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미적분의 연원과 그 역사

Prologue.어렸을 때 한 번쯤은 누구나가 다 해본 논쟁 중에 이런 질문이 있을 것이다. ‘숫자는 끝이 있을 까?’ 나의 대답은 ‘끝이 없다’ 였지만 나의 말이 맞다는 사실을 증명해 보일 수 있는 방법이 어린 내게 마땅히 없었다. 끝내 생각해 낸 것은 ‘네가 가장 마지막 수라고 생각하는 수에 0을 붙이면 더 큰 수가 생기니깐 수는 끝이 없어.’ 라는 유치하지만 지금 생각해보면 내가 ‘무한하다’라는 말에 집착을 시작하게 한 대답이었다.나뿐만 아니라 인류는 ‘극한’ 이라는 개념에 대한 동경을 갖고 있었던 것 같다. 수학계에서 극한 없이는 수학적 논의가 이루어 지기 힘들다는 사실이 이를 반증한다. 극한의 개념 없이는 논의 할 수 없는 분야 중 하나가 미적분이다. 무한 하다는 말이 없었다면 미분, 적분이 존재 할 수 있었을까. 미분이 독립 변량의 구간을 계속 무한히 좁혀 나갔을 때의 종속 변량의 순간 변화율이라는 것을 고려해 보면 ‘무한’하다는 의미는 미분과는 떼어 놓을 수 없다. 또, 적분이 미분의 역연산이라는 것을 감안해 보자면 미적분학은 극한이라는 개념과는 불가분의 관계에 있는 것이다.그렇다면 극한의 개념만이 미적분학의 발달에 영향을 주었던 것일까. 그 외의 요소는 무엇이 있으며 아름다운 도구를 처음 발견한 사람은 누구일지, 미적분이 어떻게 해서 발견되었고 발전하였는지에 대한 호기심 때문에 결국 미적분학의 역사에 대해 조사하게 되었다.보통 고등학교 교과과정에서나 대학의 미적분학 수업에서는 ‘미적분’이라는 이름에서 드러나듯이 미분을 먼저 배운 후에 적분을 배운다. 마치 덧셈을 배운 다음 뺄셈을 배우는 것과 마찬가지로 상호간에는 역의 관계가 있으며 전자가 후자에 비해 이해하기 편하기 때문인 것 같다. 하지만, 신기하게도 발견된 순서는 서로 바뀌었다. 적분의 개념은 그리스 시대부터 끊임 없이 논의 되어 왔으나 미분의 개념이 드러나기 시작한 것은 17세기 무렵이다. 따라서 적분, 미분의 차례로 논의 하고자 한다.1. 적분그리스 시대에는 건축기술과 더불어 기하학이 크니기 때문에 적분의 시초라고 보기에는 애매하다. 또한 실진법은 포물선에 한정되었을 뿐 쌍곡선과 타원에는 적용되지 못했기 때문에 한계가 많았다.극한의 개념을 처음 사용하여 적분의 개념을 확장시킨 사람은 케플러(Johannes Kepler)이다. 그는 투박한 형태의 적분법을 원뿔 곡선들의 호를 그것의 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 93개의 입체 도형의 부피를 찾는 데 적용했다. 그와 같은 입체 도형으로는 원환체가 있으며, 원에서 어떤 현을 축으로 회전시켰을 때, 큰 호와 작은 호가 회전해서 얻어지는 입체 도형들과 같은 각종 회전체들이 있다.그의 극한 개념에서 가장 유념해 볼 부분은 ‘불가 분량’이라는 개념이다. 불가분량은 한 없이 작은 양을 의미 한다. 0은 아니며 0에 한없이 가까워 지는 양. 적분에서 면적을 수많은 선으로 이루어진 것으로 간주하는 것을 보면 가장 적분의 개념과 맞닿아 있다고 볼 수 있다. 적분에서의 선은 넓이가 0에 한없이 가깝지만 그 선을 무한히 더할 경우 면적이 되기 때문이다. 무한히 작은 것과 무한히 큰 것의 곱이 유한한 것이 된다는 사실에서 ‘불가 분량’의 개념을 이용하여 면적이나 부피를 구하는 것은 기하학적으로 교묘한 솜씨를 요한다. 케플러는 이에 매우 능숙 했던 것으로 보인다. 예를 하나 들어 케플러의 방법을 소개해보겠다.