게임이론과 확률10104 김 건1) 목차1-1. 가위바위보 게임과 확률1-2. 책을 무작위로 펴서 더 높은 일의자리 숫자가 나오게 할 방법1-3. 성대결 게임1-4 죄수의 딜레마 게임2) 서론2-1. 연구의 목적과 필요일상의 대화에서 ‘게임‘이라는 단어는 재미로 하는 술래잡기, 휴대폰 오락, 숨바꼭질 등 일종의 가벼운 ’놀이’ 정도로 여기는 경우가 대부분이다.하지만 이 소논문에서의 게임은 상대보다 유리한 전략으로 상대를 이길 수 있는 체스나 장기 정도랑 비슷하다고 볼 수 있다.게임의 결과가 그 사람이 채택한 전략에 따라 결정되는 후자와 같은 상황은 ‘게임이론’이라는 단어를 생각하게 하는 시작단계이다. 이것과 관련된 확률과 그 확률을 높일 수 있는 방법 등을 분석하고 연구하기 위하여 이 주제를 선정했다.2-2. 주요 선행 연구 조사게임이론은 1944년 폰 노이만과 모르겐슈테른의 공저(게임의 이론과 경제행동)의 출판으로 널리 알려지게 되었다. 선행연구에는 모로우와 포웰의 국제분쟁연구, 라이커와 샙슬에 의한 정권형성ㆍ입법과정 연구, 오데슉과 콕스에 의한 선거과정 연구 등이 있다.3) 이론적 배경3-1. 게임의 원리하나의 게임은 몇 명의 참가자와 이런 참가자들이 할 수 있는 행동들(전략), 그리고 전략들의 조합에 따라 받게 되는 참가자들의 보상으로 구성된다.3-2. 게임이론이란?상호 의존적인 의사 결정에 관한 이론이다. 참가자들이 상호작용하면서 변화해가는 상황을 이해하는데 도움을 주고, 매 순간 어떻게 행동하는 것이 더 이득이 되는 지를 수학적으로 분석하는 것이다.3-3. 성과행렬이란?게임 이론에서 2인 게임의 모든 가능한 결과들에 대해 한 당사자가 상대방에게 화폐 또는 등가액을 어떻게 이전하느냐(주느냐 또는 받느냐)를 규정한 행렬3-4 안장점이란?어느 방향에서 보면 극대값이지만 다른 방향에서 보면 극소값이 되는 점4) 본론1. 가위바위보 게임참가자 A와 B가 가위바위보를 하면 두 참가자는 가위, 바위, 보의 세가지 중에서 하나를 동시에 선택해야만 한다. A와 B의 대결의 결과는 3가지 규칙이 정해져있다.1) 보는 가위를 덮는다.(이긴다)2) 바위는 가위를 부순다.(이긴다)3) 가위는 보를 자른다.(이긴다)A승자에게 1점의 성과를 주기로 하면 가위바위보 게임에 대한 성과행렬은 다음과 같다.보가위바위보0-11가위10-1바위-110BA의 이득은 B의 손실이 되고 B의 이득은 A의 손실이 된다. 행(가로)의 최소치(-1)들의 최대치가 열(세로)의 최대치(1)들의 최소치랑 다르므로 이 가위바위보 게임에는 안장점이 없다.A와 B는 각각 1/3의 확률로 세 가지(가위,바위,보) 중의 하나를 선택할 것이다. 결과적으로 9가지의 가능한 결합 (가위,가위),(가위,바위).....(보,보) 각각은 1/9의 확률로 일어나게 된다.따라서 A와 B 모두에게 돌아가는 성과는 1/9(0-1+1+1+0-1-1+1+0)=0이 된다.여기에서 가정1, B의 빈도를 달라지게 하면 결과는 달라질까?A는 1/3의 확률로 가위,바위,보 중에 하나를 계속 선택하게 하고, B를 보:1/3 가위:1/2 바위:1/6로 변경한다고 가정하면 A와 B 모두에게 돌아가는 성과는 =>(1/3×1/3×0)+(1/3×1/3×-1)+(1/3×1/3×1)+(1/2×1/3×1)+(1/2×1/3×0)+(1/3×1/2×-1)+ (1/6×1/3×-1)+(1/6×1/3×1)+(1/6×1/3×0) = 0 이 된다.2. 