Experiment 06. 훅의 법칙조학번이름* 실험목적용수철에 가한 힘에 의한 길이 변화를 통해서 훅의 법칙을 이해한다.* 배경이론고체에 힘을 가해 변형시키는 경우, 힘의 크기가 어떤 한도를 넘지 않는 한 변형의 양은 힘의 크기에 비례한다. 이를 훅의 법칙이라고 한다.실제 고체는 힘을 가해서 변형시킬 경우 큰 변형을 일으키지 않기 때문에, 쉽게 후크의 법칙을 보여주는 탄성체로는 용수철을 이용할 수 있다. 용수철의 경우에, 용수철에 힘을 가했을 때 용수철이 늘어나는 길이(x)는 힘의 크기에 비례한다.이를 수식으로F=-kx 와 같이 표현할 수 있다.k는 용수철 상수로, 용수철의 재질, 제작방법, 굵기 등에 의해서 결정되며 단위는 [N/m]이다.위 수식에서 - 값이 붙는 이유는 작용, 반작용의 법칙 때문이다.용수철을 늘렸을 때(x > 0), 외부에서 용수철을 당기는 힘(+)에 대한 반작용으로 용수철은 외부에 당기는 힘(-)을 발휘한다.용수철을 압축시켰을 때(x < 0), 외부에서 용수철을 누르는 힘(-)에 대한 반작용으로 용수철은 외부에 미는 힘(+)을 발휘한다.2개의 용수철을 연결하여 당길 때, 용수철을 병렬로 연결했는지, 직렬로 연결했는지에 따라 전체 용수철 상수는 차이를 보이게 된다.1) 2)외부힘F=-kx로 놓고, 각 용수철의 힘은F _{1} =-k _{1} x _{1},F _{2} =-k _{2} x _{2}으로 놓는다.1) 용수철을 직렬로 연결하면,F=F _{1} =F _{2},kx=k _{1} x _{1} =k _{2} x _{2}가 된다.F=-k(x _{1} +x _{2} ),x _{1} =- {F} over {k _{1}},x _{2} =- {F} over {k _{2}} 이므로x=x _{1} +x _{2}에서{F} over {k} = {F} over {k _{1}} + {F} over {k _{2}}즉,{1} over {k} = {1} over {k _{1}} + {1} over {k _{2}}와 같이 전체 용수철 상수는 조화평균이 됨을 알 수 있다.2) 용수철을 병렬로 연결하면,F=F _{1} +F _{2},kx=k _{1} x _{1} +k _{2} x _{2}가 된다.x=x _{1} =x _{2}에서kx=k _{1} x+k _{2} x 이다.즉,k=k _{1} +k _{2}로 전체 용수철 상수는 모든 용수철 상수의 합이 됨을 알 수 있다.* 실험내용1. 실험 기재 : 실, 용수철, 카트, 엔드피스, 테이블 클램프, 힘센서, 회전운동센서, 인터페이스, Data Studio 프로그램이 탑재된 컴퓨터2. 실험 내용1) 레일의 한쪽 끝에 운동센서를, 반대쪽 끝에는 테이블 클램프에 회전운동센서를 고정시킨다. 회전운동센서는 도르래의 회전에 의하여 움직인 실의 운동을 측정하며, 힘센서는 용수철이 가하는 힘을 측정한다.2) 카트 한쪽에 실을 달고, 실을 회전운동센서의 도르래에 걸친다.3) 카트와 힘센서 사이에 용수철을 연결한다.4) Data Studio 프로그램에서 Prelab SHM 실험을 선택한다. 이 실험에서 회전운동센서를 통해 측정한 실이 움직인 거리(카트가 이동한 거리), 용수철이 힘센서에 가하는 힘을 측정할 수 있다.5) 실험 설정에서 입력장치에 회전운동센서를 택하고, 위치 측정을 선택한다. 사용하는 도르래는 가장 큰 도르래를 선택하였고 화면에 표시할 그래프는 힘과 위치 그래프로 한다.6) 실험 시작 후 수레를 이동 시킨 다음 Keep 버튼을 누를 때 마다 수레의 위치와 힘 센서에 가해지고 있는 힘이 그래프 상에 기록된다.3. 실험 순서1) 수레에 용수철 하나를 연결하고, 실에 힘을 가해 수레를 당긴다. 수레의 위치와 수레에 가하는 힘을 측정한다.2) 수레에 용수철 둘을 직렬로 연결하고, 실에 힘을 가해 수레를 당긴다. 수레의 위치와 수레에 가하는 힘을 측정한다.3) 수레에 용수철 둘을 병렬로 연결하고, 실에 힘을 가해 수레를 당긴다. 수레의 위치와 수레에 가하는 힘을 측정한다.4) 수레에 용수철 셋을 병렬 및 직렬으로 연결하고, 실에 힘을 가해 수레를 당긴다. 수레의 위치와 수레에 가하는 힘을 측정한다.5) 측정 결과로 나온 힘-위치 그래프에서 기울기=용수철 상수를 구한다.4. 실험결과항목용수철 상수(k)용수철이 하나일 때2.94두 개의 용수철을 직렬로 연결1.44두 개의 용수철을 병렬로 연결5.57병렬+직렬로 연결1.98* 고찰실험에서는 용수철 상수가 3인 용수철을 사용하였다.