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수학교육과 직관적사고와의 관련성

??Ⅹ?Ⅸ. 서론수학과교수법 수업을 이수하면서, 가지게 되었던 의문 중의 하나가 직관적 사고가 과연 수학교육과 얼마나 관련성이 있을까 하는 것이었다. 발표 내용 중의 일부이기도 했던 직관적 사고는, 사실 수학과의 관련성을 생각하지 않은 채 사용하던 말이었다. 또한 직관이란 용어자체가 포괄적이고 광범위하게 쓰였기 때문에 관심을 두지 않던 부분이었다. 하지만, 수학문제해결에 있어 직관적 사고의 관련성과 중요성을 알게 된 후 수학교육과의 관련성에 대해 의문을 품는 건 어렵지 않았다.직관적 사고에 관한 내용을 처음 접했을 때는 Piaget의 인지발달이론을 공부하면서였다. 그가 말하는 직관적 사고는 전조작기에 아동이 보이는 대로 대상을 판단하는 것을 말한다. 하지만 수학에서 말하는 직관적 사고는 Piaget이 말하는 것과는 다른 의미이듯이, 직관이라는 말 자체가 포괄적이고 광범위하게 쓰이고 있다. 심리학, 철학, 종교, 예술, 정신분석학, 교육학 등에서 설명하는 직관은 각기 다르다.직관을 학교 교육현장으로 끌어와 보면, 학생들을 지도할 때 학생들이 수학적 개념습득이나 문제해결을 수행하며 많은 어려움을 겪는 것을 목격할 수 있다. 그들의 개념습득에 도움을 주기 위해 교사들은 구체물과 반구체물을 활용하여 학생들에게 활동을 해보도록 한다. 때때로 이 과정에서 학생들은 수학적 개념에 대한 직관적 앎을 경험한다. 여기서 말하는 직관적 앎이란 학생들이 논리적 증명이나 추론 없이 개념을 직관하는 것이다.또한 직관은 진리 또는 진리처럼 보이는 지식의 근원으로 언급하고 있다. 또 다른 사람들에게 직관은 현상의 본질에 도달하는 하나의 방법으로 정신적 전략의 하나이다. 또한, 직관이란 용어는 인지의 어떤 범주를 나타내는데 쓰이기도 한다. 그러나 교육에서 직관은 종종 한걸음 더 나아간 지성교육을 위해 우선적으로 필요한 기초와 같은 감각적 지식과 관련된다. 이러한 의미에서 직관적인 지식은 어느 정도 지각적인 지식과 동일하다.이러한 정의들을 종합해 볼 때 직관이란 감각적, 구체적인 대상에서 그학의 정리에 정당성을 부여하는 데 필수적이다.그렇게 때문에 본 연구에서는 직관 자체에 대해 보다 중점적으로 분석하고 수학교육에서의 직관의 역할에 대해 살펴보았다.Ⅰ. 본론0.0. 사고와 직관0.0.0. 수학적 사고문제를 성공적으로 해결하기 위해서는 사고가 필요하다. 사고가 이루어지기 위해서는 출발점에서의 어떤 기초적인 증거가 필요하며, 증거와 종착점에서 요구되는 최종결과 사이에 간격이 있어야 한다. 수학적 사고는 수학과 관련하여 행해지는 사고라고 할 수 있으며, 일반적인 사고의 범주에 포함되어 진다.수학적 사고의 조작이란 사고를 작통케 하는 어떤 대상이 있을 때 그 대상에 가해지는 여러 가지 방법, 예를 들면 대상을 세는 것, 그 대상 사이의 관계를 파악하는 것, 대상을 세는 것, 그 대상 사이의 관계를 파악하는 것, 대상을 변형시키는 것들을 의미한다. 수학적 활동의 중심이 되는 4가지 과정으로 그는 특수화, 추측하기, 일반화, 확신하기를 들고 있다. 또한 수학적 사고의 인지적 활동과 정의적 반응이 복합되어 나선형으로 이루어지는 역동적 사고를 한다고 보고 있다.1.1.1. 직관과 논리서로 상반되는 듯 하지만 상보적인 역할관계에 있으며, 수학적인 사고를 하는 경우 긴밀한 연대성이 요구된다. 