벡터의 덧셈1. 실험목적● 한 점에 작용하는 여러 벡터가 평형을 이루게 하여 벡터의 합성과 분해를 공부한다.2. 이론물리량은 방향을 갖지 않는 스칼라량, 방향과 크기를 갖는 벡터량이 있다. 스칼라량의 덧셈과 뺄샘은 그 값들을 그대로 계산해주는 반면 벡터량은 다르게 계산한다. 덧셈을 벡터표시로 하면R=`A+B로 표현할 수 있다.R은 코사인법칙에 의해R ^{2} =`A ^{2} +B ^{2} +2ABcos theta ``or`R ^{2} =`A ^{2} +B ^{2} -2ABcos delta `로 주어진다.BAdelta PHI theta RthetaR과 A가 이루는 각phi 는tan phi = {Bsin theta } over {A+Bcos theta }가 된다.3. 실험결과1. 두 벡터의 합NO.ABR(실험)R(계산)%오차크기방향크기방향크기방향크기방향크기방향116011201.752701.73900.010크기: N, 방향: °1-1 벡터작도120 602701-2 계산과정(R)Ax=1Ncos60° Ay=1Nsin60°, Bx=1Ncos120° By=1Nsin120 °Rx=0 , Ry=1.73 R크기 = 1.73 R방향 = 90°2. 세 백터의 합크기: N, 방향: °NO.ABCR(실험)R(계산)%오차크기방향크기방향크기방향크기방향크기방향크기방향*************0260002-1. 벡터작도120 6002402-2 계산과정(R)왼쪽 것 : Ax=1cos120° Ay=1sin120°, Bx=1cos60° By=1sin60° Cx=1cos0° Cy=1sin0°Rx=1, Ry=1.73 R크기 = 1.99 R방향 = 60°4. 분석 및 토의두 벡터의 주어진 값을 통해 그 두 벡터에 대한 덧셈과 뺄셈 실험할 수 있는 기회였다. 이를 통해 벡터에 관한 이해를 높이고 벡터의 곱과 나누기에 대한 궁금증이 생겼다.
구면계1. 실험의 목적구면계를 사용하여 구면경 또는 렌즈의 곡률 반지름을 구한다.2. 실험의 이론1) 마이크로미터 나사형구면계는 마이크로미터 나사를 응용한 기구로서 [그림1]에서와 같이 정삼각형을 이루는 세 다리 A, B, C의 중심에서 아들자 M이 달린 손잡이 N을 돌리면 삼각형의 평면에 수직하게 움직이는 마이크로미터 나사가 있다. 사용도를 높이기 위해서 정삼각형 ABC의 크기를 변화 시킬 수 있도록 구면계의 세 다리를 옮겨 끼울 수 있게 되어 있다. 어미자 눈금 L은 mm단위이고, M은 원주를 100등분하여 M을 한 바퀴 돌리면 나가는 1mm씩 이동하도록 되어 있다. 따라서 아들자 M의 최소눈금은 1/100 mm이고, 눈짐작까지 읽으면 1/1000 mm까지 읽을 수 있다.2) 다이얼 게이지형최근에는 [그림 2]에서와 같이 가운데 위치한 다리 D가 위아래로 움직이며 마치 시계지침(분침과 시침)이 돌아가는 것과 같은 원리의 다이얼 게이지형 구면계가 나와 기존의 마이크로미터 나사를 돌리는 불편함을 없앴다. 작은 바늘이 어미자이며, 한 눈금이 1 mm이다. 큰 바늘 은 아들자이며, 한 바퀴 돌 경우 어미자 한 눈금이 변한다. 한 바퀴에 새겨진 아들자 눈금 수는 100개이므로 아들자 한 눈금은 1/100 mm에 해당된다. 따라서 눈짐작으로 읽을 수 있는 경우까지를 고려하면 나사형과 마찬가지로 1/1000 mm 까지 읽을 수 있다. 이는 미터자보다 100배 더 정밀한 계측이 이루어진다는 것을 의미한다.ABCD[그림 1 나사형 ] [그림 2 다이얼형] [그림 3 곡률반지름 측정]3) 곡률 반지름곡률반지름이란 면이 휘어진 정도를 말한다. 이를 구하려면 구면의 곡률 반지름 R은 [그림 3]에서 DE = h, EF = 2R-h 이므로,r ^{2`} =`h(2R-h)```````( BECAUSE {r} over {h} = {2R-h} over {r} ) ……‥… ①?AEH에서 AE = r , EH = a/2 이므로( {a} over {2} ) ^{2} +( {r} over {2} ) ^{2``} =`r ^{2``} ``````````#`#`````````THEREFORE r ^{2} = {a ^{2}} over {3} ……‥… ②이것을 ①번식에 대입하면{a ^{2}} over {3} =2hR`-h ^{2}##THEREFORE R`=` {a ^{2}} over {6h`} + {h} over {2} ……‥… ③가 된다. 즉 R은 a와 h를 측정하면 구할 수 있다.3. 