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일반측량학 제14장 터널측량

< 제14장 터널측량 >?터널측량 : 갱외측량, 갱내측량, 갱내외 연결측량등으로 구성된다.구분시간목적내용성과지형측량조사단계터널의 노선 선정, 선형, 구배의 설계항공사진측량기준점측량평판측량지형도 이용갱외기준점측량설계완료 후(시공전)굴착을 위한 측량의 기준점 설치삼각측량트래버스측량GPS, 수준측량기준점 설치, 중심선의방향 말뚝설치세부측량갱외기준점 설치후(시공전)갱구 및 터널 가설계획에 필요한 상세한 지형도의 작성평판측량, 수준측량1/200 지형도갱내측량시공중설계중심선의 갱내측설, 굴착 지지항 및 거푸집 설치트래버스측량수준측량갱내 기준점 설치작업갱의 측량작업갱 완성후작업갱으로부터 중심선 및 수준의 도입트래버스측량수준측량갱내 기준점 설치준공측량공사완성후터널사용 목적에 따른 준공측량중심측량수준측량단면측량준공도면14.1 갱외측량14.1.1 갱외 기준점 측량지형도상에서 터널의 위치를 결정하고 난 뒤 현장에 터널의 위치를 설치하기 위한 기준점을 설치한다.- 기준점은 터널 측량의 중요한 장소이므로 다른 작업에 방해가 되지 않도록 설치하며, 덮개등을 이용하여 보호한다.- 기준점은 갱의 안쪽 입구와 작업 갱 입구 부근에 설치하며, 2점 이상 설치하여야 한다.- 터널의 중심선은 양단 갱구에서 굴진할 경우 중앙부에서 ±10cm 이내의 오차 범위내에 있어야 하므로, 기준점의 측량 정밀도는 ±수 cm 이내이어야 한다.14.1.2 중심선 측량터널의 중심선 측량은 터널의 중심선 방향의 확인, 갱구 간의 거리 확인, 탄성파 탐사 및 보링 위치의 결정등을 목적으로 한다.- 터널 측량에서는 거리가 다소 다르더라도 방향과 고저만 정확하면 관통에는 큰 문제가 없다.- 그러나, 방향에 대한 오차는 관통에 미치는 영향이 매우 크므로 간접 측량보다는 직접 측량 방법을 사용한다.- 중심선 측량은 지형의 상태, 터널 길이에 따라 방법을 결정한다.① 산정에서 두 갱구가 보일 경우② 산정에서 두 갱구가 보이지 않는 경우③ 지형이 복잡, 험준하고 터널의 길이가 긴 경우14.2 갱내 측량14.2.1 갱내 기준점 측량터널의 굴착이 진행됨에 따라 갱구에 설치된 기준점을 기준으로 갱내의 중심선 측량 및 수준측량을 실시하는 것이다.

공학/기술| 2010.05.02| 2페이지| 1,000원| 조회(531)

GIS, gps, 측량학, 측지학, 터널측량, 사진측량학, 갱구측량, 중심선측량, 지형..