소쉬르(F. Saussure, 1857~1913)는 어떤 언어체계 내의 한 개의 말을 실제의 언어 활동에 결부시키는 두 종류의 짜임새를 각각 결합관계, 연합관계라고 부른다. 직관은 언어활동에서 현재하는 관계, 말과 말을 어떤 순서 하에 결부시켜 의미 있게 합쳐 마무리해 가는 시스템이다. 논리는 언어활동에 있어 잠재하는 관계, 무엇인가 공통성을 가지고 어군을 형성하는 작용이며 일종의 기억의 창고를 이룬다고 생각하고 있다.2.2.2. 직관의 특성직관의 특성은 학자마다 다양하게 설명하지만, 주로 Fischbein의 견해를 바탕으로 살펴보겠다. 그는 직관의 특성을 자명성(self-evidence), 내재적 확실성(intrinsic certainty), 고집성(perseverance)은 일단 형성되고 난 뒤에 계속해서 강하게 유지되는 특성을 말한다. 직관은 다양한 사실들을 추측, 설명, 해석하는 과정에 고집성의 영향을 미친다. 어떤 사실이나 감각적 설명이 직관에 모순되어 보일 때 강한 불안감을 느끼는 것은 바로 이 때문이다.3.3.3.3. 강제성(coerciveness)강제성은 직관을 각 개인에게 주관적으로 절대적이고 유일한 것으로 생각하게 하는 성질로서, 강압적인 본성은 직관의 자명성과 함께 수학의 역사에서 직관적 해석을 고수하고, 또 심지어는 논리적 증명이 있은 후에도 옳은 것을 받아들이기 어렵게 하는 경우가 종종 있다.4.4.4.4. 이론적 성격(theory status)직관은 단순한 기능이거나 주어진 사실에 대한 단순한 지각이 아닌 하나의 이론이다. 그러나 직관은 형식적으로 순수한 이론이라고 말하기는 어렵다.5.5.5.5. 외삽성(extrapolativeness)외삽성은 주어진 명확한 자료를 초월하여 어떤 결론에 도달하는 것으로서, 직관의 외삽은 추측이 아니라 내재적 확신이 결합된 것이다. 우리는 외삽을 통해서 정보의 제한된 양을 조직하고, 종합하여 우리가 직접 파악할 수 있는 양을 초월하는 정보까지 간접적으로 외삽한다.6.6.6.6. 전체성(globality)직관은 종합적이고 전체적인 특성을 갖고 있다. 즉 직관은 어떤 상황에 대해 단일한 전체적인 견해나 통찰을 제공하는 구조적 인지로서, 이 경우의 직관은 분석적 사고와는 반대되는 것이다. 일반적으로 사람들은 조화를 이루지 않는 단서는 버리고, 단일하고 완전한 의미를 가지고 확신 있게 다른 것들을 조직하려는 선택과정을 통하여 전체성을 획득한다.7.7.7.7. 암묵성(implicitness)직관의 반응은 사실상 암묵적이고 내부적이다. 앞서 거론한 직관의 외삽성은 대개의 경우 무의식적으로 일어난다.8.8.8.8. 직관의 인지-행동 기능우리의 견해에서 직관은 기호적 수준에서 지각과 비슷한 것이다. 그것은 지각과 같은 행동적 과업을 갖는다. 즉 우리의 정신적 또는 실제적 행동을 안내하고 는 일화로 예시될 수 있다. 문제해결과정에 대해서는 많은 사람들이 연구해 왔고, 그 중 대표적으로 Polya를 들 수 있다. 다음은 'Polya의 문제해결'의 4단계에 따라, 각 단계에서 주로 어떠한 직관이 요구되며, 그 직관의 역할 및 작용에 대해 이어가겠다.● 1단계 : 문제의 이해 단계문제를 이해하기 위해서는 그림을 그리거나, 구체물을 사용하여 이해하기도 하는데, 여기에서는 전조작적 직관이 요구된다.● 2단계 : 해결 계획의 수립단계문제가 이해되면, 그 다음엔 문제를 해결하기 위하여 계획을 수립하여야 한다. 이 단계에서는 '예견직관'이 요구되며, 해결방안에 대한 예견은 점진적으로 나타날 수도 있고, 망설임이나 시행착오 후에 갑자기 생겨날 수도 있다.