성질을 정의로 받아들이고 그것을 기초로 평행사변형의 여러 가지 성질을 정리하는 것은 평행사변형의 개념적 영역을 수학화하는 것이다. 기하의 공리화도 기호 체계에 의해 그 언어적 표현을 세련시키는 형식화도 수학화이다. 기하를 대수적 방법으로 다루는 것은 기하를 대수화하는 수학화이며, 해석학의 산술화도 수학화이다. 자연현상이나 경제현상을 함수관계로 파악하고 기술하는 것은 현실세계를 수학화하는 것이다. 이러한 수학화 활동에는 형식화, 국소적 조직화, 공리화뿐만 아니라, 관찰, 실험, 귀납, 유추, 시행착오, 추측, 일반화, 도식화, 형식과 내용이 교대되면서 수학은 발달해 간다는 것이다.이것이 수학이 여타의 과학과 다른 이유이고 수학을 고도로 추상화된 형식으로 보는 이유이다. 수학은 확립된 유형들이 곧 수학적 대상들로 고려되고 그 다음에는 그것들이 더 큰 유형에 속하게 되고 그에 친숙해짐에 따라 다시 대상으로 고려되는 대상화와 구조화의 반복이 이루어진다. 이런 종류의 끝없는 열린 사고가 수학적 사고의 본질이라면, 이것은 일상적인 사고 유형과는 근본적으로 다르다. 형식과 내용의 교대작용은 수학의 본질이며 수학을 다른 과학과 구분 짓는 기준이 된다.수학은 이미 완성된 지식으로서가 아니라 상식에서 출발해서 형식과 내용의 상호 작용을 통한 발견과 조직화의 과정으로 볼 때, 이 과정이 이루어지는 매체는 현실이다. 그 이유는 상식은 공통된 현상을 갖는 사람들의 공통적인 행동 속에 나타나기 때문이다. 현실이란 물리적 세계나 사회적 세계뿐만 아니라 심상과 정신적 활동이 가능한 정신적 세계 내에서 상식으로 받아들여지는 것으로서, 감각적 인상 경험과 해석의 혼합으로 볼 수 있으며 계속 확장되어 간다. 이러한 현실 속에 드러나는 상식에는 또한 여러 수준이 있다. 어떤 개념이 얼마나 현실적인가 하는 것은 이해하는 사람에 달려 있고 어떤 환경에서는 인지적인 것이 행동적이고 감각적인 것보다 생생하게 느껴질 수 있으며 사실상은 행동적인 것과 감각적인 것이 언제나 인지적인 것과 혼합으로 볼 수 있으며 계속 확장되어 간다. 이러한 현실 속에 드러나는 상식에는 또한 여러 수준이 있다. 어떤 개념이 얼마나 현실적인가 하는 것은 이해하는 사람에 달려 있고, 어떤 환경에서는 인지적인 것이 행동적이고 감각적인 것보다 생생하게 느껴질 수 있으며, 사실상은 행동적인 것과 감각적인 것이 언제나 인지적인 것과 혼합되어 있다. 수학적인 현실은 개인의 발달에서 보았을 때 어려서부터 일어나는 현상이다.Ⅱ. 수학화의 의미프로이덴탈은 기성의 수학적 지식을 전달하는 교육이 아니라 학생들의 창조적인 활동에 의한 수학화 과정을 중시하며, 만인을 위한역성을 특성으로 갖는 관점의 전환이 이루어져야 한다.(유연한 사고)3 어떤 주어진 문제에 적합한 정확성의 정도를 파악할 수 있어야한다.4 문맥 내에서 수학적 구조를 확인할 수 있고, 수학이 적용되지 않는 곳에서는 수학을사용하지 않아야한다. (유용성 파악, 비판적 태도)5 자신의 활동을 반성의 주제로서 다루는 태도가 요구된다.(학습에 대한 반성)2. 수학 학습지도 원리프로이덴탈이 주장하는 수학화를 통한 수학교육이란 교사의 적절한 안내에 의해 학습자의창조적 활동을 통해 선조들이 이미 발명한 수학을, 조직해야 할 현상으로부터 출발해서 수준의 비약을 거쳐 재발명해 나간다는 것을 의미한다.(1) 안내된 재발명의 원리- 교사가 수학 개념의 발생 발달과정을 이상적으로 조정한 다음 학생들로 하여금 이 과정에 따라 발생주의 입장에서 학습할 수 있게 하는 원리사고실험 : 교사가 실제로 지도하고자 하는 내용을 가상적인 학생들에게 지도하는 과정을 생각하면서 지도할 내용을 조정하고 계열화하는 것(2) 교수학적 현상학- 학생들은 여러 가지 현상을 접하면서 성장하게 되는데, 수학 학습은 이런 현상을 수학적 수단으로 스스로 조직해 보는 경험을 우선시키고 점진적으로 형식화 과정을 밟아나가야 함을 의미한다.{현상-----적용-----심상-----반성-----개념(3) 학습 수준 이론- 반힐의 수학학습 수준과 같은 맥락으로써 어떤 단계에서 학습의 결과(본질)로 얻은 것은 다음단계에서 다시 학습의 대상(현상)이 되어 새로운 본질을 조직하고 그러한 과정을 반복하면서 학습 수준이 상승하게 된다. 그러기 위해서 반성적 사고에 의한 수준상승이 이루어지도록 교수학적 상황이 마련되어져야 함을 말하고 있다.