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이산수학 hw1 solution

이산수학 HW#1 ? sol.1. 명제(p`` LOR q)`` LAND ( LNOT q`` LOR r)`` -> (p` LOR r)이 항진명제임을 다음의 각 방법으로 증명하라 (다양한 증명기법들의 장단점을 느껴보게 하기 위한 것이니 정확히 요구된 방법으로 답안을 작성할 것). 20pa) 진리표를 사용하여pqrp`` LOR q LNOT q`` LOR r(p`` LOR q)`` LAND ( LNOT q`` LOR r)p`` LOR r(p`` LOR q)`` LAND ( LNOT q`` LOR r)`` -> (p`` LOR r)TTTTTTTTTTFTFFTTTFTTTTTTTFFTTTTTFTTTTTTTFTFTFFFTFFTFTFTTFFFFTFFTb) 동치규칙만을 이용하여(p`` LOR q)`` LAND ( LNOT q`` LOR r)`` -> (p`` LOR r)`` == LNOT LEFT [ (p`` LOR q)`` LAND ( LNOT q`` LOR r) RIGHT ] LOR (p`` LOR r) == ( LNOT p`` LAND LNOT q) LOR (q LAND LNOT r) LOR (p`` LOR r)##````` == LEFT [ p LOR ( LNOT p`` LAND LNOT q) RIGHT ] LOR LEFT [ r LOR (q LAND LNOT r) RIGHT ] == LEFT [ (p LOR LNOT p)`` LAND (p LOR LNOT q) RIGHT ] LOR LEFT [ (r LOR q) LAND (r LOR LNOT r) RIGHT ]##````` == LEFT [ T LAND (p LOR LNOT q) RIGHT ] LOR LEFT [ T LAND (r LOR q) RIGHT ] == (p LOR LNOT q) LOR (r LOR q) == p LOR r LOR (q LOR LNOT q) == p LOR r LOR T == Tc) 모순증명기법으로주어진 명제가 항진명제가 아니라고 가정하면 가정은 참, 결론은 것이 되도록p,`q,`r에 진리값을 LOR q RIGHT ] LAND LEFT [ (p LAND LNOT p) LOR LNOT q RIGHT ]#``` == (F LOR q) LAND (F LOR LNOT q) == q LAND LNOT q == Fb) 모순증명기법을 이용하여주어진 명제가 모순명제가 아니라고 가정하면 논리곱으로 연결된 각 합성명제가 모두 참이 되도록p,`q에 진리값을 할당할 수 있어야 한다. 즉p`` LOR q`:`T,``` LNOT p`` LOR q`:T,````p`` LOR LNOT q`:`T,```` LNOT p`` LOR LNOT q`:T. 그런데 첫 두 명제에서p`:`T이면q`:`T이어야 하고 이 경우 마지막 명제LNOT p`` LOR LNOT q`:F가 되어 모순이고,p`:`F이면q`:`T이어야 하지만 이 경우 세 번째 명제p`` LOR LNOT q`:F가 되어 모순이다. 따라서 주어진 명제를 참이 되게 하는 진리값은 존재하지 않으므로 주어진 명제는 모순명제이다.3. 다음 논증형식이 타당함을 증명열을 사용하여 증명하라. 50pa)LNOT (p`` LAND q)`` LAND ( LNOT p` LOR r)`` LAND (q`` LOR LNOT r)`` -> LNOT p1.` LNOT (p LAND q)``````````````````````````````````````````````````;`전제#2.` LNOT p LOR r`````````````````````````````````````````````````````````;`전제#3.`q LOR LNOT r``````````````````````````````````````````````````````````;`전제#4.` LNOT p LOR LNOT q````````````````````````````````````````````````````;`1,`드모르강#5.