하지만, 실제 실험 결과를 측정한 값은 이와는 차이를 보인다.훅의 법칙F=-kx를 이용하여 늘어난 길이와 작용한 힘을 이용해 탄성력을 구해 보면,1) 용수철이 하나일 때 측정한 용수철 상수는 2.94이다.2) 두 개의 용수철을 직렬로 연결하면,k= {k _{1} TIMES k _{2}} over {k _{1} +k _{2}}이므로 단일 용수철 상수가 3일 때의 전체 용수철 상수는 1.5이다. 단일 용수철 상수가 2.94일 때 전체 용수철 상수는 계산상 1.47이며 실제 측정된 값은 1.44이다.3) 두 개의 용수철을 병렬로 연결하면,k=k _{1} +k _{2}이므로 단일 용수철 상수가 3일 때의 전체 용수철 상수는 6이다. 단일 용수철 상수가 2.94일 때 전체 용수철 상수는 5.88을 기대할 수 있으나 실제 측정값은 5.57이다.4) 세 개의 용수철을 두 개는 병렬로, 거기에 한 개를 직렬로 연결하였다면k= {k TIMES (2k)} over {3k} = {2k} over {3}가 된다. 단일 용수철 상수가 3일 때의 전체 용수철 상수의 기댓값은 2이다. 단일 용수철 상수를 2.94로 놓았을 때의 전체 용수철 상수의 기댓값은 1.96이며, 측정값은 1.98이다.항목용수철 상수(이론값)용수철 상수(측정된 k에 의한 기대값)용수철 상수(실험값)용수철이 하나일 때(k)3.002.942.94두 개의 용수철을 직렬로 연결1.501.471.44두 개의 용수철을 병렬로 연결6.005.885.57병렬+직렬로 연결2.001.961.98위와 같은 계에서, 힘이 평형을 이루어 카트는 정지되어 있다.F외부에 의해서 발생한 힘은 마찰이 없다고 가정하면 용수철에도 같은 힘을 가해야 하지만 도르래의 마찰력, 카트의 마찰력에 의해서 용수철에 가하는 힘은 처음 가해진 외부힘 보다는 감소한다. 그리고 용수철에 작용한 힘에 의해 용수철이 늘어나게 되는데, 그에 의해서 당기는 반대방향으로 탄성력이 발생한다. 그런데, 우리가 측정한 힘은 무슨 힘이지?왼쪽 끝이 고정된 용수철에서, 외부에서 오른쪽으로 당기는 힘이 작용한다면 탄성력은 외부힘의 반대방향, 왼쪽으로 작용한다. 주의해야 할 점은, 한쪽 끝이 고정되어 있다는 점이다. 즉, 장력과 마찬가지로 용수철의 양쪽으로 같은 크기의 힘이 걸리게 된다.위의 용수철에 작용하는 힘은, 사실 아래 그림과 같이 작용하는 힘이다. 양쪽으로 F외부만큼의 힘이 작용하고, 그 힘에 대한 반작용으로 용수철 중심방향으로 각각 F용수철만큼의 힘이 발생하여 이 힘이 탄성력이 된다.탄성력과 장력의 차이점은, 외부힘이 작용하는 실 또는 용수철을 강체라고 보느냐 탄성체라고 보느냐에서 발생한다. 강체인 실은, 전혀 변형이 없으므로 일종의 복원력인 탄성력이 작용할 여지가 없다고 보고, 탄성체인 용수철은, 변형을 이루었다가 원래의 모습으로 복원하려는 성질을 갖고 있으므로 원래 모습으로 돌아가려는 힘인 탄성력이 작용한다고 보는 것이다. 문제는, 죽죽 잡아당겨서 늘어난 용수철이 원래 모습으로 돌아가기 힘들 정도로 변형될 수도 있다는 점이다. 이렇게까지 물체가 변형되면 탄성한계를 넘었다고 하며, 탄성력은 어디까지나 탄성한계 내에서 물체가 변형되었을 때에서 생각한다.
Experiment 09. 회전 관성조학번이름* 실험목적회전하는 물체의 속도 변화를 통해 회전 관성을 이해한다.* 배경이론질량 m인 물체가, 길이 r인 매우 가벼운 막대에 연결되어 점 o를 중심으로 회전한다. 마찰과 같은 방해가 없다고 생각하고, 힘 Ft가 막대에 수직으로 작용한다면 이는 물체의 원 경로에 수직방향으로 작용하는 힘이 된다. 즉, Ft=mat가 되는데 이 식의 양변에 r을 곱하고 각가속도와 관련된 식을 대입하면F _{t} r=mr ^{2} alpha 가 된다.(각가속도alpha = {DELTA omega } over {DELTA t}로 나타내며, 이는 단위 시간 동안 점 o를 중심으로 회전하는 물체가 회전한 각도를 나타낸다. 접선가속도와 각가속도간의 관계는a _{t} =r alpha 이다. 원을 한 바퀴 도는 각도는 2πrad이며, 원의 둘레는 2πr 이므로 접선가속도는 원의 반지름과 각가속도를 곱한 값으로 나타낼 수 있다.) 여기서 토크tau =rF 이므로 위 식은tau =mr ^{2} alpha 로 나타낼 수 있다. (토크는 힘이 작용하는 효율과 관계있는 요소이다. 