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일반측량학 제15장 하천측량

< 제15장 하천 측량 >▶ 목적 : 하천 측량은 하천의 형상, 수위, 단면, 구배 등을 관측하여 하천의 평면도, 종?횡단면도를 작성함과 동시에 유속, 유량, 부유물, 기타 구조물을 조사하여 각종 수공 설계 및 시공에 필요한 자료를 얻기 위한 것이다.◎ 하천측량순서 : 도상조사→자료조사→현지조사→평면측량→수준측량→유량측량→기타측량15.1 평면도의 작성(1) 유제부(제방이 있는 경우) : 제외지 전부와 제내지의 300m 이내를 측량 범위로 한다.(2) 무제부(제방이 없는 경우) : 홍수가 영향을 주는 구역보다 약간 넓게 측량한다.(3) 하천공사의 경우 : 하구에서 상류의 홍수 피해가 미치는 지점까지(4) 사방공사의 경우 : 수원지까지(5) 해운을 위한 하천 개수공사 : 하구까지15.2 고저측량(1) 수준기표(Bench Mark)수준기표는 지반이 침하되지 않고 교통장애가 되지 않는 견고한 장소를 선정하여 양안 5km마다 설치한다. 수위관측소에는 필히 설치한다.(2) 거리표(Distance Mark)거리 측정의 기준이 되는 것으로 하천의 중심에 직각으로 설치하며, 하구 또는 하천의 합류점으로부터 100m 또는 200m 마다 설치한다. 거리표는 1km마다 석표를 매설하고, 그 중간에는 나무 말뚝을 사용한다.15.3 종단측량과 횡단측량(1) 종단측량좌우에 설치한 거리표, 양수표, 기타 중요한 장소의 높이를 측정하는 것으로 반드시 왕복측량을 원칙으로 한다.4km 왕복에서 유조부(하천과 바다가 만나서 조류의 영향을 받는 부분) 10mm, 무조부(하류 바로 윗 부분에 조류의 영향을 받지 않는 부분) 15mm, 급류부 20mm의 오차를 허용한다. 종단측량의 축척은 거리(횡) 1/1000, 높이(종) 1/100로 종단면도를 작성한다.(2) 횡단측량보통 좌안을 따라 거리표를 기준으로 하며, 간격은 10～20m 마다 측량을 실시한다.횡단면도 작성시 그 축척은 종단면도 작성시와 같다.15.4 수심측량(심천측량)수심측량은 원칙적으로 횡단측량의 실시와 동시에 시행하는 것이나, 때에 따라서는 수심측량만 단독으로 실시하는 경우도 있다.(1) A점에서 트랜싯으로 관측하는 경우(전방교회법)barBP_1 =barAB tanα_1 ,~~barBP_2 =barAB tanα_2(2) P점에서 육분의로 관측한 경우(후방교회법)tanβ_1 = { barAB} over { barBP_1}에서barBP_1 = { barAB} over {tanβ_1 } =barAB ×cotβ_1tanβ_2 = { barAB} over { barBP_2}에서barBP_2 = { barAB} over {tanβ_2 } =barAB ×cotβ_215.6 수위관측과 하천수위15.6.1 수위관측(1) 양수표(수위 관측소) 설치 장소① 상하류 약 100m 정도의 직선인 장소일 것② 수류 방향이 일정한 장소일 것③ 수위가 교각이나 기타 구조물에 의해 영향을 받지 않는 장소일 것④ 유실, 세굴, 이동, 퇴적, 파손의 위험이 없는 장소⑤ 쉽게 수위를 관측할 수 있는 장소⑥ 합류점이나 분류점에서 수위의 변화가 생기지 않는 장소⑦ 수면 구배가 급하거나 완만하지 않은 지점(2) 양수표의 영점위치의 주위사항① 양수표의 영점 위치는 최저 수위 밑에 있고, 양수표 눈금의 최고위는 최대 홍수위보다 높아야 한다.② 양수표는 정표고를 측정해 둔다.③ 홍수후에는 부근의 수준점과 연결하여 그 표고를 확인한다.15.6.2 하천수위① 최고수위(H.W.L.), 최저수위(L.W.L.) : 어떤 기간에 있어서 최고?최저의 수위로, 년단위나 월단위의 최고?최저로 구분.② 평균최고수위(N.H.W.L.), 평균최저수위(N.L.W.L.) : 년과 월의 최고, 최저의 평균평균최고수위는 축제, 가교, 배수공사 등의 치수목적에, 평균최저수위는 주운, 발전, 관개 등의 이수관계에 이용③ 평균수위(M.W.L.) : 어떤기간의 관측수위의 합을 관측횟수로 나누어 평균치를 구한 수위④ 평균고수위(M.H.W.L.), 평균저수위(M.L.W.L.) : 어떤 기간에 있어서의 평균수위 이상의 수위의 평균 및 어떤 기간에 있어서의 평균수위 이하의 수위로부터 구한 평균수위⑤ 최다수위 : 일정기간중 제일 많이 발생한 수위⑥ 평수위(O.W.L.) : 어느 기간의 수위중 이것보다 높은 수위와 낮은 수위의 관측횟수가 똑같은 수위. 일반적으로 평균수위보다 약간 낮은 수위. 1년을 통해 185일은 이보다 저하하지 않는 수위⑦ 저수위 : 1년을 통해 275일은 이보다 저하하지 않는 수위⑧ 갈수위 : 1년을 통해 355일은 이보다 저하하지 않는 수위⑨ 고수위 : 2-3회 이상 이보다 적어지지 않는 수위⑩ 지정수위 : 홍수시에 매시 수위를 관측하는 수위⑪ 통보수위 : 지정된 통보를 개시하는 수위⑫ 경계수위 : 수방요원의 출동을 필요로 하는 수위15.7 유속과 유량 측정15.7.1 유속분포 및 유속측정유속 관측에는 유속계와 부자 등이 많이 이용된다. 유속을 직접 관측할 수 없는 경우에는 하천 구배를 관측하여 평균 유속을 구하는 방법을 이용한다.(1) 부자에 의한 방법유하거리는 하천 폭에 2～3배 정도(큰 하천 100～200m, 작은 하천 20～50m)로 한다.* 부자의 종류 : 표면부자, 이중부자, 봉부자(2) 유속계에 의한 방법유속계를 이용하여 하천의 횡단면상에 구간을 나누어 측정한다.(3) 초음파에 의한 방법하천의 수중에 초음파를 발사한 후 되돌아 온 시간을 측정하여 구함15.7.2 평균 유속을 구하는 방법(1) 1점법수면으로부터 수심 0.6H 되는 곳의 유속을 평균 유속으로 한다.(약 5%의 오차)V_m =V_0.6(2) 2점법수심 0.2H, 0.8H 되는 곳의 유속을 평균 유속으로 한다.(약 2%의 오차)V_m = { 1} over {2} (V_0.2 +V_0.8 )(3) 3점법수심 0.2H, 0.6H, 0.8H 되는 곳의 유속을 평균 유속으로 한다.(약 0.5%의 오차)