( LNOT p LOR r) LAND ( LNOT p LOR LNOT q)``````````;`4,5,`논리곱`논법#6.`` LNOT p LOR ( LNO3,imp#6.` LNOT s```````````````````````````````````````;`4,5,`mp#7.` LNOT s` -> ` LNOT r````````````````````;`2,`대우#8.` LNOT r```````````````````````````````````````;`6,7,`mp#7.` LNOT r LOR LNOT q``````````````````````;`6,`add#8.` LNOT (q LAND r)````````````````````;`7,`D.M.#9.` LNOT (q LAND r)` -> `p``````;`1,`imp#10.`p```````````````````````````````````````;`8,9,`mpc)(p`` -> ` LEFT ( q` LOR `r RIGHT ) )`` LAND LNOT q`` LAND (p`` LOR s`)` -> (r`` LOR s) == (p`` -> ` LEFT ( q` LOR `r RIGHT ) )`` LAND LNOT q`` LAND (p`` LOR s`)` -> ( LNOT s -> r)#== (p`` -> ` LEFT ( q` LOR `r RIGHT ) )`` LAND LNOT q`` LAND (p`` LOR s`)` LAND LNOT s` -> r1.`p -> (q LOR r)```````````````;`전제#2.` LNOT q````````````````````````````````````````;`전제#3.`p LOR s`````````````````````````````````;`전제#4.` LNOT s````````````````````````````````````````;`전제#5.` LNOT s` -> `p``````````````````````````;`3,imp#6.`p````````````````````````````````````````````;`4,5,`mp#7.`q LOR r``````````````````````````````````;`1,6,`m`````````;`모순`(q LAND LNOT q` -> `s)e)LEFT [ (p`` LAND t)`` -> `(r`` LOR s) RIGHT ] `` LAND LEFT [ q`` -> `(u`` LAND t) RIGHT ] `` LAND (u`` -> `p)``` LAND LNOT (q``` -> r)` -> `s1.`(p LAND t) -> (r LOR s)``````;`전제#2.`q -> (u LAND t)````````````````````````;`전제#3.`u -> p`````````````````````````````````````````;`전제#4.` LNOT (q -> r)``````````````````````````````;`전제#5.` LNOT ( LNOT q LOR r)`````````````````````````;`4,`imp#6.`q LAND LNOT r`````````````````````````````````````;`5,`DeMorgan#7.`q`````````````````````````````````````````````````````;`6,`단순화#8.`u LAND t`````````````````````````````````````````;`2,7,`mp#9.`u````````````````````````````````````````````````````;`8,`단순화#10.`p````````````````````````````````````````````````;`3,9,`mp#11.`t`````````````````````````````````````````````````;`8,`단순화#12.`p LAND t`````````````````````````````````````;`10,11,`and#13.`r LOR s`````````````````````````````````````;`1,12,`mp#14.