작용하는 힘의 크기, 힘의 작용점, 그리고 힘이 작용하는 각도에 의해서 힘의 효율이 결정된다.)여기서 비례상수 mr2을 질량 m인 물체의 관성모멘트라고 한다. 실제 물체는 이와 같이 원점에서 떨어진 하나의 점 모양으로 되어있지 않다. 만일, 속이 찬 원반 모양의 물체가 회전하고 있다면 원반의 각 입자에 대한 질량을 구하고, 각 입자가 원점에서 떨어진 거리를 제곱하여 관성모멘트를 구한 다음 이를 모두 합쳐야 물체 전체의 관성모멘트를 구할 수 있을 것이다. 물체 전체의 관성모멘트를I 라 하며, 이는 물체 전체의 관성모멘트 합I == sum _{} ^{} mr ^{2}으로 정의된다.왼쪽 그림과 같이 질량을 무시할 수 있는 막대기 양 끝에 질량m의 물체가 매달려 있는 막대기를 생각해 보자. 막대 중심에서부터 막대의 양 끝까지의 거리는l이다.I= sum _{} ^{} mr ^{2}에서, 반지름은l으로 둘 수 있으며 관성모멘트의 합은2ml ^{2}가 된다. 이런 식으로 각 물체의 모양에 따라서 관성모멘트를 미리구해 놓은 공식이 있다. 질량을 지니고 회전축이 막대의 중심에 위치한 막대의 관성모멘트는ML ^{2} /12(L은 막대 전체의 길이)로 나타낸다.왼쪽 그림과 같이 길이가 L인 막대의 양 끝에 무게가 같은 추가 매달려 있고(M1=M2), 질량m의 물체가 도르래에 연결된 실 아래에 매달려서 도르래를 회전시키는 실험을 실시하였다. 도르래의 질량을 무시할 때, 회전하는 전체 물체의 질량모멘트는 다음과 같이 나타낼 수 있다.I= {1} over {12} ML ^{2} +M _{1} L ^{2} +M _{2} L ^{2} = {1} over {12} ML ^{2} +2M _{1} L ^{2}힘의 작용점(이 그림에서는 알아보기 힘들지만, 원래 고정 도르래 하나를 더 설치하여 추가 아래로 당기는 힘을 도르래의 접선방향으로 바꾸어 도르래를 회전시키는 힘으로 작용케 한다)이 중심에서부터 r만큼 떨어져 있으므로tau =r TIMES mg로 나타낼 수 있다. 그러나, 도르래 위에 고정된 물체에 의해서 추는 중력가속도만큼의 빠르기보다 늦게 내려가므로 이를 감안해 준다면tau =r TIMES m(g-a)로 나타내는 것이 옳다(a는 추의 가속도=도르래의 접선가속도가 된다). 이제, 이를 회전하는 전체 물체의 질량모멘트에 대입하여 생각해 본다면tau =I alpha =r TIMES m(g-a _{t} ),a _{t} =r alpha 이므로I= {r ^{2} m(g-a _{t} )} over {a _{t}} =r ^{2} m( {g-1} over {a _{t}} )이 된다.* 실험내용1. 실험 기재 : 추(회전용)x2, 막대, 추(무게), 실, 추걸이, 고정대, 회전 운동센서, 토게이트, 테이블 클램프, 인터페이스, Data Studio 프로그램이 탑재된 컴퓨터2. 실험 내용1) 고정대에 회전 운동센서와 도르래를 연결시킨다. 도르래를 통해서 연직 하강 운동을 수평 운동으로 바꾸며, 수평운동은 다시 회전 운동 센서 접선 방향의 회전 운동으로 바뀐다.2) 회전 관성을 측정할 막대의 길이와 질량, 추의 질량을 측정한다.3) 회전 운동센서에 회전 관성을 측정할 막대와 추를 연결한다.4) 회전 운동센서의 스탭 도르래 중 큰 것에 실을 연결하고, 반대쪽 끝에 추걸이를 매단다.5) Data Studio 프로그램에서 Rotational Inertia 실험을 선택한다. 회전 운동센서를 통해서 도르래에 연결된 추의 회전운동을 측정할 수 있다.6) 추걸이에 추를 매달아서 실험을 시작한다.3. 실험 순서1) 도르래에 막대만 매달고, 추걸이에 무게를 주어 회전 운동을 측정한다.2) 막대의 양쪽으로 멀리 추를 고정한 후, 추걸이에 무게를 주어 회전 운동을 측정한다.3) 막대의 양쪽으로 가까이 추를 고정한 후, 추걸이에 무게를 주어 회전 운동을 측정한다.4) 각 실험 결과 막대 가운데에서부터 양쪽으로 고정된 추까지의 길이와 추, 막대의 질량, 매달린 추의 질량, 도르래 반지름, 접선 가속도 등을 데이터 테이블에 기입한다.4. 