공학/기술| 2010.05.02| 5페이지| 1,000원| 조회(737)

측량학, 지리정보, 유속측정, 사진측량학, 하천측량, 종단측량, 수심측량, 수위관..

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수치미분과 수치적분

..PAGE:1제 6 장. 수치미분과 수치적분..PAGE:21. 수치 미분미분의 정의 :차(difference)에 의해 구별한다.사이의 차이를 인식한다.도함수는 미분을 위한 기초 수단을 제공.도함수는 독립변수에 대한 종속변수의 변화율차의 근사값으로 정의 됨..PAGE:3도함수의 정의(a)에서 (c)로 가면서 x의 차이가 0으로 접근할 때 차분 근사값은 도함수가 됨..PAGE:41. 수치 미분(cont.)미분함수의 유형 :다항식, 지수함수, 삼각함수와 같은 간단한 연속함수.직접 미분하기 어렵거나 불가능한 연속함수실험적인 데이터와 같은 불연속적인 점들에서 주어진 x와 f(x)값을 도표화 시킨 함수...PAGE:51. 수치 미분(cont.)미분은 물리적 세계에서 변화 자체를 나타내는 예측 가능한 방법으로 공학문제에 널리 적용되고 있음예) 공간과 시간에 대해서 어떤 변수를 특성화 시키는 내용예) 열전도 Fourier 법칙에서 도함수는 열의 전달을 유도하는 온도변화의 크기를 나타내는 척도로 사용정확하게 도함수를 추정하는 능력이 필요함..PAGE:61. 수치 미분(cont.)수치 미분은 도함수 추정을 위해 유한 제차분 사용.보간 기법으로 데이터들에 완만한 곡선을 적합 시키고, 도함수를 산출하기 위해 이 곡선을 미분.미분 규칙..PAGE:71.1 1 차 미분법보간법을 사용하여, 보간 함수를 구하고 미분하여 미분값을 구함.x가 등 간격이면, Newton의 전향 보간 공식등 간격이 아니면, Lagrange의 보간 공식..PAGE:81.1 1차 미분법(cont.)Newton의 전향 보간 공식을 이용...PAGE:91.1 1차 미분법(cont.)x = x0에 대한 미분을 생각하면, u = 0이 되므로위의 수치 미분공식을 사용하여, 항을 하나씩 증가시켜 가다가 허용 오차 안에 들어오면, 계산을 중지이 미분공식은 좋은 근사값을 구하지 못함점(x0, y0)와 그 오른쪽 점들을 통과하는 보간함수로 표현f ’(x0)는 보간 구간의 끝점 가운데 지점에서 구하자..PAGE:101.1 1차 미분법(cont.)중심 차분 미분 공식: 전향 차분 값과 후향 차분 값을 더해서 평균한 것과 같다...PAGE:11예제6.1 & 6.2전향차분 미분pn’(1.7) = 1/h ( y0)= 6.060중심차분 미분pn’(1.7) = 1/(2h) ( y0+ y0)= 5.5109.9742.36.6861.94.4821.58.1662.15.4741.73.6691.3yx..PAGE:121.2 고차 미분법..PAGE:131.2 고차 미분법 (cont.)교재 251, [예제 6.3]n차 미분에 대하여 첫 번째 항을 취하는 경우..PAGE:142. 수치 적분적분의 정의 :부분들을 모아서 전체가 되는 것. 전체 양을 나타내는 것a에서 b까지 범위에 대한 f(x)dx 의 누적..PAGE:152. 수치 적분적분의 수학적인 표현 :초기 조건 y(a)=0이 주어졌을 때 y(b)에 대해서 미분 방정식의 해를 구하는 것과 같다.f(x)가 매우 복잡하여, F(x)를 구할 수 없는 경우나,관측 값이 주어져 f(x) 를 모르기 때문에 F(x)를 구할 수 없는 경우는보간법을 이용한다...PAGE:162. 