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[회로이론실험] 마이너스 실수축 극점들을 갖는 2차회로의 계단 응답

16장 마이너스 실수축 극점들을 갖는 2차 회로의 계단 응답1. 실험목적마이너스 실수축 극점들을 갖는 2차 시스템의 계단 응답을 실험을 통해 이해한다.2. 기기 및 부품기기 : 오실로스코프, 함수 발생기부품 : 저항기 - 200Ω인덕터 - 100μH커패시터 - 10n, 47nF, 100nF3. 예비지식{그림 1그림 1에 보인 회로의 전달 함수를 구하면,T(s) = {{ Vo(s)} over {Vi(s) }= {{1 / LC} over {s²+ s(R / L) + (1 / LC) }이다.R 》2{SQRT { (L/C)}일 때는 이 회로의 극점들이 마이너스 실수축상에 존재하며, 회로의 단위 - 계단 응답은 다음과 같이 주어진다.ν0(t) = 1 + {{1} over {α₂ - α₁}(α₁e-α₂t - α₂e-α₁t), (α₂≠ α₁, t 0)여기서 -α₁과 -α₂는 마이너스 실수축상에 존재하는 극점들을 나타낸다.α₁ = {{ R} over {2L } - SQRT { ({ R} over {2L })²- { 1} over {LC } }, α₂ = {{ R} over {2L } + SQRT { ({ R} over {2L })²- { 1} over {LC } }이다.두 극점의 조건이 α₁ = α₂,α₁ ( 1/16)α₂, 그리고 α₁ (1/37)α₂일 때, 계단 응답의 결과가 각각 다르게 나타난다는 사실에 유의하기 바란다.{{{T(s)={{ { a}_{ 2 }{ s}^{ 2} + { a}_{ 1}s+ { a}_{ 0} } } over { { s}^{ 2} + { b}_{ 1} + { b}_{ 0} }마이너스 실수축상에 존재할 때의 계단 응답{{{T(s)={{ { a}_{ 2 }{ s}^{ 2} + { a}_{ 1}s + { a}_{ 0} } }over{(s +{α}_{1 })( s +{α}_{2 })}{{{{T(s)={{ { a}_{ 2 }{ s}^{ 2} + { a}_{ 1}s + { a}_{ 0} } }over{ { (s+α)}^{2 }+β}마이너스 실수축상에 극점들을 갖는 2차 시스템의 단위 - 계단 응답을 구하면 이 경우의 전달 함수는T(s) = {{ a₂s²+a₁s+ { a}_{0 } } over {(s+α₁)(s+α₂)}으로 표현된다. 입력이 단위 - 계단 함수이므로, 입력의 라플라스 변환은 1/s이다. 따라서, 주파수 - 영역 응답은R(s) = {{ 1} over {s } { {a }_{2 } {s }^{2 }+ { a}_{1 }s+ { a}_{0 } } over {(s+ { α}_{1 })(s+ { α}_{2 }) }가 될 것이다. α₁ α₂일 때의 이 식의 부분 - 분수 전개는R(s) = {{ { K}_{0 } } over {s }+ { {K }_{1 } } over {s+ { α}_{1 } }+ { {K }_{2 } } over {s+ { α}_{2 } }r(t) = {{ { a}_{0 } } over { { α}_{1 } {α}_{2 }}+ { 1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}[( { { a}_{2 } { α}`_{1 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{1 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } }) { e}^{-α1t }- {({ { a}_{2 } { α}`_{2 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{2 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{2 } } ){ e}^{-α12 }](α₁ α₂, t ＞ 0)이 방정식은 t ＞ 0 에 대한 응답을 나타낸다. t ＜ 0에 대한 응답은 0이다. 왜냐하면, t = 0 이전까지는 이 시스템이 죽어 있었다고, 즉 입력이 없었다고 가정했기 때문이다.(초기 조건이 0이 아닌 경우는 나중에 다룰 것이다.)t = 0+에서 응답은r(0+) = {{ { a}_{0 } } over { { α}_{1 } {α}_{2 }}+ { 1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}( { { a}_{2 } { α}`_{1 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{1 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } })- {({ { a}_{2 } { α}`_{2 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{2 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{2 } } )= a₂= T(s) ｜s=∞이다. 여기서 s = ∞ 에서의 전달함수 , 즉 T(∞)에 응답이 초기(t = 0+)값을 결정한다는 점에 주목하기 바란다. 만약에 a₂ 0 이라면, 응답은 t = 0에서 0으로부터 a₂까지 점프할 것이다. 한편, 만약에 a₂ = 0이라면, 응답은 t = 0에서 연속일 것이고, 우리는r(t) = {{ { a}_{0 } } over { { α}_{1 } {α}_{2 }}+ { 1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}[( { { a}_{2 } { α}`_{1 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{1 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } }) { e}^{-α1t }식을 t =0에 대해서도 적용할 수 있을 것이다.극점들이 마이너스 실수축상에 존재하므로, t = ∞에서의 응답은r(∞) = {{ {a }_{0 } } over { { a}_{1 } { a}_{2 } }= T(s) ｜s=0이 될 것이다. 이 식으로부터 우리는 s= 0에서 계산한 전달 함수 즉 T(0)가 응답의 최종(t = ∞)값을 결정한다는 것을 알 수 있다.r(t) = {{ { a}_{0 } } over { { α}_{1 } {α}_{2 }}+ { 1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}[( { { a}_{2 } { α}`_{1 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{1 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } }) { e}^{-α1t }식으로부터 알 수 있듯이, 이 응답은 다음의 세 항들(파형들)의 합으로 구성된다.1. {{ {a }_{0 } } over { { a}_{1 } { a}_{2 } }로 특성지어지는 직류항2. {{ 1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}( { { a}_{2 } { α}`_{1 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{1 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } }) { e}^{-α1t }로 특성지어지는 지수항, 이 지수항은 τ = 1/α₁초 의 시정수를 갖는다.3. {{ -1} over { {α}_{2 }- {α}_{1 }}[( { { a}_{2 } { α}`_{2 } ^{2 }- { a}_{1 } { α}_{2 }+ { a}_{0 } } over { { -α}_{1 } }) { e}^{-α2t }로 특성지어지는 또 다른 지수항, 이 지수항은 τ₂ = 1/α₂초의 시정수를 갖는다.

공학/기술| 2004.11.18| 4페이지| 1,000원| 조회(719)

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