실험결과데이터 테이블구분막대기 질량M(kg)막대기 길이L(m)추의 질량M1=M2(kg)추까지의 길이X1=X2(m)회전관성*이론값1) 추가 없을 때0.0250.38000.000302) 긴 반경0.0250.380.0750.1850.00543) 짧은 반경0.0250.380.0750.080.0013구분추의 질량m(kg)도르래 반지름r(m)접선가속도a(m/s2)회전관성*실험값%차이실험1)0.0550.0240.7730.0003722.98%실험2)0.0550.0240.0510.006111.43%실험3)0.0550.0240.2130.001413.09%* 고찰이전 실험과는 달리, 상당히 신뢰도 높은 측정값이 나왔다. 우리가 알 수 있는 관성모멘트에 관한 식I= {1} over {12} ML ^{2} +2M _{1} X _{1} ^{2} =r ^{2} m( {g-1} over {a _{t}} )을 기반으로, 막대에 매달린 추의 위치와 접선가속도 at에 대해 생각해 보면 추의 위치가 회전중심에서 멀수록 접선가속도는 감소하고, 회전중심에서 가까울수록 접선가속도는 증가하며 이 둘 사이에는
Experiment 10. 회전 운동 에너지조학번이름* 실험목적회전운동과 자유낙하운동의 연계를 통해 회전 운동 에너지를 이해한다.* 배경이론질량 m인 물체가, 길이 r인 매우 가벼운 막대에 연결되어 점 O를 중심으로 회전한다. 마찰과 같은 방해가 없다고 생각하고, 힘 Ft가 막대에 수직으로 작용한다면 이는 물체의 원 경로에 수직방향으로 작용하는 힘이 된다. 즉, Ft=mat가 되는데 이 식의 양변에 r을 곱하고 각가속도와 관련된 식을 대입하면F _{t} r=mr ^{2} alpha 가 된다. 여기서 비례상수 mr2가 관성모멘트다.(각가속도alpha = {DELTA omega } over {DELTA t}로 나타내며, 이는 단위 시간 동안 점 o를 중심으로 회전하는 물체가 회전한 각도를 나타낸다. 접선가속도와 각가속도간의 관계는a _{t} =r alpha 이다. 원을 한 바퀴 도는 각도는 2πrad이며, 원의 둘레는 2πr 이므로 접선가속도는 원의 반지름과 각가속도를 곱한 값으로 나타낼 수 있다.) 여기서 토크tau =rF 이므로 위 식은tau =mr ^{2} alpha 로 나타낼 수 있다. 이제, 하나의 점 물체 대신에 크기가 있고 강체인 원반이 회전한다고 생각해 보면, 원반내의 모든 입자들은 같은 각가속도α를 가지고 회전하게 된다. 각각의 토크합을 모두 구해 본다면,sum _{} ^{} tau = alpha (m _{1} r _{1} ^{2} +m _{2} r _{2} ^{2} +...)= alpha sum _{} ^{} mr ^{2}와 같은 식이 나온다.이 식에서, 회전하는 물체의 관성모멘트합은I == sum _{} ^{} mr ^{2}으로 정의되며 알짜토크는 각가속도와 관성모멘트의 곱으로 표현됨을 알 수 있다.이제, 회전하는 물체의 운동에너지에 대해서 생각해 보자. 우리는 이미 운동에너지를 물체의 질량과 속도에 관계된 식,KE= {1} over {2} mv ^{2}으로 나타낼 수 있음을 알고 있다. 위의 이상하게 생긴 물체에서 생각해 보자면, 물체내의 각각의 입자들이 접선속력 v로 회전하고 있을 때 각 입자들은{1} over {2} mv ^{2}의 운동에너지를 갖게 된다. 각 입자와 회전축사이의 거리가 동일하지 않기 때문에, 물체 내의 모든 입자에 대해서 동일한 속도인 각속도를 접선속력 대신에 대입하면 각 입자들은{1} over {2} mr ^{2} omega ^{2}의 운동에너지를 갖게 된다. (v=r omega ) 우리는 물체 전체의 관성모멘트를I == sum _{} ^{} mr ^{2}로 나타낼 수 있다는 사실을 알고 있으며, 모든 입자는 동일한 각속도를 지니기 때문에 회전하는 물체의 운동에너지는KE _{r} = {1} over {2} sum _{} ^{} (mr ^{2} ) omega ^{2} = {1} over {2} I omega ^{2}로 나타낼 수 있다.* 실험내용1. 실험 기재 : 추(회전용)x2, 막대, 추(무게), 실, 추걸이, 고정대, 회전 운동센서, 토게이트, 테이블 클램프, 인터페이스, Data Studio 프로그램이 탑재된 컴퓨터2. 실험 내용1) 고정대에 회전 운동센서와 도르래를 연결시킨다. 도르래를 통해서 연직 하강 운동을 수평 운동으로 바꾸며, 수평운동은 다시 회전 운동 센서 접선 방향의 회전 운동으로 바뀐다.2) 회전 관성을 측정할 막대의 길이와 질량, 추의 질량을 측정한다.3) 회전 운동센서에 회전 관성을 측정할 막대와 추를 연결한다.4) 회전 운동센서의 작은 스탭 도르래에 실을 연결하고, 반대쪽 끝에 추걸이를 매단다.5) Data Studio 프로그램에서 GPE to KE 실험을 선택한다. 