책을 무작위로 펴서 더 큰 일의자리 숫자가 나오게 하는 방법 (오른쪽페이지)BA참가자 A와 B가 책을 그냥 핀다고 가정하면1357913579중에 각각 하나가 나올 수 있다.(A,B)의 집합(1,1)(1,3)(1,5)(1,7)(1,9)(3,1)(3,3)(3,5)(3,7)(3,9)(5,1)(5,3)(5,5)(5,7)(5,9)(7,1)(7,3)(7,5)(7,7)(7,9)(9,1)(9,3)(9,5)(9,7)(9,9)이 표에서 A가 이기거나 비길 수 있는 방법은 15가지고 B도 15가지이다.가정1 A가 무작위로 한 장을 펴고, 거기에서 한 장을 앞으로 넘긴다면 A가 비기거나 이길 수 있는 확률이 높아진다.가정2 A가 무작위로 한 장을 펴고, 거기에서 한 장을 뒤로 넘긴다면 A가비기거나 이길 수 있는 확률이 높아진다.가정3. A가 무작위로 한 장을 펴고, 뒤로 넘기나 앞으로 넘기나 A가 비기거나 이길 수 있는 확률은 처음과 변함이 없다.3. 성대결 게임이 게임에서는 한 쌍에 부부가 저녁 시간의 기분 전환을 위해서 두 가지 중 하나를 선택해야 한다. 남편은 기분 전환으로 영화보기를 좋아하고, 아내는 외식으로 피자먹으러 가기를 좋아한다. 앞에 있는 숫자는 아내의 선호도를 나타내고 뒤에 있는 숫자는 남편의 선호도를 나타낸다. 둘 다 영화를 보러 가는 경우 여자는 2의 성과를, 남편은 3의 성과를 얻는다. 그렇다면 둘 다 피자를 먹으러 가는 경우 아내는 3의 성과를, 남자는 2의 성과를 얻는다. 그들이 각각 좋아하는 선택을 하였다면 그들은 따로 외출할 것이고 데이트의 의미가 사라지기 때문에 각각 0점의 성과를 얻는다. 그렇다면 남편과 아내 두 명 모두 이득을 볼 수는 없을까?피자영화피자3,20.0영화0,02,34. 죄수의 딜레마 게임죄수의 딜레마 게임은 한 죄수가 다른 한 명의 공범에 대해 자백을 하면 자백한 그 사람은 석방하는 반면, 다른 공범은 징역 3년을 받게 된다는 것이다. 이는 상대편 공범이 자백을 했을 경우에도 마찬가지이다. 즉, 누구든 자백을 하면 자백을 한 그 사람은 석방되지만 상대편 공범은 3년의 징역을 받는다. 그러나 두 공범이 모두 자백을 하면 각각 징역 2년을 받으며, 둘 다 자백하지 않고 묵비권을 행사하면 각각 징역 6개월을 받게 된다.구분공범 B: 묵비권(협조)공범 B: 자백(배신)공범 A: 묵비권 (협조)공범 A/B: 징역 6개월 선고공범 A: 징역 3년 선고공범 B: 석방공범 A: 자백 (배신)공범 A: 석방공범 B: 징역 3년 선고공범 A/B: 징역 2년 선고서로가 윈-윈 할 수 있는 전략은 두 사람 모두 협조를 선택하는 것이다. 이는 개인의 이기적인 선택이 두 사람 또는 모든 사람에게는 비효과적일 수 있다는 것을 보여 준다.죄수의 딜레마는 게임 이론에만 적용되지 않고 사회에 광범위하게 적용할 수 있다. 예를 들면 우리나라에 사교육 과열 현상이 벌어지고 있는데, 이는 옆집, 앞집 뒷집 아이들이 모두 학원을 다니거나 사교육을 받을 때 우리 집 아이만 안 받을 수 없어 사교육을 시키고, 모두에게 영향을 주었던 것이다.5) 결론1. 가위바위보 게임A가 가위, 바위, 보에 대한 어떤 확률집합을 선택하더라도 정확하게 0과 똑같은 결과를 얻는다. 이 사실로부터 A가 B의 등확률 혼합전략에 대해서는 그의 평균보상을 증가시킬 수 없다는 결론을 얻는다. 그러므로 등확률 선택을 혼합한 전략은 게임에 대한 균형점이 된다.2. 책을 무작위로 펴서 오른쪽 페이지의 숫자가 더 높게 나올 방법