(4) 문맥수학- 수학학습은 학생들이 관심과 흥미를 갖고 상상력을 발휘할 수 잇는 현실적인 풍부한문맥에서 진행되어야 하고 처음에는 현실세계에서 출발하여 수학화 과정을 거치고 다시 현실세계에 돌아올 수 있도록 구체적인 문맥을 제공하여야 한다.{Ⅴ. 수학화 교수·학습의 예 - 기하 지도프로이덴탈에 의하면 기하·문제해결 전술·전략, 엄밀성 등 수학적 사고를 재발명에 의해 학습해야 함을 강조한다. 알고리즘은 수준을 고려하여 재발명에 의해 학습되어야 한다. 수학적 사고에는 알고리즘에 가까운 사고 패턴과 문제해결 전술 전략이 있다. 그런 사고 패턴 전술 전략도 알고리즘과 마찬가지로 중요하며 연습되어야 하지만, 너무 일찍 해서는 안 되며 학생 스스로 재발명할 수 있을 때까지 가르쳐서는 안 된다. 엄밀성도 또한 재발명에 의해 학습되어야 한다. 엄밀성에는 엄밀성이 무엇인지 모르고 행하는 수준, 국소적인 논증에 적용되는 의식적인 준거가 되는 수준, 수학 전반에 적용될 수 있는 전반적인 관념이 되는 수준 등 여러 수준이 있다. 학습자는 그러한 수준을 거치면서 엄밀성을 획득해야 한다. 수준의 이해는 불연속적이며, 엄밀성의 진전은 그 때까지 믿었던 엄밀성을 의심하는 데서 출발해야 한다. 그리고 공리로부터가 아닌 참으로 가정된 사실로부터 출발하는 국소적 조직화로부터 학습이 이루어져야 한다. 이러한 국소적 조직화는 그 나름의 엄밀성을 갖는다.2. 역사-발생적 원리재발명 방법은 가르치고자 하는 내용에 대하여 역사-발생적인 수학화 과정의 분석을 통해 현상의 정리수단, 조직수단으로서 그것이 어떻게 작용하며 어떤 중요성을 갖는지를 알아보고, 그러한 수학화의 소재가 되는 학습자 주변의 현상을 찾아 학습자로 하여금 그러한 현상에 직면하게 하여 이를 재현하는 방법을 택하게 된다. 따라서 수학자 개인의 발명과정의 재현 형식을 취하게 되거나 수학사 곧 인류의 대역적인 학습과정을 단축된 형태로 반복하게 함으로써 수학적 사고경험을 시키려는 역사-발생적 방법이 된다. 그러나 역사-발생적 원리는 재현의 법칙 이라는 생물학적 원리에 따른 형식적인 관점으로 개인의 특성에 따른 학습요인을 고려하지 않고 고정된 교재구조를 주장한다는 점에서 비판의 여지가 있는바,Freudenthal은 수학의 역사적 발생과정은 수학화 과정의 패러다임이지만 이를 학습자의 현재의 정신구조에 연결시켜 수정해야 한다며 어린 학습자가 재현하는 을 가정하고 학습자의 현실로부터 수학화 경험을 시킴으로써 현실을 수학적 수단으로 조직하는 지혜를 덜게 하려는 것이다. 수학화는 소음이 있는 현상 가운데 그 정리수단인 본질을 찾는 것이다. 따라서 무엇보다도 학습자의 현실상황을 수학화하는 경험으로부터 출발하여 점진적인 수학화 과정을 재발명시키고자 풍부한 문맥과 반성적 사고를 강조한다. 수학화를 지향한 교육에서 문제와 문제해결 활동은 당연히 제기되게 된다. 문제는 상황에서 제기되고 발생해야 하며 아동은 상황에서 문제를 인식하는 것을 학습해야 한다. 따라서 상황과 문제, 문제해결 활동은 수학화에 없어서는 안 되는 국소적 수단이 된다. 이러한 입장에서 보면 먼저 수학을 배운 다음 실세계에 적용한다는 생각은 잘못된 관점이며 실세계의 문제를 먼저 생각한 다음 수학화해야 한다.Freudenthal은 기성의 완결된 수학의 체계는 소음 이 제거된 추상적인 빈약한 구조에서보다 풍부한 구조로 나아가는 위계조직을 이루고 있는 바 이러한 기성 수학을 그 조직방향에 따라 구체적으로 번역한 학교수학의 하향식 구성은 반 교수학적 전도이며 그에 따른 지도는 학습자의 안목이 되기 어려우며 발전적 조작 가능성을 갖기 어려운 지식이 된다고 비판한다. Freudenthal은 소음이 있는 현실의 조직화 수단인 본질로서 수학이 학습되기를 기대한다. 현실과의 관련성이 적재된 수학의 학습보다 학습자에게 수학의 영향을 지속적으로 끼칠 수 있는 나은 다른 접근방법은 없다는 것이다. 수학적 개념, 관계, 구조로 정리될 필요가 있는 현실서 출발하여 그 정리수단인 본질로서 수학을 학습하도록 해야 한다는 것이다.수학이 응용되려면 실제상황에서 수학을 응용하는 경험이 제공되어야 한다. 전통적인 산술교육이 수학교육의 바른 길을 제시해 준다. 현실과의 관계가 적재된 수학을 가르쳐야 한다면 관련된 부분이 수학이건 물리학이건 생물학이건 일상생활이건 학교수학은 관련된 현실과 맺어져야 한다.수학자는 학생이 수학을 학습할 뿐만 아니라 그것을 적용하는 방법을 학습하도록 해야 한다. 판이다.