● 3단계 : 계획의 실행단계2단계에서의 '예측직관'의 도움으로 계획이 수립되었으면 이를 실행하여 해답을 이끌어 내야 한다. 이 단계에서는 '지금 무엇을 하고 있는가?'하는 문제의식과 논리, 직관적 직관이 요구된다. 또한 문제를 해결하는 과정에서 더 이상의 진척이 보이지 않을 경우에 직관은 문제 해결의 방향을 새롭게 제시해 주기도 한다.● 4단계 : 검증 단계문제에 대한 어떠한 답이 구해졌다고 해서 곧 문제해결이 완전히 끝난것은 아니다. 즉, 완성된 풀이를 되돌아봄으로써 그 결과와 풀이과정을 다시 점검해 보고, 재검토해 봄으로써 획득된 지식을 견고하게 하고, 문제를 해결하는 능력을 발달시킬 수 있도록 하여야 한다. 이 단계에서의 직관은 문제해결의 전체과정을 하나의 통일된 원리에서 전체적으로 이해할 수 있게 해 주며, 여기에서 후조작적 직관이 형성되었다고 볼 수 있다.또한, 직관은 창의적 문제해결 과정에서 많이 다루어지고 있으며, Dewey는 문제를 해결하는 우수한 사고방법은 반성적 사고이며, 이에 기초한 문제해결 단계를 5단계로 접근하고 있다.● 1단계 : 어려움을 감지하는 단계● 2단계 : 반성활동을 통해 문제를 더 명백하게 정의하는 단계● 3단계 : 가능한 해결 대안의 출현 단계● 4단계 : 가능한 해결책을갑자기 나타난 결합을 우리는 보통 직관이라고 부른다.● 검증기(Verification Stage) : 계시된 결합을 증명하고 정확하게 표현하는 단계로서 계속적인 후속작업을 위한 새로운 출발점이 되기도 한다.문제 해결에 대한 형태 심리학자들이의 주된 연구대상은 문제의 전체적인 구조를 이해할 때 일어나는 통찰의 현상이다. 이때 문제의 구조에 대한 통찰이 직관이다. 직관은 단일하고 압축적인 의미를 나타내기 위하여, 일치하지 않는 단서를 제거하고 그 외의 것을 조직하려는 성향이 있다.또한 직관은 문제를 어떻게 재조직할 것인가에 대한 실마리를 제공하는 역할을 하는 것으로, 내적으로 생성될 수도 있고 외적으로 생성될 수도 있다. 일단 문제를 어떻게 해결할 것인지 생각하는데, 이것이 바로 Gestalt이론에서 말하는 통찰이며, 아하 경험이다. Gestalt 심리학자들은 창의적인 문제해결 사고에 요구되는 구조적 관계이해에 대한 학습을 많이 연구하였다. 문제해결은 문제 장면에 대한 재조직화, 재구조화, 재형식화 과정을 포함한다. 그러므로 문제의 해결을 위해서는 문제의 구조적 이해가 요구되는 것이다. 따라서 교사는 교실 수업에서의 학습자의 통찰을 이끌어내는 학습자 스스로 직관을 경험 할 수 있도록 해야 한다.Johnson은 문제를 해결하는 동안에 일어나는 사고 과정을 세 가지로 구분하였는데, 첫째는 문제에 대한 방향 설정, 둘째는 세련된 기능에 의한 적절한 자료의 생성, 셋째는 비판적 기능에 의한 비판 등이다.2.2. 창의적인 수학문제 해결과 직관3.3.3. 창의적 수학문제 해결 과정에서의 직관Helmholtz는 무의식적 활동이 문제해결과정에서 중요한 역할을 하고 있음을 밝히고 있다. Helmholtz는 무의식 과정에서 아이디어의 발현에 대한 자신의 경험을 다음과 같이 나타내고 있다.이전에 이 방향 저 방향에서 문제를 탐색한 후에 (중략) 노력하지도 않고 바라지도 않았는데 좋은 아이디어가 나타났다. 이는 영감과 같은 것이다. 나에게 있어서 이 아이디어들은 내 마음이 피로해 있거.

공학/기술| 2008.08.31| 9페이지| 2,000원| 조회(463)

학생, 지식, 직관, 직관적, 관련성

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