` LNOT r```````````````````````````````````````````;`6,`단순화``````````;`전제#4.` LNOT r``````````````````````````````````````````````````;`전제#5.` LNOT s LOR LNOT t` -> ` LNOT p``````````````;`2,`대우,`D.M.#6.` LNOT t LOR LNOT s`````````````````````````````````;`3,`add#7.` LNOT p`````````````````````````````````````````````````;`5,6,mp`#8.`q LOR r```````````````````````````````````````````;`1,`7,`mp#9.` LNOT r` -> `q````````````````````````````````````;`8,`imp#10.`q```````````````````````````````````````````````````;`4,9,`mp5. 실수x,`y에 대해P(x,y):`xy ^{2} ) (반례:x=0이면0>y ^{2}인y가 존재하지 않음)c)FORALL x EXIST y LEFT [ P(x,y)`` -> Q(x,y) RIGHT ]: FFORALL x EXIST y LEFT [ P(x,y)`` -> Q(x,y) RIGHT ] = FORALL x EXIST y LEFT [ (x x ^{2} LEQ y ^{2} RIGHT ]: 모든 실수x에 대하여 어떤 고정된y=b가 존재하여x P(x,y) RIGHT ]: FFORALL x EXIST y LEFT [ Q(x,y)`` -> P(x,y) RIGHT ] = FORALL x EXIST y LEFT [ (x ^{2} LEQ y ^{2} ) -> (x (x EXIST x`P(x)`` LAND EXIST x`Q(x)``: TP,`Q를 동시에 만족시키는x가 존재하면P를 만족시키는x도 존재하고Q를x도 존재하므로 참.d)EXIST x`P(x)`` LAND EXIST x`Q(x)`` -> EXIST x LEFT [ P(x)`` LAND Q(x)`` RI부정:

학교| 2020.09.19| 5페이지| 1,500원| 조회(371)

수학, 이산수학, 세종대

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이산수학 hw2 solution

이산수학 HW#2 (190p)due: 2019.10.21.1. 다음 각 항을 증명하라. 35pa) 자연수n에 대하여2 ^{n} -1이 소수이면n은 소수이다. 5p(대우증명) 대우: 자연수n에 대하여n이 소수가 아니면2 ^{n} -1도 소수가 아니다.n이 소수가 아니므로n=kl(k>1,l>1)인 자연수k,`l이 존재. 그러면2 ^{n} -1= LEFT ( 2 ^{l} RIGHT ) ^{k} -1= LEFT ( 2 ^{l} -1 RIGHT ) LEFT ( LEFT ( 2 ^{l} RIGHT ) ^{k-1} + LEFT ( 2 ^{l} RIGHT ) ^{k-2} + CDOTS + LEFT ( 2 ^{l} RIGHT ) ^{1} +1 RIGHT )로 인수분해되므로2 ^{n} -1도 소수가 아니다.b)x ^{3} +x+1=0의 유리수 해는 존재하지 않는다. 10p(모순증명)x ^{3} +x+1=0이 유리수 해를 갖는다고 가정하자. 그러면 이 유리수 해는x= {b} over {a} `(a,b는``서로소인``정수)의 형태로 쓸수 있고, 이를 주어진 방정식에 대입하여 정리하면a ^{3} +a ^{2} b+b ^{3} =0.a,b가 서로소이므로a,b는 (1)a=짝수,``b=홀수, (2)a=홀수,``b=짝수 혹은 (3)a=홀수,``b=홀수 중의 하나를 만족해야 한다. 그러나a ^{3} +a ^{2} b+b ^{3} =0은 (1)의 경우는 짝수+짝수+홀수=0, (2)의 경우는 홀수+짝수+짝수=0, (3)의 경우는 홀수+홀수+홀수=0이 되어 어느 경우나 홀수=0(짝수)이 되어 모순이다. 