중력장에서 물체의 운동(Projectile Launcher)1. 실험이론Projectile이란 지상의 대기 중으로 던져진 물체를 말한다. Projectile Motion은 2차원 운동에 속하며, 이 운동은 수평성분, 수직성분으로 나눠질 수 있다. Projectile은 수직 방향으로는 중력의 영향을 받고, (공기저항을 무시한다면) 수평방향으로는 힘을 받지 않기 때문에 포물선 모양의 궤적을 그리며 운동을 한다.(방향 부호 설정 : 수직방향에 있어서 아래쪽을 -부호로 설정함)수평 성분수직 성분힘x아래 방향으로 중력가속도x-9.8㎨속도일정매 초 -9.8㎧ 씩 변함1) Projectile Motion 요약2) 수식으로 Projectile Motion을 정리물체를 θ의 각도로 발사하였을 때, 물체는 포물선을 그리며 운동을 할 것이다.v= sqrt {v _{x} ^{2} +v _{y} ^{2}}이 될 것이다. 수평성분, 수직성분을 나눠서 생각해 보면,수평 성분수직 성분v _{x=} v _{0} cos theta v_{ y}=v_{0}sin theta-gtx=v _{0} cos theta ty=v _{0} sin theta t- {1} over {2}gt^2그리고 x와 y의 관계를 알아보기 위해t= {x} over {v _{0}cos theta }를y=v _{0} sin theta t- {1} over {2}gt^2에 대입해보면,y=tan theta x- {g} over {2v _{0}^2cos^2 theta }x^2이 나오므로,x는y에 대한 이차방정식의 형태로 표현될 수 있음을 알 수 있다. (포물선의 방정식)3)부가적인 수식 유도· 최고점까지의 도달시간을 t라고 한다면, 최고점에서의v_{y}=0 이므로t= { v_{o}sin theta } over {g }이고, 따 라서 체공시간은2t= {2v _{0} sin theta } over {g}이 된다.· 수평도달거리 R은v _{x}의 속력으로2t초만큼 간 거리이므로R= {2v _{0} sin theta cos theta } 반복한다.1)방법 측정 결과(단위 : ㎧)V1V2V3V4V5V평균1단계3.02113.00302.99403.03033.03033.01572단계4.58724.67294.67294.67294.67294.65583단계6.45166.49356.53596.49356.53596.50212)방법 측정 결과1회2회3회4회5회평균1단계거리(cm)66.966.466.266.263.8시간(s)0.22280.21780.21680.21790.2072속력(m/s)3.00273.04873.05353.03813.07923.04442단계거리(cm)111.0111.0111.9113.6108.0시간(s)0.24190.23720.24320.24530.2323속력(m/s)4.58874.67964.60124.63114.64924.62993단계거리(cm)148.2160.5159.4154.0152.6시간(s)0.23230.25490.25130.24440.2295속력(m/s)6.37976.29666.34306.30116.64926.3939(낙하시간(s)의 경우 이론값을 알 수 있다. 발사되는 공의 높이가 지면으로부터 26.8cm 높이에 있으므로,t= sqrt {{2h} over {g}} 에 h=0.268m, g=9.8㎨ 을 대입하면 t=0.2339s가 나온다.)1)방법의 속도 표준편차2)방법의 속도 표준편차1단계2.0019×10?²2.7798×10?²2단계3.8326×10?²3.6623×10?²3단계5.1725×10?²1.4667×10?¹위의 표준편차를 보면, 1단계와 2단계는 1)방법과 2)방법의 표준편차가 거의 비슷했고, 3단계의 경우 2)방법의 표준편차가 1)방법의 표준편차의 약 2.83배 이다. 따라서 2)방법의 오차가 1)방법보다 크다고 볼 수 있다. 오차가 생긴 이유는 2)방법으로 실험을 하면 공기 저항에 의해 속도 변화가 생기기 때문이다. 반면에 1)방법은 발사되자마자 속도를 측정하므로 공기 저항의 영향을 거의 받지 않아 비교적 정확하다고 볼 수 있다.[실험2] 발사각에 따른 수평이동거리1)0} ^{2} sin2 theta } over {g}이다. θ=45° 일 때 R이 최대가 되고,v _{0}=3.02㎧, g=9.8㎨ 를 위 식에 대입하면 R최대=93.07cm가 나온다.· 실험값실제 실험결과는 45°일 때 최대 수평도달거리가 94.7cm인 것으로 나왔다.오차의 발생 원인은 발사되는 순간 각이 변한 요인이 가장 크고, 정확하게 지면과 수평을 이루지 못한 요인도 있다. 또한 공기저항의 원인도 들 수 있다.2) 측정 결과(단위 : cm)40˚41˚42˚43˚44˚45˚46˚47˚48˚49˚50˚1회105.7109.6107.8107.0106.9108.6106.7107.4108.6107.2106.42회108.2108.0108.2107.0106.5108.4106.3108.6108.2108.8106.03회106.7108.8108.4106.9108.1107.8107.4108.8108.8107.0105.04회112.0108.1109.3109.2105.9107.4109.4107.9109.1106.2106.35회105.6108.6108.3107.9106.0107.1107.2109.4107.2108.4103.7평균107.6108.6108.4107.6106.6107.8107.4108.4108.3107.5105.4· 이론값탄환이 지면에 도달을 하였을 때 수직방향의 변위는-h=v _{0} sin theta BULLET t- {1} over {2} gt ^{2} 이 된다. 