수치 적분(cont.)Newton-Cotes 적분법 : 함수를 보간 다항식 pn(x)로 대신하여, 근사 적분 값을 구할 수 있다.수치 적분 : 적분 구간[a, b]를 n개의 소 구간으로 나누고, 그 간격을 h라고 하면, 각 소 구간의 적분 값을 구해서 더하면 전체에 대한 근사값을 얻게됨직각사각형 적분법, 사다리꼴 적분법Simpson적분법Romberg 적분법Gauss 적분법..PAGE:172.1 직각사각형 적분법(Rectangular Rule)Newton의 전향 보간 공식에서 상수항만 취한다..PAGE:182.1 직각사각형 적분법(cont.)직각 사각형 적분의 오차Taylor 급수 전개오차는 구간의 개수에 반비례 (1/n)..PAGE:192.2 사다리꼴 적분법(Trapezoidal Rule)Newton의 전향 보간 공식에서 1차 항까지 취한다한 소구간에서 적분 값은사다리꼴 면적x0x0 + hf(x0)=y0f(x1)=y1..PAGE:202.2 사다리꼴 적분법 (cont.)..PAGE:212.2 사다리꼴 적분법(cont.)사다리꼴 적분법의 오차오차가 1/n2 :구간의 개수가 2배로 늘어나면,오차는 ¼로 줄어 듬오차..PAGE:22Exercise 1[0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. n = 2일 때, 직각사각형 적분법을 이용하여라.210i0.2320.82.4560.40.20f(x)xi..PAGE:23Exercise 2[0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. n = 2 일 때,사다리꼴 적분법을 이용하여라.210i0.2320.82.4560.40.20f(x)xi..PAGE:242.3 Simpson 적분법보다 정확한 적분 값을 얻기 위하여, 점을 연결시키는 고차 다항식을 이용한다.Simpson 1/3 공식 Simpson 3/8 공식..PAGE:252.3.1 Simpson1/3 공식2차 보간 다항식을 이용세 점 x0, x1, x2을 이용하므로..PAGE:262.3.1 Simpson1/3 공식(cont.)..PAGE:272.3.1 Simpson1/3 공식(cont.)전 구간에서의 적분 값은Simpson의 1/3 적분법 공식..PAGE:282.3.1 Simpson1/3 공식(cont.)Simpson 공식의 오차등 간격인 짝수개의 간격과 홀수개의 자료 점에 대한 적분 법으로 많이 사용..PAGE:292.3.2 Simpson3/8 공식보간 다항식의 3차 항까지 취하여 구간의 개수가 홀수개인 경우 유용하게 사용할 수 있다.일 때,..PAGE:302.3.2 Simpson3/8 공식(cont.)3/8 공식의 오차(한 구간에서의 오차)..PAGE:31Exercise 3[0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. (n=4일 때)..PAGE:32Exercise 4[0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라.1. n = 3 일 때 : Simpson 3/8 공식을 이용2. n = 5 일 때 : 처음 두 구간은 Simpson 1/3 공식을 이용나머지 세 구간은 Simpson 3/8 공식을 이용..PAGE:332.4 Romberg 적분법함수의 수치 적분을 효과적으로 구하기 위하여 설계된 기법연속적으로 사다리꼴 적분 공식을 적용대각선 요소들의 값의 차이가 허용 오차 만족할 때 계산을 중지사다리꼴 적분법의 값제 1차 Romberg 적분값제 2차 Romberg 적분값..PAGE:342.4 Romberg 적분법(cont.)