회전 운동센서를 통해서 회전하는 도르래의 각속도와 회전속력, 그리고 실에 연결된 추의 낙하속도를 측정할 수 있다.6) 추걸이에 추를 매달아서 실험을 시작한다.3. 실험 순서1) 막대의 양쪽으로 멀리 추를 고정한 후, 추걸이에 가벼운 추를 달아 운동을 측정한다.2) 막대의 양쪽으로 가까이 추를 고정한 후, 추걸이에 가벼운 추를 달아 운동을 측정한다.3) 막대의 양쪽으로 멀리 추를 고정한 후, 추걸이에 무거운 추를 달아 운동을 측정한다.4) 막대의 양쪽으로 가까이 추를 고정한 후, 추걸이에 무거운 추를 달아 운동을 측정한다.5) 위 실험의 측정결과를 데이터 테이블에 기입한다.4. 실험결과실험1)실험2)실험3)실험4)데이터 테이블구분추의 질량m(kg)회전추 질량M(kg)회전추거리x(m)관성모멘트I(kg?m2)각속도ω(rad/s)선속도vt(m/s)추변위h(m)실험1)0.0150.0760.100.00198.00.120.37실험2)0.0150.0760.150.00384.90.070.29실험3)0.0350.0760.100.0019110.160.28실험4)0.0350.0760.150.00388.00.120.33구분KE(회전)(J)KE(선운동)(J)KE(전체)(J)Δ위치E(J)%차이실험1)0.0600.000110.060-0.05411%실험2)0.0450.0000370.045-0.0433.9%실험3)0.110.000450.11-0.09613%실험4)0.120.000250.12-0.116.2%* 고찰우선적으로 감안해야 할 사항은, 유효숫자의 문제 때문에 선운동 에너지가 실제로 전체 운동에너지에 끼친 영향이 거의 없다고 간주된다는 사실이다. 측정값을 통해서 계산을 할 때, 엑셀 파일에서 계산을 하였고 유효숫자에 신경쓰지 않고 선운동에너지를 기입하여 계산하여 나온 오차값 최종 %차이에 기입하였다. 두 번째로 감안해야 할 사항은, 회전 운동의 요인이 된 질량추가 낙하했다는 사실이다. 즉, 질량추는 추변위 h의 높이만큼 연직하강운동을 하였으며, 데이터테이블에서의 위치에너지는 연직으로 하강하면서 낙하한 높이만큼 변화한 위치에너지가 된다. 즉, 위치에너지가 감소하게 되는 것이다. 이를 기반으로, 데이터 테이블의 위치 에너지 항목을 변화한 위치에너지 항목으로 수정하고 회전운동과 선운동으로 바뀐 전체 운동에너지합이 낙하를 통해 감소한 위치에너지와 더하였을 때 일치하는가, 즉 에너지가 보존되는가를 알아보는 것이 이 실험의 목적이 될 것이다.도르래의 반지름을 미리 알고 있는 상태에서, 각속도 ω를 알고 있으면 도르래에 접선인 접선속력 Vt역시 알 수 있으며, 도르래가 회전한 바퀴수를 가지고 추변위h역시 알 수 있다. 질량추의 변화한 추변위가 변화한 위치에너지가 되며(회전하는 도르래와 추의 연직 위치는 변화하지 않았다) 선속도를 통해서 질량추의 운동에너지를 구할 수 있다.
Experiment 07. 충돌 - 충격량과 운동량조학번이름* 실험목적충돌 실험을 통해서 운동량의 변화가 충격량과 일치함을 이해한다.* 배경이론운동량이란, 물체의 질량과 속도를 곱한 벡터량이다(운동량p=mv).충격량이란, 물체에 힘을 작용하여 운동 상태를 바꿀 때 가해진 충격의 정도를 나타내는 벡터량이다(충격량I=F TIMES DELTA t).즉, 물체의 운동량에 변화를 주는 물리량이 충격량이다.위의 정의를 이용해서, 두 물리량이 근본적으로 같은 물리량임을 유도해 볼 수 있다.p=mv=m TIMES (a TIMES DELTA t) ,F=ma 에서p=F TIMES DELTA t=I 가 됨을 간단하게 알 수 있다.실험에서, 운동량은 충돌 이전과 이후 속도의 변화를 통해서 알 수 있다(DELTA p=mv _{f} -mv _{i}).하지만 충격량을 구할 때는, 충돌 도중 힘이 일정하지 않기 때문에 충돌 시간 동안 힘의 변화를 시간에 대해서 정적분해서 구해야 한다(I= int _{t _{i}} ^{t _{f}} {F DELTA t}).왼쪽 그림은, 실험 결과 중 일부를 캡쳐한 것으로 힘 센서를 통해서 충돌시 측정된 힘이 충돌 도중 계속 변화함을 보여준다. 측정된 힘을 나타내는 종 모양 그래프 아래의 회색 부분의 면적이 충격량이 된다.* 실험내용1. 