따라서x ^{3} +x+1=0은 유리수 해를 가질 수 없다.c)3센트와5센트 우표만 이용하여8센트 또는 그 이상의 모든 우표를 만들 수 있다. 10p(수학적 귀납법) 귀납법:8센트짜리 우표는3센트 우표 하나와 5센트 우포 하나로 만들 수 있다.k GEQ 8센트 우표를 3센트와5센트 짜리 우표만으로 만들 수 있다고 가정하자. 이 때, 5센트 우표를 한 장 이상 사용하였다면 5센트 우표 대신 3센트 우 따라서 어느 경우나k센트 우표를 만들 수 있으면k+1센트 우표도 만들 수 있다. 따라서 8센트 또는 그 이상의 모든 우표는 3센트와5센트 우표만을 이용하여 만들 수 있다.(강 귀납법)8,`9,`10센트 우표는 각각3+5,`3 TIMES 3,`5 TIMES 2,``3 TIMES 2+5과 같이 3센트와5센트 우표만 이용하여 만들 수 있다 (기본단계).k GEQ 8에 대하여k-2,`k-1,`k센트 우표를 3센트와5센트 우표만으로 만들 수 있다고 가정하면,k+1센트 우표는k-2센트 우표에 3센트 우표 한 장을 더 다하여 만들 수 있으므로 귀납단계가 완성된다. 따라서 8센트 또는 그 이상의 모든 우표는 3센트와5센트 우표만을 이용하여 만들 수 있다.d) 피보나치 수열LEFT { f _{n} RIGHT } `(n GEQ 1)은f _{n} ^{2} -f _{n+1} f _{n-1} =(-1) ^{n-1} `(n GEQ 2)을 만족시킨다. 10p(수학적 귀납법) 피보나치 수열은f _{n} =f _{n-1} +f _{n-2} ,`f _{1} =f _{2} =1이므로f _{3} =2이고,n=2일 때f _{2} ^{2} -f _{3} f _{1} =1 ^{2} -2.1=-1=(-1) ^{1}이므로 성립.n=k일 때 성립한다고 가정하면, 즉f _{k} ^{2} -f _{k+1} f _{k-1} =(-1) ^{k-1} `(k GEQ 2)이면n=k+1일 때f _{k+1} ^{2} -f _{k+2} f _{k} =f _{k+1} ^{2} -(f _{k+1} +f _{k} )f _{k} =f _{k+1} ^{2} -f _{k+1} f _{k} -f _{k} ^{2} =f _{k+1} ^{2} -f _{k+1} f _{k} -(f _{k+1} f _{k-1} +(-1) ^{k-1} )#=f _{k+1} ^{2} -f _{k+1} (f _{k} +f _{k-1} )-(-1) ^{k-1} =f _{k+1} ^{2} -f _{k+1} ^{2} +(-1) ^{k} =(-1) ^{k}이므로n=k+DOTS _{(3)}a) 자연수a,`b에 대하여a를b로 나눈 몫을q, 나머지를r이라 할 때,gcd(a,b)=gcd(b,r)이 성립함을 보여라. 5p집합의 동치를 이용한 직접증명-교재 참조(모순증명)a=qb+r이고gcd(a,b)=d라 두면gcd(b,r)=d임을 보이면 된다.gcd(a,b)=d이므로d는d`|`a,``d`|`b인 가장 큰 정수이다. 그러면r=a-qb이므로d`|``r이고 따라서d는b와r의 공약수이다. 이제d가b와r의 최대공약수임을 보이면 된다. 만일d보다 큰b와r의 공약수e가 존재한다면e`|`b,``e`|`r,a=qb+r이므로e`|`a이고 따라서e는a와b의 공약수이다. 그러나 이는d ```x _{n} =c _{1} +(c _{2} +c _{3} n)2 ^{n}a)f(n)=n3 ^{n} +1``` -> ```p(n)=(d _{0} +d _{1} n)3 ^{n} +d _{2} nb)f(n)=2 ^{n} +n``` -> ```p(n)=d _{0} n ^{2} 2 ^{n} +(d _{1} +d _{2} n)nc)f(n)=n2 ^{n} +n ^{2} +1``` -> ```p(n)=(d _{0} +d _{1} n)n ^{2} 2 ^{n} +(d _{2} +d _{3} n+d _{4} n ^{2} )n5. 다음 점화관계를 풀어 일반항을 구하라. 45pa)a _{n} =4a _{n-2} +2 ^{n} -30`(n GEQ 3),``a _{1} =1,`a _{2} =4특성방정식의 근은r ^{2} -4=0,``r=±2이므로 동차점화식의 일반해는x _{n} =c _{1} .2 ^{n} +c _{2} .