측정값횟수0점(h₁)측정값(h₂)보정값(h)AB = BC = ACR17.91 mm1.94 mm5.97 mm79.5 mm179.427.91 mm1.94 mm5.97 mm79.5 mm179.437.91 mm1.93 mm5.98 mm79.8 mm180.447.92 mm1.92 mm5.12 mm79.5 mm208.257.91 mm1.95 mm6.00 mm80.0 mm180.767.91 mm1.93 mm5.98 mm80.0 mm181.3평균5.83 mm79.7 mm184.5표준오차0.0975 mm0.076 mm9.049(단위:mm)4. 계산 및 결과자료의 처리과정< 각 평균값 >①{bar{a}} `= {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} `a _{i}#`````=` {1} over {6} (79.5+79.5+79.8+79.5+80.0+80.0)#`````=`79.7②{bar{h}} `=` {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} `h _{i}#```````= {1} over {6} (5.97+5.97+5.98+5.12+6.00+5.98)#```````=` 5.83③{bar{R}} `=` {{bar{a}} ^{2}} over {6 {bar{h}}} + {{bar{h}}} over {2}#```````#``````= {79.7 ^{2}} over {6 BULLET 5.83} + {5.83} over {2}#````````#```````=`184.5< 각 표준오차 >①sigma _{a`} = {sqrt {sum _{i=1} ^{N} | {bar{a}} -a _{i} | ^{2}}} over {N}#`````````= {sqrt {(79.7-79.5) ^{2} +(79.7-79.5) ^{2} +(79.7-79.8) ^{2} +(79.7-79.5) ^{2} +(79.7-80.0) ^{2} +(79.7-80.0) ^{2} }} over {6}#`````````=0.076②sigma _{z} = {sqrt {sum _{i=1} ^{N} | {bar{h}} -h _{i} | ^{2}}} over {10}#````````= {sqrt {(5.83-5.97) ^{2} +(5.83-5.97) ^{2} +(5.83-5.98) ^{2} +(5.83-5.12) ^{2} +(5.83-6.00) ^{2} +(5.83-5.98) ^{2}}} over {6}#````````=0.0975③sigma _{R} = sqrt {( {delta R} over {delta a} ) ^{2} sigma _{a}^{``````2} +( {delta R} over {delta h} ) ^{2} sigma _{z}^{``````2}}##```````` {delta R} over {delta a} = {{bar{a}}} over {3 {bar{h}}} ``````````,```````` {delta R} over {delta h} = {1} over {2} - {{bar{a}} ^{2}} over {6 {bar{h}} ^{2}} `#``#sigma _{R} = sqrt {( {{bar{a}}} over {3 {bar{h}} } ) ^{2} sigma _{a}^{``````2} +( {1} over {2} - {{bar{a}} ^{2}} over {6 {bar{h ^{2}}}} ) ^{2`} sigma _{h}^{2}}``````````=` sqrt {( {79.7} over {3 BULLET 5.83} ) ^{2} `0.076 ^{2} +( {1} over {2} - {79.7 ^{2}} over {6 BULLET 5.83 ^{2}} ) ^{2} `(0.0975) ^{2}}#``````````=`9.0495. 실험을 통해 얻은 결론①a= bar {a } `±` sigma _{a} =79.7±0.076`mm②h= bar {h } ±` sigma _{h} =5.83±0.0975`mm ③R=` {bar{R}} ±` sigma _{TRIANGLE R} =184.5±9.049`mm6. 검토구면계를 이용하여 곡률 반지름을 측정하여 면이 휘어진 정도를 알아보는 실험이다. 곡률 반지름은 매우 미세한 차이를 보이므로 버니어 캘리퍼스와 구면계를 이용하여 보다 정밀한 측정을 해야 하였다. 평면에 구면계를 놓아 0점을 구하고 곡면에 구면계를 놓아 측정값을 구한다.곡면에 구면계를 놓을 때 D지점이 곡면의 정중앙에 위치하지 않으므로 오차가 발생한다.