자연과학| 2005.06.27| 13페이지| 1,000원| 조회(988)

학습지도, 수학화, 프로이덴탈

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[수학사] 해석학의 발달

해석학 (解析學 - analysis)★ 미적분학과 그 발전된 것으로서의 미분 방정식론 ·함수론 등 주로 함수를 다루는 수학의 한 분야로 미적분학은 17세기 I.뉴턴과 G.W.F.라이프니츠에 의해 발견되었는데, 이는 당시의 자연과학에 응용을 목적으로 이루어졌다. 따라서 그 창시자들과 그 이후의 L.오일러, J.L.라그랑주, P.S.라플라스 등도 그 기초를 깊이 연구하기보다는 계산기술로서 발전시키게 되었다. 19세기에 들어와서야 비로소 그 기초연구에 주목하게 되었고, A.L.코시는 함수의 정의를 규명하여 미분가능성을 정의하였고, 복소수의 함수에서 미분가능인 것을 해석함수라 하여 현재의 함수론을 확립하였다.또 J.W.R.데데킨트는 미적분학의 기초인 실수의 개념을 깊이 고찰하여 그 연속성을 밝혔다. G.칸토어는 집합론을 발표 정수·유리수·대수적 수·무리수 등의 본질을 밝혔다. 이와 같이 데데킨트, 칸토어, D.힐베르트 등의 영향 하에 실수의 이론, 그리고 이 위에 세워진 미적분학, 일반 해석학이 확립되었다. 현재의 해석학은 그 범위도 분명해졌고, 내용도 풍부해졌으며, 깊이도 더하게 되어 오늘날 현대수학의 기초를 담당하는 수학의 한 분야가 되었다.Ⅰ. 해석학의 기원피타고라스는 수학을 하나의 교양 과목으로 확립했다고 여겨지나 플라톤은 그것을 정치가들의 교육 과정에 필수 과목으로 놓은 데 영향을 미쳤다. 어쩌면, 아르키다스에게서 영향을 받았을지도 모르지만 플라톤은 전통적인 네 과목에 새로운 한 과목, 입체구적법을 꼭 추가하고 싶었다. 이는 입체 기하학이 충분히 강조되지 않았다고 생각했기 때문이다. 플라톤은 또한 수학의 기초에 대해서도 논하고, 몇 개의 정의를 명확히 하고, 가정을 다시 고치기도 했다. 그는 기하학에서 사용하는 추론은 그려 놓은 실제 도형이 아니라, 이들 도형이 나타내는 절대적 개념에 적용된다고 강조하였다. 피타고라스 학파는 점을 위치를 갖는 단위 로 정의했으나, 플라톤은 점을 오히려 직선의 시작으로 생각했다. 직선은 그 위에 점이 고르게 놓여 있다. 는 개념과 마찬가지로 폭이 없는 길이 하는 직선의 정의는 플라톤의 학파에서 생긴 것 같다. 한편, 산술에서 플라톤은 홀수와 짝수의 구분을 강조했을 뿐만 아니라, 짝수 곱하기 짝수 , 홀수 곱하기 짝수 , 홀수 곱하기 홀수 를 분류하는 것도 강조했다. 이렇게 플라톤은 수학의 공리를 늘렸다고 하지만 그의 생각의 전제에 대한 설명은 남아있지 않다.플라톤이 이룩한 수학적 업적은 거의 없다. 보기를 들어, 피타고라스의 수에 관한 공식 (2n)²+(n²-1)²=(n²+1)² (n은 임의의 자연수)에는 플라톤의 이름이 씌어 있으나 이 식은 바빌로니아 사람과 피타고라스 학파가 이미 알고 있건 결과를 조금 고쳤을 뿐이다. 사실상 더 중요한 것은 이른바 해석학적 방법이 플라톤에서 시작되었다는 사실이다. 논증 수학에서는 보통 공리나 공준에서, 특별한 경우에는 가까운 문제 사항에서 논증을 시작한다. 여기서 한 걸음씩 나아가서 증명 가능한 명제에 이른다. 그에 대해서, 플라톤은 전제에서 결론에 이르는 추론의 연결이 분명하지 않을 때 그 과정을 뒤집는 것이 교수법으로 적합하다고 지적했던 것 같다. 곧, 증명 가능한 명제에서 출발하여, 성립되는 결론을 그것으로부터 연역하는 것이다. 따라서 일련의 추론 과정에서 각 단계를 뒤집을 수 있다면, 명제를 올바르게 증명하는 결과를 얻는다. 