(-2) ^{n}.특수해는p _{n} =d _{0} .n2 ^{n} +d _{1}의 모양이고 이를 주어진 점화식에 대입하여 상수를 결정하면p _{n} =n2 ^{n-1} +10. 따라서 일반해는a _{n} =x _{n} +p _{n} =c _{1} 2 ^{n} +c _{2} (-2) ^{n} +n2 ^{n-1} +10. 초기값을 넣어 상수를 결정하면a _{n} =- {15} ^{2} -4r+3=0,``r=1,`3``` -> ```x _{n} =c _{1} +c _{2} 3 ^{n}특수해는p _{n} =d _{0} 2 ^{n} +n(d _{1} +d _{2} n)의 꼴이고 이를 주어진 점화식에 대입하여 상수를 결정하면p _{n} =-2 ^{n+2} - {1} over {4} n ^{2} - {3} over {2} n. 따라서 일반해는a _{n} =c _{1} +c _{2} 3 ^{n} -2 ^{n+2} - {1} over {4} n ^{2} - {3} over {2} n의 형태이고 초기조건a _{1} =1,`a _{2} =2을 이용하여 상수를 결정하면c _{1} =6,`c _{2} =3. 따라서 구하는 일반해는a _{n} = {15} over {8} 3 ^{n} -2 ^{n+2} - {1} over {4} n ^{2} - {3} over {2} n+ {41} over {8}.c)a _{n} =-3a _{n-1} +4a _{n-3} +3(-2) ^{n} +9`(n GEQ 3),``a _{0} =1,`a _{1} =5,`a _{2} =8특성방정식:r ^{3} +3r ^{2} -4=0,``r=1,`-2(중)``` -> ```x _{n} =c _{1} +(c _{2} +c _{3} n)(-2) ^{n}특수해는p _{n} =d _{0} n ^{2} (-2) ^{n} +d _{1} n의 꼴이고 이를 주어진 점화식에 대입하여 상수를 결정하면d _{0} =d _{1} =1이므로p _{n} =n ^{2} (-2) ^{n} +n.따라서 일반해는a _{n} =c _{1} +(c _{2} +c _{3} n)(-2) ^{n} +n ^{2} (-2) ^{n} +n의 형태이고 초기조건a _{1} =1,`a _{2} =5,`a _{3} =8을 이용하여 상수를 결정하면c _{1} =2,`c _{2} =-1,``c _{3} =-1. 따라서 구하는 일반해는a _{n} = LEFT ( n ^{2} -n-1 RIGHT ) (-2) ^{n} +n+2.6. 다음 물음에 답 ^{n-1} (a _{n} = 첫 자리수가1이 아닐 때 (즉2,`3,`4일 때) 나머지n-1개의 수가1을 짝수 개 포함하는 경우의 수3 TIMES a _{n-1} + 첫 자리수가1일 때 나머지n-1개의 수가1을 홀수 개인 포함수는 경우의 수4 ^{n-1} -a _{n-1} (총n-1자리 수4 ^{n-1}개에서1이 짝수개인 수a _{n-1}을 빼면 되므로), 즉a _{n} =3a _{n-1} +4 ^{n-1} -a _{n-1} =2a _{n-1} +4 ^{n-1}. 이를 풀면a _{n} =2 ^{n-1} +2.4 ^{n-1} (풀이과정 생략).b) 평면 위에 서로 교차하는n개의 직선이 만드는 영역의 수를a _{n}이라 할 때,a _{n}에 대한 점화식을 세우고 이를 풀어 일반항a _{n}을 구하여라 (단, 어느 세 직선도 동시에 한 점에서 만나지 않는다).a _{1} =2,``a _{n} =a _{n-1} +n`(n GEQ 2) (n-1개의 직선이 만드는 영역의 수a _{n-1}에 하나의 직선이 더 추가되어n개의 직선이 되면 각 직선과 만날 때마다 하나의 영역이 더 생기고 마지막 직선과 만날 때는 추가로 하나의 영역이 더 생기므로 총n개의 영역이 더 생긴다.) 이를 풀면a _{n} = {1} over {2} (n ^{2} +n+2) (풀이과정 생략).c)2n개의 계단이 있다. 한 번에1계단 혹은3계단만을 오를 수 있다고 할 때, 이2n개의 계단을 오를 수 있는 서로 다른 방법의 수a _{n}에 대한 점화식을 구하여라.총 계단 수가 짝수 개이고 한 번에 오를 수 있는 계단 수는 홀수 개이므로 한 번에 오를 수 있는 계단의 수로 분류를 할 수는 없다. 처음 두 번에 걸쳐서 오를 수 있는 계단 수는 1+1, 1+3 / 3+1, 3+3으로 짝수 개이므로 이를 기준으로 분류한다.-. 1+1 : 남은 계단 수는2(n-1)개로 오를 수 있는 방법의 수는a _{n-1}-. 1+3/3+1: 남은 계단 수는2(n-2)개로 오를 수 있는 방법의 수는a _{n-2}-. 3+3: 남,