이를t에 관하여 정리를 하면t= {v _{0} sin theta + sqrt {v _{0} ^{2} sin ^{2} theta +2gh}} over {g}가 된다(근의 공식 이용). 이 시간 동안의 수평 도달 거리를 구하면x=v _{0} cos theta BULLET {v _{0} sin theta + sqrt {v _{0} ^{2} sin ^{2} theta +2gh}} over {g}가 된다. 이 식에v _{0} =3.02m/s,g=9.8m/s ^{2},h=0.2m를 대입하여 나온 방정식을 maple.7554.455.95859.55110cm120cm130cm140cm150cm160cm170cm180cm190cm200cm1회62.362.959.955.954.549.945.939.631.727.62회62.462.760.957.553.749.845.538.831.726.8평균62.3562.860.456.754.149.8545.739.231.727.2· 이론값위 운동은 이차방정식y=tan theta x- {g} over {2v _{0}^2cos^2 theta }x^2로 표현될 수 있다. 이 식에theta =45 DEG ,v _{0} =4.66m/s를 대입하면y=-0.45x ^{2} +x 라는 방정식이 나온다.· 실험값Origin을 이용하여 이차곡선 fitting한 그래프의 방정식은y=-0.46x ^{2} +1.01x+0.06이 나왔다. 이론값과 매우 근사하게 나왔다. 측정값의 그래프에서 알 수 있듯이, 최대값 부근을 제외하면 거의 fitting된 부분과 유사한 값이 나타난다.오차가 나타난 원인은 맞춤 판에 찍힌 먹지 자국으로부터 맞춤 판 바닥까지의 길이를 자로 잴 때 정확하게 길이를 측정할 수가 없었던 데 있었다. 또한 공기의 저항도 원인이 될 수 있다.[실험4] 수평 도달 거리를 고정 시켰을 때, 최고 높이가 되는 각도 측정탄환 맞춤 판의 위치를 고정시키고 난 뒤에, 발사각을 변화시켜가면서 탄환을 발사한다. 탄환 맞춤 판에 찍히는 높이가 최대인 각도를 찾아라.(수평 도달거리 = 60cm,h=26.8cm)77°78°79°80°81°82°83°1회131.7133.3135.4135.5135.1135.1132.72회131.9134.9133.8135.8135.0133.63회133.7134.9135.6134.7133.64회136.3· 이론값포물선 운동의 이차방정식y=tan theta x- {g} over {2v _{0} ^{2} cos ^{2} theta } x ^{2} +0.268(h=26.8cm이므로)에v _{0} =4.66m/s,x=0.6m,g=9.8m/s ^{2}.7140138.1132.5119.1119.23회181174164161.6153.9149.5143.7135.7130.8118.5118.5평균182.5174.2164.4161.2154.9149.5142.2137.2131.8119.4117.6오차0.51.11.50.71.81.20.12.20.60.72.120˚19˚18˚17˚16˚15˚14˚13˚12˚11˚10˚1회182.7176.6163.6162153.7149.9142.2133.9130.2118.1116.92회182.7174.3164.9160.7153.8147.1144.7135.2133.4119.5114.73회180.6174.9160.2158.9151.7147.8140.1135.9130.1118.5114.9평균182.0175.3162.9160.5153.1148.3142.3135.0131.2118.7115.5우선 이론적으로, 수평 도달거리R= {v _{0} ^{2} sin2 theta } over {g}에서,theta대신90 DEG- theta를 대입해도 R값에는 변화가 없다. 따라서theta의 각도로 쏘았을 때의 수평 도달거리와90 DEG- theta의 각도로 쏘았을 때의 수평 도달거리는 이론상 같다.그러나 실제 상황에서는 공기저항이 있기 때문에 약간의 차이가 날 것이다. 특히 낮은 각으로 발사된 탄환이 높은 각으로 발사된 탄환보다 더 많은 공기 저항을 받기 때문에theta가 작을수록 오차가 커지는 경향성을 띈다. (물론 위에 표에서 알 수 있듯이, 오차가 매우 작게 나타난 경우도 있음)[실험 6] 빗면에서 최대 도달 거리가 되게 하는 각도 찾기45°가 되지 않는 임의의 각도를 정하여 빗면을 만든 뒤에, 임의의 발사 세기로 탄환을 발사한다. 빗면에서 최대 수평 도달거리가 되는 발사 각도를 찾아라.(빗면의 각도theta': 8.9°, 발사 세기 : 1단계)delta + theta '45°47°48°49°50°51°1회75.076.878.278.677.477.32회77.277.078.278.63회77.977.8평균7사각도(
중력장에서의 운동(Projectile Motion)(Projectile Launcher)
물리, 실험, Motion, Projectile, launcher