그러나 사물을 분석적으로 보는 것이 유효하다는 것을 처음으로 인식한 사람이 플라톤이었다고 생각되지는 않는다. 왜냐하면 어떤 문제를 미리 검토해 보는 일 자체가 이미 분석적이기 때문이다. 플라톤이 정말 하였다고 생각되는 것은 그 절차를 공식화한 것이거나 어쩌면 그것에 이름을 붙인 것이다.Ⅱ. 0극한의 개념0극한의 개념은 BC 400년 유클리드의 《기하학원론》에 나타나는 에우독소스의 원뿔·각뿔의 부피 구하기에서 비롯된 것이다. 초기의 수학자들은 곡성도형에 다각형을 내접, 외접시켜서 변의 수를 무한히 증가시켜 나아가려고 생각했던 것 같으나 그 당시에는 극한의 개념이 알려지지 않아서 그 논쟁을 어떻게 결론지어야 할 지 몰랐다. 아르키메데스에 따르면 오늘날 아르키메데스의 이름이 붙은 공이 -때로 연속성 공리라 한다.- 를 고안한 사람은 에우독소스라고 한다. 이 동이는 적분의 그리스 판이라도고 할 수 있는 착출법의 기초로 쓰였다. 이 공리는 비를 갖는 두 양이 있을 때, 어느 한 쪽을 정수 배 하여 다른 쪽보다 크게 할 수 있다 는 것이다. 이 명제에서는 당시 그리스에서 가끔 문제가 되었던 더 이상 나눌 수 없는 선분이나 무한소에 대한 모호한 논의는 피했다. 그것은 또 이른바 우연한 각, 곧 뿔 모양의 각 과 보통 각의 비교를 제외했다. 뿔 모양의 각은 0과 다른 양으로 생각되었으나, 직선으로 이루어진 각의 척도에 대해서는 에우독소스의 공리를 만족하지 못한다.베리법 으로 에우독소스의 공리로부터 그리스의 착출법의 기초가 된 명제를 증명하는 것은 쉽다.임의의 어떤 양에서 반 이상을 없애고, 그 나머지에서 그 밭 이상을 없애고, 이런 과정을 계속하면 결국에는 주어진 양에서 어떤 작은 양보다도 작은 어떤 양이 남을 것이다.착출성 이라는 이 명제는 유클리드 제10권 명제 1과 같은데, 현대식 표현으로 바꾸면, 어떤 양 M이 주어져 있고 그와 같은 종류의 양 ε이 있다면, r가 1/2 r＜1 일 때, 모든 n＞N에 대하여 M(1-r)ⁿ＜ε이 성립하는 양의 적수 N을 결정할 수 있다는 것이다. 곧, 착출성은 limM(1-r)ⁿ=0이라는 현대식 표현에 해당한다. 게다가 그리스인은 이 성질을 이용하여 곡선도형의 넓이와 부피에 관한 정리도 증명했다. 특히 아르키메데스에 의하면 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 원기둥 부피의 1/3이라는 사실을 처음으로 만족할 만하게 증명한 사람은 에우독소스라고 한다. 이런 진술을 통해서 보면 착출법은 에우독소스가 연역하여 이끌어 낸 것으로 생각된다. 만일 그렇다면, 원의 넓이와 구의 부피에 관한 정리에 대하여 유클리드가 제시한 증명은 에우독소스가 한 것이 될 것이다. 그 이전에 원의 넓이는 그 원에 정다각형을 내접시켜 변의 수를 한없이 늘려 착출될 수 있다고 쉽게 생각했다. 그러나 에우독소스의 착츨법을 통해 처음으로 엄밀한 절차가 만들어졌다. 에우독소스가 이 착출법을 실제로 이용했다고 생각되는 논법의 보기로서 원의 넓이의 비는 원의 지름 위의 각 정사각형 넓이의 비와 같다는 증명을 현대의 기호를 써서 나타낸다. 유클리드가 제 12권의 명제 2에서 제시한 증명은 아마 에우독소스의 증명일 것이다. 원 c와 C의 지름을 각각 d와 D, 넓이를 a와 A로 한다. a/A=d²/D²를 증명하고자 한다. 간접법에 의해 다른 가능성, 곧, a/A＜d²/D²와 a/A＞d²/D²이 성립하지 않음을 보이면 된다.먼저, a/A＞d²/D²이라고 가정한다. 그러면 a'/A=d²/D²를 만족하는 양 a'