공학/기술| 2010.07.04| 41페이지| 2,000원| 조회(955)

수치해석, 오차론, 미분, 수치적분, 적분

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보간법

..PAGE:1제 5 장. 보간법(Interpolation)보간법이란?선형 보간법다항식에 의한 보간법Newton 보간 공식의 차분 표현반복 선형 보간법보간다항식의 오차Spline 함수 보간법..PAGE:2ProblemDefinitionMathematicalModelNumeric orgraphic resultsImplementationDataTheoryProblem solving tools :Computer Statistics,Numerical Methods,Graphics, etc..PAGE:31. 보간법이란?측정하지 않았거나, 측정할 수 없는 값을 구해야 할 경우에 사용.x0 < x1 < < xn으로 주어진 n + 1개의 변수에 대한 함수 값을 알고 있을 때, 이들 n + 1개의 모든 점을 통과하는 근사 함수를 이용하여, 구간 [x0 , xn]내의 임의의 점 x에 대한 함수 값을 구하는 방법을 보간법이라고 한다.보간 함수로는 다항식이 주로 사용된다...PAGE:41. 보간법이란?(cont.)다항식을 이용한 보간법(n + 1)개의 데이터들이 존재한다면, 모든 점들을 통과하는 다항식은 차수가 n으로서 유일한 다항식이다...PAGE:52. 선형 보간법두 개의 점이 주어졌을 경우, 두 점을 지나는 함수 f(x)를 직선의 방정식으로 구한다.를 직선의 방정식이라고 하면, 두 점(x0, f(x0)), (x1, f(x1))를 지나는 직선을 구할 수 있다...PAGE:62. 선형 보간법(cont.)일반적으로 데이터 점들 사이의 간격이 작으면 작을수록 더욱 좋은 근사값을 얻게 됨.간격이 감소함으로써 연속함수를 직선으로 근사 시키기가 좋기 때문임...PAGE:72. 선형 보간법(cont.)Examples: 자연로그 ln 2를 계산하기ln1=0과 ln6 = 1.7917595 사이에서ln1 =0과 ln4= 1.3862944 사이에서ln2의 참값은 0.69314718..PAGE:83. 다항식에 의한 보간법(n + 1)개의 점을 지나는 다항식을 n 차 이하의 유일한 다항식으로 표시할 어진 자료 점에서 다음과 같은 관계가 성립한다...PAGE:103.1 미정 계수법(cont.)이 식을 행렬로 표현하면 다음과 같다.Gauss 소거법 등으로 계산하여, a0 , a1 ,… an을 구한다...PAGE:113.1 미정 계수법(cont.)소거법을 사용하면, 계산 시간이 많이 걸리고 오차가 많이 발생하게 됨.보간 다항식을 다르게 표현하여 계산 과정을 줄임으로써 오차를 작게 하는 방법이 필요Newton 보간법Lagrange 보간법..PAGE:123.2 Newton 보간법Newton 보간 다항식 pn(x)을 정의하고, 각 계수를 구하는 방법이다.위 식에 (n + 1)개의 점을 대입하여 연립 방정식으로 표현할 수 있다...PAGE:133.2 Newton 보간법(cont.)..PAGE:143.2 Newton 보간법(cont.)계수 행렬이 하삼각 행렬이므로 계산 횟수가 미정 계수법 보다 작아짐.모든 다항식의 계수 값을 쉽게 구할 수 있음...PAGE:153.3 Lagrange 보간법제차분 계산을 하지 않도록 Newton 다항식을 간단하게 다시 공식화 한 것.(n+1)개의 점을 지나는 n 차 이하 보간 다항식 pn(x) = L0(x)a0 + L1(x)a1 + … + Ln(x)an을 정의하고, 각 계수를 구하는 방법...PAGE:163.3 Lagrange 보간법(cont.)pn(x) = L0(x)a0 + L1(x)a1 + … + Ln(x)an 에 모든 점을 대입...PAGE:173.3 Lagrange 보간법(cont.)위 식을 계산하면, 다항식의 계수는 f(xi)인 값을 갖게 된다.Lagrange 보간 다항식 :pn(x) = L0(x)f(x0) + L1(x) f(x1) + … + Ln(x) f(xn)계산 시간이 비교적 짧고, 간단하며 자료의 구간에 관계없이 사용할 수 있음...PAGE:184. Newton보간 공식의 차분 표현유한 차분함수 f(x)의 차분은 f(x1)과 f(x2)의 차이가 된다.f(x1) f(x2)종류 :전향 차분 : f(xi)후향 차분 : f(xi의 차분.제 k 계차는 Dk 로 표시한다.계차표..PAGE:204. 차분 표현(Cont.)차분상과 보간법제1 계 차분상 :제 2 계 차분상 :제 k 계 차분상 :..PAGE:214. 차분 표현(Cont.)차분상은 Newton 보간법의 계수를 구할 수 있음...PAGE:224. 차분 표현(Cont.)Newton의 보간 공식은 다시 정의할 수 있다...PAGE:234. 차분 표현(Cont.)이 식을 Newton의 제차분 보간 다항식이라고 한다.데이터 점들이 등 간격일 필요가 없으며, 차분상 값을 계수 값으로 사용하므로 계산이 편리하다...PAGE:244.1 Newton 전향 보간식전향 차분 :Newton 전향 보간 공식n+1 개 점이 주어지고, x가 n개 등 구간으로 주어진 경우, xi+1 xi = h라고 가정...PAGE:254.1 Newton 전향 보간식(cont.)Newton의 n차 전향 보간 공식..PAGE:264.1 Newton 전향 보간식(cont.)