학교| 2020.09.19| 5페이지| 1,500원| 조회(219)

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선형대수 HW 문제풀이

선형대수학 HW#1 (170p) - sol.1.R ^{3}상의 세 점A(2,`1,`3),`B(4,`1,`2),`C(2,`5,`-1)에 대하여 물음에 답하라. 35pa){vec{AB}}와{vec{AC}} 사이의 각을theta 라 할 때,tan theta 의 값은?:{vec{AB}} =(2,0,-1),{vec{AC}} =(0,4,-4)이므로cos theta = {{vec{AB}} BULLET {vec{AC}}} over {|| {vec{AB}} || TIMES || {vec{AC}} ||} = {4} over {sqrt {5} .4 sqrt {2}} = {1} over {sqrt {10}}.THEREFORE `tan theta =3b){vec{AB}}를{vec{AC}}방향의 성분 p와{vec{AC}}에 수직인 성분 w의 합으로 표현할 때, p와 w를 각각 구하라.:{bold{rm p it}} =|| {vec{AB}} ||cos theta TIMES {{vec{AC}}} over {|| {vec{AC}} ||} = sqrt {5} TIMES {1} over {sqrt {10}} TIMES {1} over {4 sqrt {2}} (0,4,-4)= LEFT ( 0,` {1} over {2} ,- {1} over {2} RIGHT ),{bold{rm w it}} = {vec{AB}} - {bold{rm p= it}} LEFT ( 2,- {1} over {2} ,- {1} over {2} RIGHT ) itc) b)의 결과를 이용하여TRIANGLE ABC의 넓이{1} over {2} TIMES {bar{AC}} TIMES LEFT ∥ {vec{w}} RIGHT ∥를 구하라 ({vec{w}}=w).:{1} over {2} TIMES {bar{AC}} TIMES LEFT ∥ {vec{w}} RIGHT ∥ = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {2} TIMES {3} over {sqrt {2}} =6d)TRIANGLE ABC의 넓이는{1} over {2} sqrt ^{2} - LEFT ( {vec{AB}} BULLET {vec{AC}} RIGHT ) ^{2}} = {1} over {2} sqrt {5 TIMES 32-16} = sqrt {36} =6으로 c)의 결과와 같다.2. 첨가행렬LEFT [ eqalign{2`````1```````````````````2```````:``3#1`````3``````````-4```````:``b#1`````2```a ^{2} -11```:`a} RIGHT ]에 대응하는 선형연립방정식에 대하여 다음을 구하라. 15p첨가행렬을 REF 유사형으로 만들면LEFT [ eqalign{1`````3``-4````````````````:``b#0`````1``-a ^{2} +7:``-a+b#0`````0````-5a ^{2} +45`````:`-5a+3b+3} RIGHT ]a) 해를 갖지 않기 위한 실수a,`b의 조건:a ^{2} =9이고-5a+3b+3 != 0일 때, 즉a=3,`b != 4 혹은a=-3,`b != -6b) 유일한 해를 갖기 위한 실수a,`b의 조건:a != ±3일 때c) 무수히 많은 해를 갖기 위한 실수a,`b의 조건:a ^{2} =9이고-5a+3b+3=0일 때, 즉a=3,`b=4 혹은a=-3,`b=-63. 