왼쪽에 보이는 원기둥을 쪼갠 또 다른 원기둥을 수 없이 쪼갠 후 한 조각의 원기둥은 높이는 0에 수렴하는 부피가 불가 분량인 도형이다. 이를 수없이 더하면 결국에는 원래 구하고자 했던 원기둥의 부피가 나온다. 만약 원기둥이 아니라 옆면이 타원의 형태라면 간단히 윗면의 넓이x높이로 계산되기 힘들기 때문에 이와 같은 구적법은 매우 유용하였다.원기둥의 넓이= = h(높이=h, 밑면의 반지름=r)케플러의 불가분량에 대한 이해를 체계화 하여 책으로 출판한 사람이 카발리에리(Francesco Bonaventura Cavalieri)이다. 평면도형의 불가분량은 그 도형의 현을 의미하고, 그 평면도형은 그와 같이 평행하게 무한히같다.따라서 오른쪽 입체도형의 부피는= 이므로 반구의 부피는 2/3이다. 마지막으로 구의 부피를 구하면4이라는 결과가 나오며 이는 우리가 알고 있는 구의 부피를 구하는 공식과 일치 한다.후에 카리발리의 이 두 원칙은 토리첼리(Evangelista Torricelli), 페르마(Pierre de Fermat), 파스칼(Blaise Pascal), 배로(Isaac Barrow) 등에 의해서 효과적으로 사용되었다.카리발리의 뒤를 이어 오늘날의 적분법에 한걸음더 다가선 사람은 페르마였다. 우리가 흔히 알고 있는 고등과정에서 등장하는 구분구적법에 대한 이해는 페르마의 방법에 기초한 것이다. 페르마는 일반적인 방정식 y=에 관심을 가졌다. 페르마는 각 곡선의 넓이를 일련의 직사각형의 넓이의 합으로 근사시켰는데 이 역시 불가분량의 개념을 담고 있다.왼쪽의 그림에서 볼 수 있듯이 한 직사각형의 높이는 그 포물선과 맞닿는 함수값 f(k)이다. 그 때의 밑변의 넓이는 1/n이며 직사각형들의 넓이의 합은 이렇게 나타낼 수 있다.f() f() f() … f()=이 경우 f(x)=이므로= = 1/3정적분을 이용해 구해 보면 물론 = 1/3로 같다. 아직 부정적분과 정적분이 연결되지는 못했지만 적분의 개념을 고스란히 담고 있기 때문에 의의가 크다고 할 수 있다.17C에 접어 들면 드디어 미분과 적분과의 역연산 관계가 밝혀 진다. 그에 크게 공헌한 사람은 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠이다. 두 사람은 미분의 역연산이 부정적분이라는 것을 통해 부정적분과 정적분과의 관계를 밝혀 내었다. 두 사람중 라이프니츠가 고안하였던 integral기호 ∫는 오늘날까지 유용하게 쓰이고 있다. (∫는 합을 의미하는 라틴어 summa에서 따왔다.)구분구적법에 의존하고 있던 정적분이 어떻게 부정적분이라는 미분의 역연산과 연결되는지 간단한 증명을 소개해 보겠다.정적분 식을 왼쪽과 같이 일단 정의 하자.이고미분의 기본정의에 의해 왼쪽과 같이 정리할 수 있다.이제 아래 그림을 보면서 위의 식이 무엇을 나타내는지 지만, 페르마가 발견했던 방법도 근대적 미분법의 개념과 흡사하기 때문에 간단히만 소개해 보겠다.케플러는 함수의 증분은 통상적인 최대, 최소의 근방에서(근방이라는 뜻은 극도로 가까운이라는 극한적 개념임) 거의 무시할 수 있을 정도로 작다는 사실을 관찰했다. 페르마는 이 사실을 최대, 최소값을 결정하는 과정으로 해석했다. 그 방법은 다음과 같다. f(x)가 x에서 최대, 최소 값을 갖는다면, 그리고 e를 매우 작은 값이라고 하면, f(x)는 f(x+e)값과 거의 같을 것이다. 따라서, 임시로 f(x)=f(x+e)로 놓고 이 방정식을 푼 다음 e에 0을 대입함으로써 등식을 교정하면 된다. 그 결과로 얻어진 방정식의 근은 f(x)를 최대 혹은 최소로 만드는 값 x가 된다.