좌표가 n개의 등구간으로 주어지면, 기점 x0를 정할 수 있다.k = (x x1) / h + 1의 정수부를 취하여,x0 = x1 + (k 1)h ,if n k + mx0 = x1 + (n m 1)h ,if n < k + m..PAGE:274.2 Newton 후향 보간식Newton의 후향 차분 : f(xi) = f(xi) f(xi-1)xi (0 i n)가 등 간격의 좌표 점이라 하면, 기점을 좌표의 끝점 xn으로 취하고, Newton의 보간 다항식을 정의하면 다음과 같다...PAGE:284.2 Newton 후향 보간식(cont.)x = xn 일 때, yn = pn(xn)이므로 xn부터 x0 까지 역으로 대입하면, 다음과 같이 된다...PAGE:294.2 Newton 후향 보간식(cont.)위의 식을 ai에, 대하여 풀면 다음과 같다.일반적으로,..PAGE:304.2 Newton 후향 보간식(cont.)계수 대입하여 식을 다시 정의.인 경우, Newton의 후향 보간식 :..PAGE:314.2 Newton 후향 보간식일 경우)xi = x1 + nh ,if k m..PAGE:325. 반복 선형 보간법두 점에서 출발하여 한 점씩 증가시켜 가면서, 선형 보간법을 적용하는 방법.바로 전단계에서 계산된 보간 값과 매우 비슷할 경우에 계산을 중지.선형 보간법을 적용할 2개의 좌표 점을 취하는 방법에 따라서Aitken 보간법Neville 보간법..PAGE:335.1 Aitken 보간법어느 한 점을 고정시키고, 나머지 점들과의 선형 보간식을 만들어 보간 값을 계산하는 방법이다.(x0, y0)와 (x1, y1)을 지나는 1차 보간식(x0, y0)와 (x2, y2)을 지나는 1차 보간식(x0, y0)와 (xi, yi)을 지나는 1차 보간식..PAGE:345.1 Aitken 보간법(cont.)보간값 p1,1(x)를 y1으로, p2.1(x)를 y2으로 pi.1(x)를 yi으로 대신하여 좌표 점을 만들면,이들 좌표 점에 대하여 다시 선형 보간식을 적용(x0, y0)와 (x1, y1), (x2, y2)을 지나는 2차 보간식..PAGE:355.1 Aitken 보간법(cont.)반복해 나가는 과정을 일반식으로 표현하면,단, j = 1, 2, …, n에 대하여 i = j, j+1, …, n..PAGE:365.1 Aitken 보간법(cont.)Aitken보간법의 계산 순서각 차수 j에 대하여 좌표 점을 n까지 모두 계산하지 않고, 계속 한 점씩 추가하면서 진행한다.124356..PAGE:375.2 Neville 보간법다음 단계의 선형 보간식을 현 단계와 인접한 두 점의 값에서 구해 나가는 방법이다.단, j = 1, 2, …, n에 대하여 i = j, j+1, …, n..PAGE:385.2 Neville 보간법(cont.)Neville 보간법의 계산 순서124356..PAGE:396. 보간 다항식의 오차Taylor급수의 절단오차 공식으로부터, n차 보간 다항식의 오차 관계식을 정의.여기에서, 는 xi와 xi+1 사이에 있다...PAGE:406. 보간 다항식의 오차(cont.)n+1차 도함수를 근사하nt.)..PAGE:446.1 Rolle의 정리를 이용한 오차(cont.)..PAGE:456.1 Rolle의 정리를 이용한 오차(cont.)..PAGE:467. Spline 함수 보간법자료 점들의 부분집합에 저차 다항식을 적용시켜나가는, 연결 다항식을 스플라인 함수라고 한다.함수는 일반적으로 완만하게 변하지만, 특정 구역에서는 급격히 변하는 경우도 있다.스플라인 함수는 국부적으로 급격히 변화하는 함수의 거동에 우수한 근사값을 제공한다...PAGE:477. Spline 함수 보간법x1x2x3x4x5x6x7x8..PAGE:487. Spline 함수 보간법(cont.)주어진 구간 [a, b]가 a = x1 < x2 < …< xn = b와 같이 (n-1)개의 소 구간으로 이루어졌을 때 차수가 k인 spline 함수 s(x)는 다음 조건을 만족해야 한다.조건 1 : s(x)는 i = 1, 2,…, n에 대한 소 구간 [xi, xi+1] 에서 k차 이하의 다항식으로 표현된다.조건 2 : s(x), s'(x), s'' (x), …, sk-1(x) 등의 도함수들은 구간 [a, b]에서 연속이어야 한다...PAGE:497. Spline 함수 보간법(cont.)두 조건을 만족하는 최소의 차수는 3차로서, 모든 소 구간[xi, xi+1]에서 3차 다항식으로 표시되는 함수를 3차 spline함수라고 한다.점(xi, yi)(xi+1, yi+1)로 주어지는 i번째 소 구간에 대한 3차식의 일반형은 다음과 같다...PAGE:507. Spline 함수 보간법(cont.)소 구간의 양 끝점 (xi, yi)와 (xi+1, yi+1)를 지나야 하므로,hi = xi+1 xi 로 놓으면,…..(식1)..PAGE:517. Spline 함수 보간법(cont.)Spline 함수 조건을 만족해야 하므로 미분하면,si 를 점(xi, yi)에서, si+1 를 점 (xi+1, yi+1)에서 2차 도함수라고 하면,..PAGE:527. Spline 함수 보간법(cont.)3차식의 계수를 구하면 다음과 같다.yi’리하면,