광학지레1. 실험의 목적얇은 종이 등의 두께 또는 미세한 길이의 변화를 측정한다.2. 실험의 이론광학지레는 [그림1]과 같이 기준면(평면)과 측정대상에 거울을 걸쳐 놓고 거울이 기울어지는 각도alpha 의 상대적 변위를 광학적으로 측정하여 길이의 미세한 변화를 알아내는 장치이다. 이것은 한 반사경에 일정한 방향의 빛을 입사 시켰을 때 반사경이alpha 만큼 회전하면 반사법칙에 의하여 광선은 2alpha 만큼 변하게 되는 것을 이용한 것이다. 광학지레를 평면대 위에 놓고 레이저 빛이 광학지레의 유리면에서 반사된 눈금자 y의 위치에 오도록 하고, y의 눈금값을 읽는다. 광학지레 발 C아래에 종이를 끼우면 각도alpha 만큼 기울여지고 동시에 거울도alpha 만큼 기울어진다. 또한 반사된 레이저 빛이 눈금자 위의 새로운 위치 y´로 나타나게 된다. 막대자와 거울 사이의 거리 L을 y´-y보다 훨씬 크게 하고,ANGLE y´Oy를beta 라 하면beta = 2alpha ? (y´-y)/L이된다.[그림1] 광학지레 [그림2] 측정을 위한 배치도얇은 종이의 두께를 d라 하고, 광학지레의 발 사이의 거리를 z라 하면tan`2 alpha = {y prime -y} over {L}#`````````sin alpha `= {d} over {z}가되고,alpha 가 매우 작으므로tan`2 alpha APPROX 2 alpha ```,`sin alpha APPROX alpha 이다. 그러면 얇은 판의 두께는 d는`````````` {y prime -y} over {2L} APPROX {d} over {z}##THEREFORE `d APPROX {z(y prime -y)} over {2L}가 된다.3. 측정값횟수yy´y´-y거울과 자 사이의 거리(L)광학지레 발 사이의 거리(z)1143 mm187 mm44 mm930 mm64 mm2145 mm208 mm63 mm930 mm66 mm3160 mm193 mm33 mm930 mm67 mm4162 mm188 mm26 mm930 mm69 mm5163 mm227 mm64 mm930 mm70 mm6162 mm204 mm42 mm930 mm68 mm평균45.3 mm930 mm67.3 mm표준오차0.179mm03.89 mm(단위:mm)4. 계산 및 결과자료의 처리과정< 각 평균값 >①{bar{L`}} = {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} `L _{i}#``````= {1} over {6} (930+`930+930+930+930+930)#``````=`930 ②{bar{Z}} `=` {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} Z _{i}#```````=` {1} over {6} (64+66+67+69+70+68)#```````=`67.3③{bar{TRIANGLE y}} `= {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} ` TRIANGLE y#``````````````````= {1} over {6} (44+63+33+26+64+42)#``````````````````=`45.3④{bar{d}} `=` {{bar{z}} BULLET {bar{TRIANGLE y}}} over {2 {bar{L}}}#```````=` {67.3` BULLET 45.3} over {2 TIMES 930}#````````=1.63< 각 표준오차 >①sigma _{L`} = {sqrt {sum _{i=1} ^{N} | {bar{L}} -L _{i} | ^{2}}} over {5}#`````````= {sqrt {(930-930) ^{2} +(930-930) ^{2} +(930-930) ^{2} +(930-930) ^{2} +(930-930) ^{2}+(930-930)} ^{ 2} } over {6}#`````````=0②sigma _{z} = {sqrt {sum _{i=1} ^{N} | {bar{z}} -z _{i} | ^{2}}} over {N}#````````= {sqrt {(67.3-64)^{ 2}+(67.3-66)^{ 2}+(67.3-67)^{ 2}+(67.3-69)^{ 2}+(67.3-70)^{ 2}+(67.3-68)} ^{ 2} } over {6}#````````= 3.89③sigma _{TRIANGLE y} = {sqrt {sum _{i=1} ^{N} | {bar{TRIANGLE y}} - TRIANGLE y| ^{2}}} over {N}#``````````````=` {sqrt {(45.3-44) ^{2`} +(45.3-63) ^{2+} (45.3-33) ^{2`} +(45.3-26) ^{2`} +(45.3-64) ^{2`}+(45.3-42)} ^{ 2} } over {6}#``````````````= 196.09④sigma _{d} = sqrt {( {delta d} over {delta L} ) ^{2} sigma _{L} ^{``````2} +( {delta