수학교육론 개별과제 oooooo과 2004000000 OOO제출일 : 2006/10/10/화학습지도안고등학교 2학년 수학Ⅰ무한등비급수의 수렴 ? 발산=……상세 대상고려고등학교 2학년 4반상세 단원Ⅳ. 수열의 극한2. 무한급수(2) 무한등비급수Ⅰ. 학습 단원고등학교 2학년 수학Ⅰ 교과서 中대단원 : Ⅳ.수열의 극한중단원 : 2.무한급수소단원 : (2)무한등비급수 - 정의와 수렴?발산Ⅱ. 학습 목표무한등비급수의 개념을 이해하고, 등비수열 합의 연장이라는 것을 파악한다.첫째항와 공비에 의해 결정되는 수렴과 발산을 스스로 판단한다.수렴하는 경우, 수렴 조건의 이유에 대해서 이해한다.도형과 연관되어 출제된 문제를 무한등비급수와 스스로 연결할 수 있다.Ⅲ. 학습 방향▶ 이 수업의 전제조건 : 앞 단원에 나오는 수열의 의미, 수열의 합(∑), 등비수열의 합 공식 그리고 무한대의 의미를 학생들이 이미 배우고 충분히 이해하고 있다고 가정한다.▷ 수업 과정, 실습 준비물 : 색종이 한 장, 가위도입 : 무한등비급수의 의미를 배우고 그 합을 예측해본다.전개 : 수렴과 발산의 경우를 알아보고, 간단한 실습을 통해 이해를 돕는다.평가 : 배운 내용을 실전 문제를 통해 복습한다.정리 : 배운 내용을 공식과 함께 정리한다.반성 : 학생들의 질문을 받고 수업을 되돌아본다.Ⅳ. 학습 지도안구분학습 내용교수 - 학습활동기타교 사학 생도입§무한등비급수 정의: 첫째항이(≠0), 공비가인 무한등비수열의 각 항의 합으로 이루어진 무한급수를 말한다.…? 앞서 배운 내용인 등비수열과 무한급수의 의미를 다시언급하며 등비수열이 무한대로 더해질 경우인 무한등비급수를 설명해 준다.? 등비수열을 무한대로 더한다는 의미인 무한등비급수를 파악하고 그 결과가 과연 어떤 형태가 될지 추측한다.개념파악전개§무한등비급수의 수렴＝0일 때,무한등비급수은수렴하고 그 합은 0이다.≠0일 때,무한등비급수은< 1 일 때 수렴하고,합은이다.☞ 등비수열의 합 공식 이용이 됨을 알려준다.? 이해를 위한 설명…☞ 처음에 16들어있는 항아리에서 처음에는 8, 두번째는 4이렇게 절반씩 퍼내다 보면, 퍼내는양은 8,4, 2, 1,0.5,0.25,0.125,0.0625…라는 식으로 계속 적어지지만 끝이 없는 작업이 된다.?()이 때 퍼낸 물의 합계는 당연히 처음 들어 있던 물의 양인 16가 되고 이것은 8+4+2+1+0.5+0.25+…=16와 같게 된다.8+8×+8×()+8×()+…+8×()=8×에서이면 16? 항아리에서 물을 절반씩 퍼내어 가는 예를 통하여< 1인 경우에이 됨을 이해하고 결국 무한등비급수의 합이임을 파악한다.? 이해가 되지 않는부분에 대해서는 주저 없이 질문한다.내용정리이해실습§무한등비급수의 발산≠0일 때,무한등비급수은? 1 일 때 발산하고,합은 없다.①＝ 1일 때,…가 되므로＞0이면,＜0이면 -가 되어 발산한다.②> 1 일 때,=가 되므로＞0이면,＜0이면 -가 되어 발산한다.③? -1일 때,은 진동하므로,은 발산한다.☞또는 진동할 수 있음을 이해한다.…? 하나의 도형에서부터 시작하여 두개, 네 개, 여덟 개… 이렇게 계속 두배로 늘려가며 쌓여지는 상자를 예로 들어? 1 일 경우 끊임없이 높아짐을 설명한다.? 그동안 앞에서 배웠던 무한수열을 바탕으로을 ①②③의 세 가지 경우로 나누어 각각을 자세히 설명한다.? 계속해서 쌓여가는 상자의 예를 보며 발산하는 무한등비급수를 이해한다.?