공학/기술| 2010.07.04| 65페이지| 2,000원| 조회(566)

수치해석, 보간법, 방정식

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연립방정식의 해법

..PAGE:1제 3장. 연립 방정식의 해법행렬과 방정식의 행렬 표현소거법행렬식과 역 행렬노름과 조건수반복법비선형 연립 방정식의 해법..PAGE:21. 행렬과 방정식의 표현연립 방정식을 동시에 만족하는 값 x1, x2,..,xn을 구하는 문제를 다룬다.연립 방정식의 종류선형 연립 방정식비 선형 연립 방정식..PAGE:31. 행렬과 방정식의 표현(cont.)행렬의 종류행렬(행의 수 n, 열의 수 m, n m), 정방 행렬 (n n)행 벡터(n = 1), 열 벡터(m = 1)대각 행렬단위 행렬전치 행렬(AT), 대칭 행렬(AT =A)삼각 행렬 ; 상삼각, 하삼각교대 행렬(AT = -A)트레이스..PAGE:41. 행렬과 방정식의 표현(cont.)행렬의 기본 연산 법칙행렬의 상등행렬의 합과 차행렬의 곱3중 대각 행렬과 역 행렬..PAGE:51. 행렬과 방정식의 표현(cont.)연립 방정식의 행렬 표현..PAGE:62. 소거법방정식을 결합하여 미지수를 소거한다.선형 연립 방정식의 해를 구하는 방법행렬식과 Cramer 공식미지수 소거법Gauss 소거법Gauss-Jordan 소거법LU 분해법과 역 행렬특수 행렬과 반복법비선형 연립 방정식의 해법..PAGE:72. 소거법(cont.)주요 용어 :피벗 원소 (pivot element) : 소거시키는 기준이 되는 대각선의 원소.피벗 행(pivot row) : 피벗 원소가 속해있는 행.선형 연립방정식의 연산 법칙 :확대 행렬의 어떤 행에도 상수를 곱할 수 있다.하나의 행에 어떤 수를 곱하여 , 다른 행에 더할 수 있다.어떤 두 행의 위치를 바꿀 수 있다...PAGE:82.1 Gauss 소거법전진 소거와 후진 대입 기법을 사용계수 행렬을 상 삼각 행렬로 변환하여, 역 대입연립 방정식이 커지면, 계산시간이 3배로 증가대부분의 노력은 소거 단계에 있다소거법의 문제점0으로 나누는 경우 피벗화반올림 오차 더 많은 유효숫자 사용불량 조건 시스템..PAGE:92.1 Gauss 소거법(cont.)1. 행렬의 표현2. 확대 행렬 A|B 생성..PAGE:102.1 Gauss 소거법(cont.)3. 전진 소거하여 상 삼각 행렬로 만든다.4. 제일 먼저 x3를 구하고, x2, x1을 차례로 전진 대입3R2+(-1)R1R27R3+4R2R3..PAGE:112.1 Gauss 소거법(cont.)문제점소거와 후진 대입하는 동안 0으로 나누어지는 경우와 계수가 0에 매우 근접해 있을 경우가 발생.피벗화로 부분적으로 해결완전 피벗화 : 계수 행렬 중 절대 값이 제일 큰 요소를 찾아 피벗 원소로 택하는 방법. 바뀐 열이 x의 차수를 변화 시키기 때문에 프로그램을 복잡하게 만들게 되므로 잘 사용되지 않는다.부분 피벗화 : 한 개의 열 내에서만 제일 큰 원소를 찾아 피벗 원소로 택하는 방법...PAGE:122.2 Gauss-Jordan 소거법미지수를 소거할 때 다른 모든 방정식에서 소거하고, 모든 행들은 피벗 요소로 나누어 정규화 된다.소거한 후에는 단위 행렬이 되므로 후진 대입할 필요가 없다.Gauss 소거법 보다 약 50% 더 연산 작업을 수행해야 하므로, Gauss 소거법이 선형 연립 방정식의 해를 얻기 위해 선호되는 방법이다...PAGE:132.2 Gauss-Jordan 소거법(cont.)3R2+(-1)R1R23R2+(-2)R1R3..PAGE:142.3 LU 분해법AX = B에서 우변 B를 소거에 포함시키지 않는다0으로 나누는 것을 피하기 위하여 피벗화 요구계수 행렬 A를 상삼각, 하삼각 행렬의 곱으로 표현해를 구하기 위한 두 단계LU 분해 단계 : AX = B LUX = B (L은 하삼각 행렬, U는 상삼각행렬)대입 단계 :LD = B를 사용하여, 전진 대입으로 D를 구한다UX = D를 이용하여 후진 대입으로 X를 구한다..PAGE:152.3 LU 분해법 (cont.)Crout 분해법대각 요소가 1인 행렬 U를 사용Cholesky 분해법L과 U의 대각 요소가 같은 행렬을 사용l11= u11, l22 = u22 , …, lnn = unnDoolittle 분해법대각 요소가 1인 행렬 L를 사용..PAGE:162.3.1 Crout 분해행렬을 행과 열에 따라 쓰면서 L과 U를 만든다..PAGE:172.3.1 Crout 분해(cont.)1열의 비교1행의 비교2열의 비교..PAGE:182.3.1 Crout 분해(cont.)3열,4열의 비교..PAGE:192.3.1 Crout 분해(cont.)