d} over {delta z} ) ^{2} sigma _{z} ^{``````2} ( {delta d} over {delta TRIANGLE y} ) ^{2} sigma _{TRIANGLE y}}#````````= sqrt {( {{bar{z`}} BULLET {bar{TRIANGLE y}}} over {2 {bar{L}} ^{2}} ) ^{2} sigma _{L} ^{``````2} +( {{bar{TRIANGLE y}}} over {2 {bar{L}}} ) ^{2} sigma _{z} ^{`````2} +( {{bar{z`}}} over {2 {bar{L}}} ) ^{2} sigma _{TRIANGLE y}}#````````= sqrt {( {{bar{z`}}} over {2 {bar{L}} )} ) ^{2} sigma _{TRIANGLE y}}#````````= sqrt {({67.3} over {2 TIMES 930} )^{2} 196.09}#````````= 0.5065. 실험을 통해 얻은 결론①L= bar {L } `±` sigma _{L} =930±0`mm ②z= bar { z} ±` sigma _{z} =67.3±3.89`mm③TRIANGLE `y=` {bar{TRIANGLE `y}} `±` sigma _{TRIANGLE `y} =45.3±196.09`mm④d= {bar{d}} `±` sigma _{d} =1.63±0.506``mm6. 검토이 실험은 빛을 반사 시켜 빛 높이의 차이를 이용해 얇은 종이 등의 두께 또는 미세한 길이의 변화를 측정하는 실험이다. 이 실험을 할 때 사용한 종이는 매우 많이 구겨져 있는 상태였다. 그 종이를 광학지레에 넣었더니 구겨져있는 탓에 종이가 위로 뜨면서 반사된 레이저 빛이 가르치는 새로운 눈금 y‘가 원래 눈금 y보다 훨씬 높았다. 종이가 구겨져 있던 상태로 실험을 하게 되어 정확한 종이의 두께를 얻을 수 없었다.
선팽창계수 측정1. 실험의 목적금속에 열을 가하면 원자 진동의 평균진폭이 커져서 원자 간의 평균 거리가 커진다. 이를 실험으로 알아보고 또한 선팽창계수를 구하여 본다.2. 실험의 이론대부분의 물체는 온도가 상승함에 따라 그 물체를 이루고 있는 분자들의 열운동에 의해서 팽창한다. 따라서 금속막대는 열을 받으면 그 길이가 늘어날 것이다. 여러 개의 금속막대를 이용하여 열에 의한 선팽창계수alpha 의 값을 측정할 수 있다. 어떤 금속막대의 0CENTIGRADE 의 길이를L _{0}라고하면, 온도에 따라 그 길이가 변하므로 tCENTIGRADE 에서 이 막대의 길이L은L=L _{0} (1+ alpha t+ beta t ^{2} + gamma t ^{3} + CDOTS ) ……‥ ①으로 나타낼 수 있다. 여기서L _{0}은 t=0° 일 때의 길이이며,alpha , beta , gamma …는 그 물질의 종류에만 관계되는 상수로 매우 작은 값의 상수이다.beta 이하의 항은alpha 에 비해 매우 작아서 우리가 측정하고자하는 온도범위 내에서는 무시할 수 있다. 따라서 식 ①은L=L _{0} (1+ alpha t)#……‥ ②또는alpha = {L-L _{0}} over {L _{ 0}t } ……‥ ③로 표현된다.0CENTIGRADE에서 물체의 길이를 측정할 수 없는 경우에는 임의의 두 온도t _{1} ,`t _{2} 일 때의 길이L _{1} ,`L _{2} 를 측정하여 비교하면{L _{2}} over {L _{1}} = {L _{0} (1+ alpha t _{2} )} over {L _{0} (1+ alpha t _{1} )} =(1+ alpha t _{2} )(1- alpha t _{1} + alpha ^{2} t _{1} ^{2} + CDOTS ) ……‥ ④가된다. 이 때alpha ^{ 2} 이상의 항들은 그 값이 매우 작기에 무시하면{L _{2}} over {L _{1}} =1+ alpha (t _{2} -t _{1} )#……‥ ⑤이를 정리하면L _{2} =L _{1} + alpha L _{1} (t _{2} -t _{1} )#L _{2} -L _{1} = alpha L _{1} (t _{2} -t _{1} ) ……‥ ⑥가 된다.TRIANGLE T=T _{2} -T _{1}#TRIANGLE L=L _{2} -L _{1`} ……‥ ⑦를 이용하여 ⑥식에 대입하면TRIANGLE L= alpha L _{1} TRIANGLE t ……‥ ⑧가 된다. 따라서 선팽창계수alpha 는THEREFORE ` alpha _{실} = {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t} ……‥ ⑨로 결론지을 수 있다.3. 