자연과학| 2005.06.27| 11페이지| 1,000원| 조회(630)

수학사, 해석학, 수학의 발달

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[수질오염] 수질오염에 대해서

서론물은 지구상에서 가장 풍부한 물질로서 해양이 지구표면의 71%를 차지하고 있으며 인체 내에서도 약 70%가 물이다. 그 외 남·북극의 빙하와 강·호수의 형태로 존재하며 지하수나 대기중 수증기로도 다양하게 존재하고 있다. 물의 형태는 고체, 기체, 액체의 3가지 형태로 존재하며, 고체인 얼음의 밀도가 작아 액체의 물위에 뜨고 물의 높은 열용량 때문에 다른 물질에 비해 많은 양의 열에너지를 저장할 수 있다. 또한 수많은 종류의 물질을 녹일 수 있는 훌륭한 용매역할을 담당하는 특이한 성질을 지니고 있을 것이다. 따라서 이와 같은 제반적 특성이 지구의 생물계에 영향을 미치고 물의 고체, 액체, 기체상의 변화과정에서 에너지의 변환이 발생하는 특성을 갖게 된다.이와 같이 중요한 역할을 물의 오염에 대해 알아보고 그 대책에 대해서 알아보고자 한다.Ⅰ. 수질오염이란?깨끗한 자연수가 오염되는 과정은 여러 가지 용어로 정의될 수 있으나 일반적으로 정의되는 수질오염 현상은 수질오염의 정의는 오염물질이 물의 자연자정능력을 초과하여 자연수체내로 배출될 때 해당 수체가 이용목적에 적합하지 않데 된 상태를 말한다. 자연계의 물은 그 스스로가 유입된 오염물질을 물리화학적 및 생물학적 작용에 의해 정화할 수 있는 능력을 갖고 있으며 이러한 현상을 물의 자정작용이라고 한다. 따라서 수질오염현상은 해당 수체가 갖고 있는 자정능력 이상의 오염물질이 유입될 때 발생하는 것으로 옛날에는 인축의 배설물 속에 존재하는 병원성미생물 또는 기생충에 의해 발생하는 수인성 전염병이 심각한 수질오염현상이었고 최근에는 과다한 부패성 유기물질의 유입과 유독한 중금속으로 인한 수질오염현상이 상대적으로 심각한 실정이다. 특히, 우리나라의 경우 호수에서 무기물질의 과다유입으로 인한 생산성의 과대현상이 큰 수질문제로 대두되고 있다.Ⅱ.원인사람 삶 자체가 물을 오염시킬 수 있는 소지를 가지고 있다. 가정에서 쓰고 버리는 물과 화장실에서 나오는 물, 공장과 사업장에서 버려지는 물, 소, 돼지 등의 가축을 기르는 데서 나오 패전 후 비누의 원료인 유지를 공급받지 못하자 석유의 추출물로 합성하여 만들어 썼다는 것이다. 그 후 미국에서 더 개발, 상품화하여 지금은 거의 모든 나라에서 사용되고 있다.합성 세제는 다른 오염 물질과는 달리 물에 녹은 상태에서 미생물에 의한 분해가 어렵고 물 위에 거품이 생기게 되어 산소가 물 속으로 녹아 들어갈 수 없게 될 뿐 아니라 햇빛을 차단시켜 플랑크톤의 정상적인 번식을 방해하는 등 물을 오염시키기도 한다. 또 여기에 세척력을 높이기 위하여 넣는 '인' 은 인산염이 되어 부영양화 현상을 일으켜 물을 썩게 한다. 이 때문에 각국에서 인의 사용을 규제하고 있어 '무린세제'가 나오게 되었다.지금은 분해가 잘 된다는 식물성 세제가 널리 사용되고 있으나 물의 오염 시비는 여전하다. 주택가나 아파트 단지 인근의 하천에서 흔히 볼 수 있는 거품의 원인이 바로 이 합성 세제이다. 합성 세제의 지나친 사용은 물고기는 물론 미생물도 살지 못하는 죽음의 하천을 만드는 것이다.ⅱ.산업폐수수질오염에 대한 가장 큰 문제는 산업폐수에 있다해도 과언이 아닐 것이다. 산업의 다양화, 대규모화 등으로 인하여 각종 중금속을 비롯하여 하수보다 영향이 큰 고농도 유기성물질 고도의 처리를 요하는 난분해성 물질 등이 배출되기 때문이다. 이들은 대부분 기존의 하천, 호소 등 자연자정에 의하여 정화되지 않거나 자정에 오랜 시간이 소요된다. 중금속 함유 폐수는 생물농축이라는 순환사이클에 의해 결국 인간의 몸으로 되돌아와 무서운 환경질환 또는 공해병을 유발하게 된다. 현재 문제가 되고있는 주요업종은 피혁, 도금, 섬유, 화학공장 등으로 이들 시설에서 나오는 산업폐수는 중금속 등 유해화학물질을 함유하고 있으므로 특별한 관심과 노력을 기울여야 할 것이다.ⅲ.축산폐수경제성장과 더불어 축산물의 수요가 증가함에 따라 가축사육두수가 계속 증가하는 추세에 있으며 이러한 증가 추세는 앞으로도 계속될 전망이다. 특히 축산폐수는 발생량에 비해 수질오염 부하량이 매우 크므로 미처리 방류시 하천의 수질악화 및 호소의 질환의 본질은 먼저 카드뮴의 만성중독증에 의해 신세뇨관에 병변이 일어나, 그 재흡수기능이 저해되어 칼슘의 불균형으로 인하여 골연화증이 진행되어 결국은 사망에 이르게 되는 것이다.ⅱ.용수에 미치는 영향(1)음용수에 미치는 영향수질오염에 의한 상수원수의 수질 악화는 매년 증가하여 전국적으로 확장되고 그 원인도 다양화 되어가고 있다. 상수원수가 오탁된 때는 여과지의 폐색, 정수처리에 요하는 약품의 양이나 종류의 증가 등 정수기술상의 문제에서, 침전지나 여과지의 구조 혹은 취수기점의 부여양화에 의한 조류 등의 이상 발생에 기인한 문제 등 정수기술상 곤란한 문제가 증가되고 있다.(2)공업용수에 미치는 영향전체 공업용수 보급량 중 약 60%를 하천수 등의 지표수, 복류수에 의존하고 있으며, 그 용도는 원료용, 제품처리용, 세정용 등으로 사용되기 때문에, 하천수 등의 수질오탁은 특히 그 영향이 크다. 