실험 기재 : 레일, 카트, 완충 스프링(가는거, 굵은거), 자석 범퍼, 테이블 클램프(2), 힘센서, 운동센서, 인터페이스, Data Studio 프로그램이 탑재된 컴퓨터2. 실험 내용1) 레일의 한쪽 끝에 운동센서를, 힘센서를 고정시킨다. 운동센서는 카트의 운동을 측정하여 카트의 속도를 보여주며, 힘센서는 카트가 센서에 충돌시 가하는 힘을 측정한다.2) 힘센서의 끝에 완충스프링을 연결한다.3) 테이블 클램프를 이용하여 레일에 경사를 준다.4) Data Studio 프로그램에서 Impulse 실험을 선택한다. 이 실험에서 운동센서로 카트의 속도, 힘센서로 카트가 충돌시에 가하는 힘, 그리고 실험에서 제공하는 계산을 통해서 카트의 운동량과 충격량을 측정할 수 있다.3. 실험 순서1) 힘센서에 완충스프링(가는거)을 연결한 이후에, 카트를 출발시켜 속도와 운동량, 충격량을 측정한다.2) 힘센서에 완충스프링(굵은거)을 연결한 이후에, 카트를 출발시켜 속도와 운동량, 충격량을 측정한다.3) 힘센서에 자석 범퍼를 연결한 이후에, 카트를 출발시켜 속도와 운동량, 충격량을 측정한다.4) 힘센서에 자석 범퍼를 연결한 이후, 경사에 변화를 준 상태로 카트를 출발시켜 속도와 운동량, 충격량을 측정한다.5) 힘센서에 자석 범퍼를 연결한 이후, 카트의 출발 위치를 다르게 하여 카트를 출발시켜 속도와 운동량, 충격량을 측정한다.4. 실험결과실험1)실험2)실험3)실험4)실험5)데이터 테이블구분질량(m)충격량(I)충돌전속도충돌후속도충돌전운동량충돌후운동량운동량변화(DELTA p)%차이스프링10.5030.290.28-0.260.140-0.132-0.2726%스프링20.5030.250.27-0.180.135-0.092-0.2279%자석0.5030.270.27-0.250.138-0.127-0.2652%자석+경사변화0.5030.330.32-0.300.161-0.149-0.3106%자석+출발위치변화0.5030.210.19-0.180.098-0.090-0.18810%* 고찰본 실험에 대한 명확한 이해를 위해서는, 위의 정보만 가지고는 부족한 감이 있다. 그래서 실험 결과와 그 목적을 이해하기 위해 필요하다고 생각한 몇 가지 정보를 따로 추려내어 데이터 테이블을 만들어 보았다.구분운동량의 절대값차Fmax충돌시간충격량(I)충격량/충돌시간스프링10.0083.210.150.291.93스프링20.0435.930.080.253.13자석0.0112.870.300.270.90자석+경사변화0.0124.370.250.331.32자석+출발위치변화0.0081.410.500.210.42각 그래프에서 보이는 크기는 다르지만, 가로 눈금은 각 눈금당 0.1초를 의미하므로 종모양 그래프의 시작과 끝 위치를 가지고 대략적인 충돌시간을 추정할 수 있다. 또한, Fmin의 ?값은 스프링의 흔들림에 의한 값이므로 위 그래프에서 측정한 Fmin값은 사실 0으로 생각하는 것이 맞다.충돌 속도가 거의 일치하면서, 범퍼에 차이를 보이는 실험1)과 실험2)의 차이를 보자. 실험1)에서는 가는 스프링을 사용하였고, 실험2)에서는 굵은 스프링을 사용하였다. 충돌 전후의 운동량의 절대값차를 비교해 보면, 굵은 스프링을 사용한 실험2)에서 압도적으로 큰 차이를 보여줌을 알 수 있다. 또한, 실험2)에서의 충돌시 가해진 힘의 최대치는 실험1)의 거의 두 배 정도이며, 실험2)의 충돌 시간은 실험1)의 약 절반 정도이다. 즉, 부드러운 완충장치(실험1)에서는 충돌 시간이 길어지면서 충돌시에 가해진 힘을 줄였으며, 딱딱한 완충장치(실험2)와 비교했을 때 운동량의 절대값차(흡수된 운동 에너지)가 훨씬 작았다.실험2)와 실험3)을 비교해 보면 이 차이가 더욱 명확해진다. 스프링과 달리 자석을 사용한 실험3)은 딱딱한 스프링의 실험2)보다 더욱 부드러운 완충장치를 사용했다고 말할 수 있으며, 두 실험에서의 충돌전 속도 역시 동일하기 때문에 비교가 더욱 쉽다. 더 부드러운 완충장치를 사용한 실험2)와 실험3)의 충돌시 최대힘 차이는 실험1)과 실험2)의 충돌시 최대힘 차이보다 크며, 부드러운 완충장치를 사용함으로써 충돌 시간 역시 훨씬 증가하였다. 즉, 같은 충격량을 가할 지라도 완충장치가 부드러울수록 더 긴 시간 동안 더 약한 힘을 가하는 셈이 되므로(충격량/충돌시간) 충돌시에 받는 손상은 훨씬 약하다고 말할 수 있다. 운동량의 절대값차(흡수된 운동 에너지)를 통해서도 이 점이 드러나는데, 결국 흡수된 운동에너지는 카트나 완충장치가 흡수한 에너지인 셈이므로 카트나 완충장치는 흡수한 운동에너지 만큼의 변형을 받게 될 것이다. 자동차에 사용되는 에어백의 원리는 이런 원리를 이용한 것이다. 에어백은 충돌 시간을 늘려서 운전자가 받는 손상을 줄인다.