측정값1) 시료 재질 : 철시료 길이 : 73 cm횟수온도 (CENTIGRADE )다이얼게이지(mm)선팽창계수(K?¹)t₁t₂?ta_{ 1}a_{ 2}TRIANGLE L=|a _{ 2}-a _{ 1}|alpha122CENTIGRADE 99.2CENTIGRADE 77.2CENTIGRADE 5.2mm4.54mm0.66mm1.1711×10 ^{ -5}2) 시료 재질 : 구리횟수온도 (CENTIGRADE )다이얼게이지(mm)선팽창계수(K?¹)t₁t₂?ta_{ 1}a_{ 2}TRIANGLE L=|a _{ 2}-a _{ 1}|alpha123.8CENTIGRADE 99.3CENTIGRADE 75.5CENTIGRADE 10.16mm0.9.5mm0.66mm1.1352 × 10??시료 길이 : 77cm3) 시료 재질 : 알루미늄횟수온도 (CENTIGRADE )다이얼게이지(mm)선팽창계수(K?¹)t₁t₂?ta_{ 1}a_{ 2}TRIANGLE L=|a _{ 2}-a _{ 1}|alpha123.5CENTIGRADE 99.1CENTIGRADE 75.6CENTIGRADE 6.03mm5.84mm0.19mm3.2852 × 10??시료 길이 : 76.5 cm4. 계산 및 결과자료의 처리과정< 선팽창계수alpha 값 계산>alpha _{①} = {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t}#````````````= {0.66mm} over {730mm TIMES 77.2 CENTIGRADE }#alpha _{②} = {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t} `#``````````=` {0.66mm} over {770mm TIMES 75.5CENTIGRADE }#````````````=1.1352 TIMES10 ^{ -5}alpha _{③} = {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t} `#``````````=` {0.19mm} over {765mm TIMES 75.6CENTIGRADE }#````````````=3.2852 TIMES10 ^{ -5} = 1.1711×10 ^{ -5}< 오차 값 계산 >S _{(오차)} = {| alpha _{이론} - alpha _{실험} |} over {alpha _{이론}} TIMES 100(%)S _{②} = {|(1.6 TIMES 10 ^{-5} )-(1.1352 TIMES 10 ^{-5} )|} over {1.6 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````````= {0.4648 TIMES 10 ^{-5}} over {1.6 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````=`0.29 TIMES 100(%)#`````````=`29%S _{①} = {|(1.2 TIMES 10 ^{-5} )-(1.1711 TIMES 10 ^{-5} )|} over {1.6 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````````= {0.0289 TIMES 10 ^{-5}} over {1.6 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````````=`0.018 TIMES 100(%)`#```````````=`1.8%S _{③} = {|(2.4 TIMES 10 ^{-5} )-(3.2852 TIMES 10 ^{-5} )|} over {2.4 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````````= {0.8852TIMES 10 ^{-5}} over {2.4 TIMES 10 ^{-5}} TIMES 100(%)#```````=`0.368 TIMES 100(%)#`````````=`36.8%5. 실험을 통해 얻은 결론실험선팽창계수(K?¹)%오차실험값문헌값①1.1711×10 ^{ -5}1.2 × 10??1.8 %②1.1352 × 10??1.6 × 10??29 %③3.2852 × 10??2.4 × 10??36.8%6. 검토위 실험은 철, 구리, 알루미늄에 대한 선팽창계수를 구하는 실험이었다. 물체는 온도가 상승함에 따라 그 물체를 형성하고 있는 분자들의 열운동에 의해 팽창하며 길이가 늘어나는데 이를 이용해 열에 의한 선팽창계수alpha 의 값을 측정할 수 있었다. 길이에 대한 다이얼게이지를 읽는 방법에서 어려움을 겪어 오차가 크게 발생했던 것 같다.