오염물질의 농도와 정도가 높을 경우, 관의 부식과 찌꺼기 부착 등으로 송수 및 배수능력과 냉각능률의 저하를 일으킬 수 있고, 염색 및 합금공정에 있다. 제품의 품질저하를 야기시킬 수 있다. 이 때문에 공업용수로 사용할 경우에는 수처리가 필요하고, 그 비용이 증대되는 문제가 있다.(3)농업용수에 미치는 영향농업용수의 오탁은 작물에의 직접피해 외에 토양의 이화학성질의 약화에 따른 토지 생산성의 저하, 농촌의 노동환경의 악화 등을 가져온다. 도시오수나 펄프공장, 전문공장 등의 배수에서는 유기물의 과다 및 질소분의 과잉 등에 의한 피해가 발생하고 화학공장이나 광산에서 배출된 무기배수에서는 산성 또는 알칼리성에 의한 고농도염류나 중금속의 과잉축적의 피해가 발생한다.ⅲ.수중생태계에 미치는 영향(1)부영양화 현상하천이나 호소에 유기물 또는 질소, 인 등 영양염류가 적당히 존재하면 희석, 침전, 생물분해에 의해 자연정화되지만, 과잉 공급되면 식물성 플랑크톤 즉, 조류의 이상 번식을 촉진하여 물색깔의 변화와 투명도 저하를 초래한다. 또 이들의 사멸에 의한 잔해는 하부에 침적하여 부패되거나 가미에 침착되어 호흡곤란을 유발시켜 죽게 한다.다. 이상증식한 조류들이 성장하면서 방출해낸 치명적인 독소에 의해 어패류의 사멸이 초 래된다.(3)녹조현상영양 염류의 과다로 호수에 녹조류가 대량으로 번식하여 물빛이 녹색으로 변하는 것을 녹조 현상이라고 한다. 일단 물에 유입된 영양 염류는 제거하지 않으면 수중 생태계의 물질 순환 구조 속에 계속 남아 있게 되므로, 녹조 현상이 자꾸 되풀이해서 나타나게 된다. 따라서 녹조 현상을 막기 위해서는 생활 하수를 충분히 정화하여 영양 염류가 바다나 호수로 유입되지 않도록 해야 한다. 한편 유입된 영양 염류를 제거하기 위해서는 물가에 뿌리를 내리고 사는 풀이나 나무를 강가나 호숫가에 심어 뿌리를 통해 물 속의 영양 염류를 흡수하게 해야 한다. 또한 우리나라의 서해안과 남해안에 발달한 갯펄은 육지에서 바다로 흘러 들어가는 물을 정화하는 구실을 하기 때문에, 녹조 현상의 예방과 해양 생태계의 보호를 위해서 갯펄을 보존해야 한다.(4) 용존 산소의 고갈여러 가지 유기질이 하천에 유입될 때, 그 오염효과는 다양하다. 예컨대 유류는 하천의 미관상 좋지 못한 뿐만 아니라, 수상에 퍼져서 엷은 막을 형성함으로써 공기중의 산소가 물 속에 용해되는 것을 방해한다. 그러므로 기름의 양이 과다하면 물고기는 질식한다. 만일 유기오염물이 대량일 때는 그 중 일부의 유기물에 의하여 용존 산소는 전부 소비되게 되는데 이러한 용존 산소의 고갈은 산소를 필요로 하는 동물 및 식물이 사멸하게 되어 궁극적으로 수중생태계의 파괴를 가져온다.Ⅴ. 우리나라 수질오염의 현황ⅰ.서해안의 수질오염본격적인 간척사업으로 서해안의 수질오염이 날로 심해 연안개펄에서 서식하는 어종의 생산량이 최대 80%까지 줄어드는 등 수산자원이 격감하고 있다. 97.11.10 군산대 박종수 교수(해양생산학과) 가 서해안의 연도별 수산물 판매량을 조사한 결과 밝힌 것이다. 조사결과에 따르면 각종 간척공사로 인한 해양 부유물질의 확산, 해수유동변화를, 해저 퇴적물의 이동 등으로 생태계가 심하게로 인근 바다가 오염된 데다 강우량이나 상류에서 흘러드는 수량이 적은 탓에 계속 썩은 물을 바다에 버리고 그 양만큼을 바닷물로 채우지 않는 한 수질개선이 불가능하다는 결론이 나온 바가 있다. 공단에서 나오는 오페수와 부실한 하수관로를 통해 흘러드는 생활하수로 인해 천문학적 돈을 들이지 않고서는 수질개선이 이루어지기 어렵기 때문이라는 것이다. 뿐만 아니라 시화지구는 공장터 수백만평을 주택단지로 조성해 고층아파트를 세웠던 것도 문제로 지적되었다. 이 지역 주민들은 기존의 공장들이 하루 7천여톤씩 배출하고 있는 납과 휘발성 유기화합물, 악위 등에 거의 무방비 상태로 노출되어 두통과 호흡기 질환을 호소하고 있다. 주거지역과 공단과의 거리가 가까워 대기오염으로 인한 피해가 더욱 심각한 상태다.ⅳ.지하수의 수질오염현재 우리나라는 연간 용수이용량의 12% 수준인 25억톤 가량의 지하수를 개발해 사용하고 있다. 그러나 물 부족현상이 심해지면서 지하수의 의존도는 계속 높아지고 있다. 물수요가 매년 급증하고 있으나 댐과 하천수의 개발과 이용에는 한계가 있어 언젠가는 우리 나라도 각종 용수의 부족량을 지하수로 충당하지 않을 수 없게 될 것이다. 서울시가 97. 3. 6 발표한 지하수 관리계획 용역 결과에 따르면 시내 1만 5천 51곳에 대한 지하수 수지검사 결과 음용수 수질기준에 맞는 속은 전체의 5.4%인 8백 15곳에 불과했다. 또한 오염이 덜 된 것으로 알려진 지하 1백 m이하의 암반수도 먹는 물로 쓰기 위해 뚫은 1백 88곳 중 절반이 넘는 1백 10곳이 음용수 기준을 벗어난 오염된 물로 나타났다. 음용수 목적으로 뚫은 지하 1백 m이내의 지하수 가운데 3분의 2 가량은 마실 물로 부적합해 생활, 농업, 공업용수 등 다른 용도로 사용되야 할 것으로 조사됐다. 또 그 3분의 2가량 중에서도 16%는 허드렛물로도 사용할 수 없다는 충격적인 결과가 나왔다. 이와 같은 오염은 90년대 이전에 개방된 지하수가 대부분 지하 30m 이내에 위치해 오염원에 노출돼 있고 5m에 한곳 꼴로다.