Experiment 08. 진자의 구심력조학번이름* 실험목적진동하는 진자를 통해서 원운동의 속도 변화를 이해한다.* 배경이론원운동을 하는 물체는, 비록 일정한 속력으로 움직인다 할지라도 운동방향이 연속적으로 변화하게 되므로 등가속도 운동으로 간주할 수 있다.왼쪽 그림과 같이 일정한 속력V 로 원운동을 하고 있는 물체가 있다고 생각해 보자. 이 물체는 중심 O, 반지름 r인 원의 둘레를 따라 일정한 속력 V로 운동을 하고 있다. 그러나, 운동하는 물체의 속도는 매 순간마다 변화한다. 실에 물체를 달아서 뱅글뱅글 돌리다가 물체를 놓았을 때, 외부에 작용하는 다른 힘이 없는 환경에서는 물체가 직선을 그리면서 날아간다. 즉, 한 시점에서 물체는 원의 접선방향으로 등속운동을 하고 있다. 등속력운동시 원의 중심에 대한 원의 접선은 일정한 비율으로 계속 방향이 바뀌게 되는데, 이 때 매 접선에 대해서 속력 V가 일정하다면 속력 V의 x 축에 대해 작용하는 힘은 0이 되어야 할 것이고, 힘은 속력 V에 대해서 y축으로만 작용해야만 할 것이다. 이렇게 원의 접선을 따라서 계속 일정한 속력으로 운동할 수 있도록 해 주는 지속적으로 속력에 y축 방향으로 작용하는 가속도가 구심가속도ac 이다. 매 접선에서 수직 방향으로 작용하는 구심가속도는 결국 원의 중심방향을 향해서 작용하는 가속도이다. 원의 중심으로 계속 물체를 당기는 힘을 구심력이라 한다.구심가속도a _{c} =V ^{2} /r 으로 나타낼 수 있다. 이를 유도하기 위해서 우선 평균가속도의 개념으로 접근해 보자. 평균가속도는a _{평균} = {DELTA V} over {DELTA t}로 나타낼 수 있다. 위의 원에서 단위 시간 동안 이동한 각도를 θ로 둘 때,DELTA V는 간단하게 Vf에서 Vi를 뺀 값이다. 계산의 용이를 위해서 x축의 방향을 Vf축의 방향과 같이 놓고, x성분과 y성분으로 나누어서 계산하면a _{평균} = {DELTA V} over {DELTA t}= {1} over {DELTA t} (V _{f} TIMES 1-V _{f} cos theta )+ {1} over {DELTA t} (V _{f} TIMES 0-V _{f} sin theta )속력V = x축의 속도Vf 와 같다고 둘 수 있으며, 이동한 시간DELTA t가 0에 수렴한다고 생각하면 이동한 각도θ도 0에 수렴할 것이다.a _{순간} = lim _{theta -> 0} {( {V TIMES 1-Vcos theta } over {DELTA t} + {V TIMES 0-Vsin theta } over {DELTA t}} )= lim _{theta -> 0} {( {-Vsin theta } over {DELTA t}} )V= {r theta } over {DELTA t}로 생각하면a _{순간} = lim _{theta -> 0} {( {-V ^{2} sin theta } over {r theta }} )= {V ^{2}} over {r}을 유도할 수 있으며, 방향은 -y축 방향, 즉 원의 중심 방향이라는 것 까지 알 수 있다.가속도가 존재한다면 힘 역시 존재하게 마련이다. 구심가속도는 원의 중심으로 계속 물체를 당기는 힘 구심력에 의해서 발생한다. 구심력 Fc를, 질량 m인 물체가 원의 궤도를 따라서 움직이게 하는 힘으로 정의한다.F _{c} =ma _{c}에서, 구심력 Fc는F _{c} =mV ^{2} /r이 된다.실제로 원운동을 측정하는 데에는 여러 가지 애로사항이 마치 봄날 꽃밭에 유채꽃 만발하듯 피어날 것이므로 실제 실험에서 우리는 진자운동을 이용하여 원운동에 대한 물리적 법칙을 간접적으로 측정하였다.진자운동을 하는 물체는 항상 중력 mg와 장력 T를 받고 있으며, 진자의 위치에 따라서 장력 반대방향으로 작용하는 힘 mgcosθ와 접선방향으로 작용하는 힘 mgsinθ가 변화하게 된다. 물체를 당기는 실의 장력T는 장력 반대방향으로 작용하는 힘 mgcosθ에 대한 반작용이며, mgsinθ에 의해서 물체의 속력이 변화하게 된다.