다음은 페르마가 이용했던 두양의 수의 곱의 최대를 구하는 방법이다.A, BA 를 양의 수라 놓고 ABA)를 구해 보자. 이때 E는 아주 작은 수이다.ABA) = (A+EBAE)또는BE2AE = 0을 얻는다. 양변을 E로 나누면, 방정식BE2AEE = 0을 얻는다. 이제 E를 0으로 놓으면 2A=B를 얻고 이는 흔히 알려진 산술기하 평균에 의한 곱의 최대 조건과 일치한다. (A=BA 일경우 최대)페르마의 이런 방법은 미비한 점이 많지만 = 0과 동치이다. 즉 미분계수를 0으로 놓는 것과 동치이다. 그렇지만 f(x)의 도함수가 0이 되는 것이 최대 최소를 갖기위한 충분조건이 아닌 필요조건이라는 사실을 알지 못했으며, 최댓값과 최솟값을 구별하고 있지도 않다.미분법을 예견하는 데 중요한 역할을 했던 사람을 좀 더 소개하자면 배로(Isaac Barrow)가 있다. 그는 오늘날 미적분학 교과서에서 찾아볼 수 있는 ‘미분 삼각형(differential triangle)’이라고 부르는 것을 사용했다. 이를 이용하여 그림4에 주어진 곡선의 한 점P에서의 접선을 찾아보자.Q를 그 곡선 위의 점으로 P의 근방에 있다고 하자. 그러면 삼각형 PTM과 삼각형 PQR은 거의 닮은 꼴이다. 그래서 배로는 그 작은 삼각형이 무한 때문이다.(사실 미분법을 발견한 것은 뉴턴이 1676년 무렵이라고 하지만 발표는 11년 후인 1687년이기 때문에 라이프니츠가 발표했던 1686년 보다 일년가량 늦다. 그 때문에 미분법을 최초로 일반화한 사람은 공식적으로 라이프니츠로 되어 있지만 라이프니츠역시 자신이 미분법의 일반적 원칙을 확립한 것이 1676년이라고 주장하였기 때문에 둘은 거의 동시에 미분법을 발견하였다고 해도 과언이 아니다.)그는 수학자가 아니었기 때문에 주로 물리적 현상에 대한 이해를 목적으로 미분을 이용하였다.우선 변하는 양을 ‘유량(fluent)’이라고 불렀으며, 그 변화율을 그 유량의 ‘유율(fluxion)’이라고 불렀다. 만약 곡선을 생성하는 점의 세로 좌표로서의 유량을 y로 표현한다면, 그 유량의 유율은로 표현된다. 현대적인 표기로 이는 dy/dt 와 동등하다. 여기에서 t는 시간을 의미한다. 의 유율은 로 표시하고, 그 이상의 유율에 대해서도 이와 같은 방법으로 계속 진행할 수 있다.뉴턴은 또한 모멘트(moment)라는 개념을 도입했다. 모멘트는 무한히 작은 시간 동안 o의 유량이 증가하는 무한히 작은 양을 의미한다. 그래서 유량 x의 모멘트는 곱 o로 주어진다. 뉴턴은 어떠한 문제에서든지 o의 이차 이상의 거듭 제곱이 곱해져 있는 항들을 무시할 수 있다고 지적했다. 그렇게 함으로써, 곡선의 생성점의 좌표 x와 y 및 그것들의 유율 과 사이의 방정식을 얻는다.뉴턴은 다음의 삼차곡선을 고려했다.x 를 x+o로 대치하고, y를 y+o로 대치하면, 방정식을 얻는다. 이제 관계식 을 사용하고, 나머지 항들을 o으로 나눈 다음에, 아직까지도 인자로서 o을 포함하고 있는 항들을 소거하면, 방정식을 찾게 된다. 마지막 방정식을 만약 로 나눈 다음에 /에 대해서 풀면/=()/()를 얻게 된다. 물론, 현대적 표현으로는 다음과 같다./=(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx뉴턴은 유율법에 의한 상당히 많은 수의 뛰어난 적용을 만들었다. 그는 최대, 최솟값, 곡선의 접선, 곡선들의 곡률, 변곡 같다.

자연과학| 2012.06.02| 13페이지| 1,000원| 조회(325)

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