자연과학| 2005.06.27| 8페이지| 1,000원| 조회(973)

수질오염, BOD, COD, 우리나라 오염

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[수학학습이론] 브루너의 수학학습이론 평가D별로예요

♠ Bruner의 수학 학습 심리학 ♠브루너(Bruner)의 지식의 구조라는 개념은 다양한 지식 중에서 어떤 것을 선정할 것인가 하는 문제에 해답을 줄 수 있다. Bruner의 말처럼, 지식의 구조 는 한 교과를 이루고 있는 기본개념과 원리 를 가리키며, 이것을 배우면 학생들은 교과를 쉽게 배우고 전이와 기억을 촉진시킬 수 있으므로, 핵심이 되는 것만을 선정해서 가르치면 되기 때문이다.Ⅰ. Bruner의 발견학습이론Bruner는 개념화란 유목화를 말하고, 유목화란 같은 성질의 개념을 한 곳에 분류한다는 것을 의미하며, 사고한다는 것은 이렇게 형성된 개념간의 관계를 파악하거나 개념을 유형화시키는 것을 의미한다고 보았다. 인간은 성장함에 따라 주위의 세계를 이해하는 능력이 확대되기 때문에, 이 이해의 확대는 개념화 능력의 확대를 이루는 것이다. 따라서 Bruner의 학습이론은 개념화 이론 또는 개념획득 모형이라 부르는데, Bruner 자신은 '유목화 이론'이라고 하여 학습 및 수업방법에서 발견방법을 권장했다. Bruner의 연구업적 중 비교적 통합된 이론의 적용을 보여주는 것은 개념화 과정과 지각에 관한 것이다.1. 개념형성과 획득을 위한 이론적 전제.(가) 독립변인 (나) 매개변인 (다) 종속변인{개인 주위의 환경{{1 개념화 능력2 지각과정3 내적동기{{1 개념2 기본분류체계3 구조4 성취감인지이론가인 Bruner는 인간의 내적 과정, 특히 지각과정과 개념화 과정에 많은 관심을 쏟았다. 이러한 관심은 발견학습으로 나타났다. Bruner의 발견적 수업이론을 구성하는 독립변인은 개인을 둘러싼 환경이 되고 매개변인은 개념화 과정이 되며, 종속변인은 개념·유목·기본 분류체계, 구조라고 할 수 있다.Bruner는 최소한의 학습의욕, 지식의 구조, 계열 및 강화의 방법의 네 측면을 효율적인 수업이론의 요소로 보았다. 이 네 가지 요소를 가장 이상적으로 조작할 수 있는 수업방법은 발견학습 또는 탐구훈련의 형태이다.2. 학습의욕Bruner가 교수활동에서 가장 중요시하는 것은 제시할 것.둘째, 탐색의 경향을 계속 유지하기 위해서는 가능성을 탐색해서 얻는 이득이 실패에서 오는 위험부담률보다 커야 하며 학습 분위기가 수용적이어야 한다.셋째, 가능성 탐색의 방향감을 주기 위해서는 학습과제가 어떤 목표를 향해 나아가고 있 다는 점과 진행 중인 학습활동이 그 목표와 관련된다는 것을 학생들이 알아야 한다.Bruner가 말하는 학습의욕이란 넓게 해석하면, 지적 활동에 대한 태도 또는 차라리 '지적 활동관'이라고 볼 수 있을 것이다. Bruner 자신은 학습에 내재하는 흥미는 여러 가지 외적 요인의 조력이 있어야 형성된다는 점을 인정하면서도 학습자의 내부에서 우러나오는 흥미 또는 의욕을 더 강조하고 있다. 그리고 학습의욕은 학습이 이루어지게 하는 동안으로 학습자가 학습 그 자체에서 만족을 느낄 때 학습이 잘 이루어지는 것이다.3. 계열학생들의 학습내용을 이해, 변형, 전이하는 데 도움이 될 수 있도록 학습과제를 순서대로 조직, 제시한 원칙을 말한다. 이것은 일괄적으로 해답될 수 있는 문제가 아니며 학생들의 선행학습, 발달단계, 자료의 성격, 개인차 등을 고려하여 실제적으로 해결되어야 할 것이다.Bruner는 학습의 계열이 대체로 작동적·영상적·상징적 표현의 순서를 따라야 한다고 보고 있다. 학습과제를 어떤 순서로 제시하는 가 하는 문제는 '가능성의 탐색경향'을 촉진하는 문제로서, 교수장면에 '적절한 수준의 불확실성'이 계속 유지되도록 학습과제의 제시 순서가 결정되어야 할 것이다.4. 강화학습은 결과에 대한 지식이 제공되고 교정적 지식이 이용되는 때와 장소에서 효과적이다. 강화가 효과적인 것은 자기 학습의 결과를 확인하고 거기서 만족을 맛보는 내적강화이기 때문이다. Bruner는 내적 동기를 자주 부여할 수 있는 결과에 대한 지식은 그 시기와 형태에 따라 다음과 같이 차이가 있다고 했다.1 가능한 한 학습단위가 끝나는 단계에서 학생 자신이 세운 가설 시행과정을 확인하여 사용해야 한다.2 학생이 자기의 학습결과에 대해 지나치게 초조하고 있는 상태에활용되는 가장 직접적인 경로는 학생 스스로가 자기 학습의 결과를 확인하고 거기서 만족(또는 불만족)을 맛보는 것이다. 이것이 소위 '내적 보상'이라는 것이다.5. 지식의 구조브루너는 자신의 저서 교육의 과정(The Process of Education, 1963) 을 통하여 학교에서 지식의 구조를 지도할 것을 주장하고 있다. 브루너가 말하는 지식의 구조란 각 학문의 기저를 이루고 있는 핵심적인 개념과 원리 , 즉 단순한 사실들이나 잡다한 현상에 대한 정보가 아니라 이러한 사실이나 현상을 서로 관련짓고 체계화하는 주요 개념이나 원리이를 말하는 것으로, 학습과제는 학습자의 발달단계나 능력수준에 관계없이 학습자가 조작하고 포착할 수 있도록 조직되어야 한다는 것이다. 이를 위하여 Bruner는 세 가지 특성으로 표현양식, 경제성, 그리고 생성력을 열거했다.