에 따라 나누어 생각하는 이유를 파악한다.? 이해가 되지 않는부분에 대해서는 주저 없이 질문한다.§한없이 계속되는 도형에서의 합(1)한없이 계속되는 성질을 이용하여 첫째항와 공비를 구한다.(2)무한등비급수의 합의공식에 대입한다.☞ 간단한 실습을 통한 이해: 색종이로 만든 삼각형을가지고 실습을 한다.? 색종이를 이용하여 무한등비급수의 개념과 함께 한없이 계속되는 도형에서의 합을 이해할 수 있도록 지도한다.? 중간 중간 나오는 중요한 개념을 꼭 집어준다.? 실습을 통한 이해☞ 색종이를 준비하여 위의 그림처럼 두 변이 같은 직각 이등변삼각형으로 자른다.그 후의 중간을 다시 자른다. 다시 남은 절반의 삼각형에서의 중간을 자른다.이런 과정을 끊임없이 반복하면 결국 너무 작아 자를 수 없게 된다.?()그리고 이 삼각형들의 면적의 합을 알기 위해서 자른 삼각형을 다시 한데 모아놓으면 처음 삼각형이 된다. 이것은 자른 삼각형들을 합치면 처음 삼각형의 넓이와 같다(무한등비급수의 수렴)는 것을 이해한다.평가§무한등비급수 문제1. 무한급수의 합은?①②③④⑤2. 무한등비급수이 수렴할 때, 다음중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?①②③④⑤3. 다음 그림은 정사각형과 사분원을 교대로 서로 내접하게 계속 그려간 것이다. 이와 같이 무한히 계속 반복할 때, 정사각형들의 넓이의 합을 구하여라. (단, 처음 정사각형의 한 변의 길이는 1이다.)4. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 각 변의 중점을 이어 두 번째 정사각형을 만들고, 다시 이 정사각형의 각 변의 중점을 이어 정사각형을 만든다. 계속하여 다음 그림과 같이 정사각형을 만들어 갈 때, 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.§문제 풀이1.=2.이 수렴할 조건은이므로①=+(수렴)②=-(수렴)③=(수렴)④에서이므로 수렴⑤에서이므로반드시 수렴한다고 할 수 없다.3.번째 정사각형의 한 변의 길이를이라 하면이고, 다음 그림에서이므로은 공비인 등비수열이다.따라서 정사각형의 넓이의 합은 첫째항,공비인 무한등비급수를 이루므로 그 합은4.번째 정사각형의 둘레의 길이를이라 하면이고,이므로 구하는 둘레의 길이의 합는§해결 방법? 문제 해결 포인트1. 수렴하는 무한등비급수임을 파악하여 공식을 이용하여 답을 구한다.2. 무한등비급수의 수렴조건을 이용하는 문제이다. 수렴조건을 알고 있다면 답을 쉽게 구한다.3.4. 도형을 활용한 문제이다. 도형과 무한등비급수를 연결 시킬 수 있다면 쉽게 답을 구한다.? 바로 전에 배운 개념을 충분히 이해하고 실전 문제에 적용 할 수 있다.? 모르는 문제가 있더라도 물어보기 전에 스스로 개념을 읽고 더 깊이 생각하여 본다.? 주어진 시간에 스스로 문제를 다 푼 후에 설명을 듣는다.? 수렴하는 무한등비급수라는 것을 파악한 후에는 첫째항과 공비를 바로 구한다.? 방과 후 교과서에 나와 있는 다른 문제로 복습을 꼭 한다.
![[학습지도안]수학 학습지도안 - 수학1 무한등비급수의 수렴과 발산](https://image4.happycampus.com/Production/thumbnail/2006/12/17/data4254199-0001.jpg)