특히,정리된 일반식..PAGE:202.3.2 예제LU 분해법 알고리즘LU 분해법을 사용한 역행렬 구하기..PAGE:213. 행렬식과 역 행렬행렬식Cramer공식을 수행하거나, 행렬의 불량 조건을 평가하는데 사용된다.행렬과 달리 행렬식은 하나의 수치 값이다...PAGE:223. 행렬식과 역 행렬(cont.)Cramer 공식방정식의 수가 적을 때 사용할 수 있는 기법각 미지수를 두개의 행렬식을 사용해서 분수 형태로 표현한다. 여기서 분모는 행렬식 D이고, 분자는 D의 요소 중에서 미지수를 갖는 계수의 열 위치에 상수 b1, b2, …, bn으로 대체하여 얻은 행렬식..PAGE:233. 행렬식과 역 행렬(cont.)Cramer 공식(cont.)AX = B로 부터 직접 x를 구하는 방법이다.예를 들어, i = 1이면..PAGE:243. 행렬식과 역 행렬(cont.)역 행렬행렬 A가 정방 행렬이면, A의 역 행렬인 A-1 이 존재한다.A A-1 = I역 행렬 구하기행렬 A와 단위 행렬 I를 확대 행렬로 만들고, Gauss-Jordan의 방법을 적용하여 A 의 자리가 단위 행렬이 되도록 하면 I 의 자리에서 변화된 값이 역 행렬이 된다..PAGE:253. 행렬식과 역 행렬(cont.)..PAGE:264. 크기(norm)와 조건수노름 혹은 크기(norm)은 벡터와 행렬과 같은 다중 성분 수학적 개체의 길이 또는 크기의 척도를 제공하는 값이다.xzyabc..PAGE:274. 크기와 조건수 (cont.)Norm :Euclidian norm :열 norm(1-norm) : 각 열 원소의 절대값을 합한 것 중에 최대값행 norm(-norm) : 각 행 원소의 절대값을 합한 것 중 최대값..PAGE:284. 크기와 조건수 (cont.)Norm의 특성 :||A|| 0 , 단 A=0인 경우에 ||A||=0||kA|| = k ||A|| , 단 k는 임의의 상수||A+B|| ||A|| + ||B||||AB|| ||A|| ||B||..PAGE:294. 크기와 조건수(cont.)크기를 사용하여 조건수를 정의할 수 있다.Cond[A] =Cond[A]를 행렬 조건수라고 부른다. 좋은 측정값은 조건수가 1정도가 된다.행렬 조건수를 사용한 크기의 오차에 관한 식..PAGE:304. 크기와 조건수(cont.)불량 조건을 갖는 대표적 예 : Hilbert 행렬33 Hilbert 행렬의 경우 :..PAGE:314.1 반복적인 정제연립 방정식이 불량 조건일 경우 직접법을 사용하여 구해진 해 X(0) 는 오차가 크다.이런 경우, 직접법을 반복적으로 적용해서 참값에 가까운 해를 구할 수 있다.연립 방정식 AX = B에서 직접법으로 구한 근사해 X(0)를 대입하면, AX(0) = B(0) 가 된다...PAGE:324.1 반복적인 정제(cont.)예제..PAGE:335. 특수 행렬과 반복법계수 행렬이 0을 많이 포함한 경우에 소거법 보다 빨리 근을 구할 수 있는 방법.초기 가정 값을 선정하여 정제된 추정 해를 얻기 위하여 반복.큰 연립 방정식에 적합하고, 오차는 반복 횟수로 조정할 수 있음.Jacobi 반복법Gauss-Seidel 반복법이완법..PAGE:345.1 Jacobi 반복법계수가 제일 큰 미지수가 좌변에 오도록 각 식을 정리하여 반복식의 형태로 만든다.시작점을 x1 = x2 = x3 = 0을 취해서 반복식에 대입하여 새로운 x1 , x2 , x3 값을 얻고, 이 과정을 반복한다.

공학/기술| 2010.07.04| 46페이지| 2,000원| 조회(404)

수치해석, 역행렬, 소거법, 행렬식, 연립방정식

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