물체가 매달린 점으로부터 수직 아랫방향을 지날 때 mgsinθ는 0이므로 그 순간의 물체의 운동은 원운동과 유사하다고 생각할 수 있다. 즉 이 순간 물체의 속력을 측정하면 원운동을 하는 물체의 속력 V를 알 수 있다. 또한, 물체는 매달린 점으로부터 r만큼의 거리를 두고 원주를 왕복하고 있으므로 구심력이 발생하게 되고, 이 때 물체가 매달린 점에서 힘을 측정하면 그 힘은 mg-Fc가 되며, 우리는 구심력만을 측정하기 위해서 mg로 당기는 힘을 원점으로 놓고 힘을 측정하였다.물체가 최대높이로 올라갔을 때에 작용하는 힘도 생각해 볼 수 있다. 최대높이로 올라간 물체의 속도는 0이 되며, 이는 지속적으로 속력 V에 mgsinθ만큼의 힘이 반대 방향으로 작용해서 속력이 감소했기 때문이다. 구심력 Fc는F _{c} =mV ^{2} /r이므로 최대높이로 올라간 물체에서 작용하는 구심력은 없으며, 물체가 매달린 점에서는 mgcosθ만큼의 힘만이 측정된다.* 실험내용1. 실험 기재 : 무거운 추, 가벼운 추, 실, 고정대, 힘센서, 포토게이트, 테이블 클램프, 인터페이스, Data Studio 프로그램이 탑재된 컴퓨터2. 실험 내용1) 고정대 위에 힘센서를 고정시키고, 아래에는 포토게이트를 고정시킨다. 힘센서는 실의 장력을 측정하여 구심력을 추정할 수 있게 해 주며, 포토게이트를 통해서 추의 운동을 측정할 수 있다.2) 힘센서의 끝에 실을 매달고, 실의 끝에 추를 연결한다.3) 추가 연결된 상태에서 Tare버튼을 눌러 영점을 맞춘다.4) Data Studio 프로그램에서 Centripetal force 실험을 선택한다. 포토게이트로 추의 속력, 힘센서로 추가 원운동 시에 받는 힘을 측정할 수 있다.5) 실험 시작 이전에, 프로그램에 추의 질량과 추의 직경, 실의 길이를 입력한다.3. 실험 순서1) 실을 길게 늘인 후, 끝에는 무거운 추를 매달고 진자운동을 시작하여 힘센서에 가해지는 힘과 추의 운동을 측정한다.2) 실을 짧게 줄인 후, 끝에는 무거운 추를 매달고 진자운동을 시작하여 힘센서에 가해지는 힘과 추의 운동을 측정한다.3) 실을 길게 늘인 후, 끝에는 가벼운 추를 매달고 진자운동을 시작하여 힘센서에 가해지는 힘과 추의 운동을 측정한다.4) 실을 짧게 줄인 후, 끝에는 가벼운 추를 매달고 진자운동을 시작하여 힘센서에 가해지는 힘과 추의 운동을 측정한다.5) 각 실험 결과에서 힘 그래프는 싸인 곡선을 그린다. 그 중, 최저점을 취하여 추의 속력과 함께 데이터 테이블에 기입한다.4. 실험결과실험1)실험2)실험3)실험4)데이터 테이블구분추의 직경(m)추의 질량(kg)진자 길이(m)구심력측정치(N)추의 속력(m/s)구심력이론치(N)%차이실험1)0.0150.070.2430.4001.1840.4041%실험2)0.0150.070.1780.1800.7450.21818%실험3)0.0150.0230.2430.1341.1030.11516%실험4)0.0150.0230.1780.1601.1900.18313%* 고찰본 실험에 대한 명확한 이해를 위해서, 진자 운동의 위치와 측정되는 힘에 대한 표를 만들어 보았다.구분진자의 위치그래프에서 측정된 힘의 위치측정된 힘속력 (절대값)1최대 높이와 수직 아래의 사이이다.F=mgcosθ1-mV12/rLEFT | int _{theta _{1}} ^{theta } {gsin theta } RIGHT |2수직 아래일 때 작용하는 힘이 가장 작다.F=mg-mV2/r최대3최대 높이와 수직 아래의 사이이다.F=mgcosθ2-mV22/rLEFT | int _{theta _{2}} ^{theta } {gsin theta } RIGHT |4최대 높이일 때 작용하는 힘이 가장 크다.F=mgcosθ-00우리가 실험에서 측정 가능한 부분은 물체가 ②를 지날 때 뿐이며, 그 때의 속력을 측정하여 원운동의 속력 V로 놓고 측정된 힘을 구심력 Fc로 생각한다. 그러나, 위의 측정 결과를 보면 알 수 있다시피 그래프의 모양이 아주 아름답지 않으며 심지어 힘 측정 곡선에서 아랫부분이 깎여나가서 정확한 측정이 불가능하기도 하다. 실제 실험시 처음에는 힘 센서의 오류로 400만%의 오차율이 나오는 신비한 오차의 세계를 경험하기도 하였으니, 정확한 측정기기를 구비하지 않는 이상은 이런 실험 설계는 억지로 이론적으로 계산한 값과 측정값을 허용 가능한 오차 범위내로 끼워 맞추는 실험이 될 뿐이다.