★ 표현양식Bruner는 "어떤 교과내용이든지 그 내용의 지적 성격에 충실한 형태로 어떤 발달단계에 있는 어떤 아동에게도 가르칠 수 있다고 하여 표현양식은 어떤 영역의 지식도 다음과 같은 세 가지 방법으로 나타낼 수 있다고 했다. 즉, 어떤 결과를 달성하는 데 적절한 활동으로 나타내는 활동적 표상, 개념을 충분히 정의하지 않고 어떠한 상이나 공간 쉐마를 사용해서 표현하는 감각적 표상, 진정한 내면화, 즉 언어라는 사고의 도구를 활용하면서 학습한 것의 어의적인 의미를 획득하여 진정한 자기 것으로 만드는 상징적 표상이 있다.Bruner가 주장하는 지식의 구조화에 대한 명제를 살펴보면 다음과 같다.첫째, 어떤 관념이나 문제 또는 지식체도 특정학습자가 충분히 이해할 수 있도록 단순화시켜서 제시할 수 있다.둘째, 어떤 영역의 구조도 표현양식, 경제성 및 효과적인 힘이라는 세 가지 방법으로 특징지울 수 있다. 이것은 학습자의 연령, 학습양식, 학습과제에 따라 달라진다.셋째, 어떤 영역의 지식도 활동적·감각적(영상적)·상징적 방법으로 표상해 낼 수 있다. 넷째, 어느 정도까지 경제적이고 단순한 표상화가 가능한 것인지는 지식의 영를 가리킨다. 생성력은 표현양식과는 별개의 것으로 양적인 측정을 하기도 어렵다.이처럼 지식의 구조를 지도하게 되면 다음과 같은 네 가지 이점이 있다·기본적 사항을 이해하면 내용을 훨씬 쉽게 파악할 수 있다.·세세한 사항은 구조화된 패턴 안에 들어 있지 않으면 쉽게 잊어버린다.·기본적인 원리나 아이디어를 이해하는 것은 적절한 훈련의 전이를 가능하게 하는 가장 주된 방법이다.·초등 학교와 중·고등 학교에서 가르치는 학습자료가 어떤 기본적인 성격을 나타내고 있는가를 끊임없이 재조사함으로써 고등 지식과 초보적인 지식 사이의 간격을 좁힐 수 있다.이러한 네 가지 이점 중에서 처음의 세 가지는 각각 구조를 통하여 그 지식을 이해, 기억, 적용 할 수 있도록 가르친다는 것을 의미하는데, 이는 그 동안 우리가 교욱에서 일반적 개념과 원리 를 가르쳐 왔다는 점에서 새로운 것이 아니다. 가장 중요한 것은 네 번째 이점으로, 브루너가 주장하고 있는 것은 지식의 최전선에서 새로운 지식을 만들어 내는 학자들이 하는 일이나 초등학교 3학년 학생이 하는 일이나를 막론하고 모든 지적 활동은 근본적으로 동일하다. 는 것이며, 지식의 구조를 가르친다는 것은 곧 지식을 가르치되, 학생들로 하여금 그 지식 분야에 종사하고 있는 학자들이 하는 일과 본질상 동일한 일을 하도록 하는 것을 의미한다.위의 주장을 통하여 브루너가 제시하는 수학교육의 목적은 수학적 안목의 형성 이다. 교육에서 다루어야 할 것은 수학에 대한 것 이 아니라 수학 그 자체 이고, 수학자들이 하는 일을 학생들이 경험해야 하며, 이를 통하여 학생들에게 수학자들이 수학을 통하여 현상을 바라보는 안목을 길러 주어야 한다고 본다. 여기서 문제가 되는 것은 아동에게 수학의 구조를 지도할 수 있는가 하는 것인데, 이에 대하여 브루너는 어떤 교과 내용이든 어떤 발달 단계에 있는 어떤 아동에게든 어떤 지적으로 정직한 형태로 효과적으로 지도할 수 있다 는 가정으로 시작하여, 아동이 갖고 있는 사고 양식과 아동이 이해할 수 있는 표현 수단에 대응되S 이론아동의 지능의 발달은 활동적(enactive) 표현, 영상적(iconic) 표현, 상징적(symbolic) 표현의 순서로 이루어지는 표현 수단의 발달과 그 사이의 조정 능력의 발달을 의미한다.활동적 표현은 적절한 운동적 반응을 통하여 표현하는 것으로, 구체적 조작기까지의 아동에게 지배적인 역할을 하게 되며, 아동의 인지 발달과 더불어 내면화되어 간다. 예를 들어, 5개 검은 바둑알에 대하여 동일한 개수의 흰 바둑알을 제시하거나, 사물의 개수를 나타내기 위하여 색칠을 하거나 스티커를 붙이는 행동은 모두 자연수에 대한 활동적 표현이며, 구체물을 합치거나 분리하는 행동은 자연수의 덧셈과 뺄셈에 대한 활동적 표현으로 볼 수 있다.영상적 표현은 도식을 이용하여 표현하는 것으로, 수도(數圖)를 이용하여 수를 나타내는 것은 자연수에 대한 영상적 표현이며, 벤 다이어그램은 집합에 대한 영상적 표현이고, 여러 가지 함수의 그래프는 함수에 대한 영상적 표현이다.상징적 표현은 언어 능력의 발달과 더불어 나타나는 것으로, 피아제의 발달 단계 이론으로는 구체적 조작기까지는 구체물과 관련되어 가능하며 순수하게 상징적 표현만을 다루는 것은 형식적 조작기에서 가능하다. 숫자 표현은 자연수에 대한 상징적 표현이며, 덧셈식이나 뺄셈식은 덧셈과 뺄셈에 대한 상징적 표현이다.EIS 이론을 통하여 브루너가 가정하고 있는 것은 수학의 어떠한 지식도 세 가지 표현 양식으로 나타낼 수 있으며, 각각의 양식에 알맞은 아동의 수준에 따라 지도할 수 있다는 것이다. 그리고, 브루너는 이를 입증하기 위하여 이차식의 완전 제곱 을 8세 아동에게 지도한 사례를 언급하고 있으며 결과적으로 아동들은 다음과 같은 식을 쓰는 데 성공하였다고 한다.{x^□ +2x+1 = (x+1)(x+1){x^□ +4x+4 = (x+2)(x+2){x^□ +6x+9 = (x+3)(x+3)하지만, 넓이 관계에 따라서 아동이 위와 같이 표현하였다고 해서 아동이 이차식의 완전 제곱에 대한 구조를 파악했다고 볼 수 있는지는 다소 의문스럽다이다.

자연과학| 2005.06.27| 7페이지| 1,000원| 조회(983)

브루너, 발견학습이론, EIS이론

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