다음 연립방정식을 가우스-조단 소거법으로 풀어 그 해를 열벡터로 표현하여라. 30pa)-2x _{2} +7x _{5} =12#2x _{1} +4x _{2} -10x _{3} +6x _{4} +12x _{5} =28#2x _{1} +4x _{2} -5x _{3} +6x _{4} -5x _{5} =-1 b)x _{1} +3x _{2} -2x _{3} +2x _{5} =0#2x _{1} +6x _{2} -5x _{3} -2x _{4} +4x _{5} =0#3x _{1} +9x _{2} -x _{3} +10x _{4} +7x _{5} =0#2x _{1} +6x _{2} +8x _{4} +4x _{5} =0a) 첨가행렬LEFT [ eqalign{0`-2````````````0````````8```4`:`0} RIGHT ]을 RREF로 바꾸면LEFT [ eqalign{1``3``0``4``0:`0#0``0``1``2``0`:`0#0``0``0``0``1:`0#0``0``0``0``0`:`0} RIGHT ].따라서해는rm {bold{x}} it =s {bmatrix{pile{pile{pile{-3#1}#0}#pile{0#0}}}} +t {bmatrix{pile{pile{pile{-4#0}#-2}#pile{1#0}}}} (s,`t는 임의의 실수).4. 연립방정식````x+2y+3z=1#`2x+5y+3z=2#````x+`````````````````8z=2에 대하여 물음에 답하라. 40pa) 이 연립방정식A rmboldx=b에 대한 첨가행렬LEFT [ A`:` RIGHT . rm {bold{b``}} rm ]을 구하라.:LEFT [ A`:` RIGHT . rm {bold{b``}} rm ] ={bmatrix{{matrix{1&2#2&5}}&{matrix{3&1#3&2}}#{matrix{1&0}}&{matrix{8&2}}}}b) 위 첨가행렬을 REF로 바꾸어 연립방정식의 해rm {bold{x}}를 구하라 (Gauss elimination).: REF로 바꾸면{bmatrix{{matrix{1&2#0&1}}&{matrix{```````3&````````1#-3&````````0}}#{matrix{0&0}}&{matrix{```````1&`-1}}}}. 따라서z=-1,`y-3z=0,`x+2y+3z=1로부터rm {bold{x}} it = {bmatrix{10#-3#-1}}.c) 위 첨가행렬을 RREF로 바꾸어 연립방정식의 해rm {bold{x}}를 구하라라 (Gauss-Jordan elimination).: RREF로 바꾸면{bmatrix{{matrix{1&0#0&1}}&{matrix{0&`````10#0&-3}}#{matrix{0&0}}&{matrix{1&``-1}}}}이므로rm {bold{x}} it = {bmatrix{10#-3#-1}}.d) c)atrix{0&0}}}}을 RREF로 바꾸면{bmatrix{{matrix{1&0#0&1}}&{matrix{0&-40#0&``````13}}&{matrix{````16&```````9#-5&-3}}#{matrix{0&0}}&{matrix{1&`````````5}}&{matrix{-2&-1}}}} = LEFT [ I _{3} RIGHT . rm {bold{`:`A ^{-1} `}} rm ]이므로A ^{-1} = {bmatrix{-40&16&````````9#```````13&-5&-3#`````````5&-2&-1}}.E _{7} CDOTS E _{2} E _{1} A=I _{3}이므로A ^{-1} =E _{7} CDOTS E _{2} E _{1} (d)의E _{i}들을 이용하여 직접 계산하여 같음을 보일 것).f) d)의 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해rm {bold{x}} it =A ^{-1} rm {bold{b}}를 구하라.:rm {bold{x}} it =A ^{-1} rm {bold{b}} it `= {bmatrix{-40&````16&```````9#``````13&-5&-3#`````````5&-2&-1}} {bmatrix{1#2#2}} = {bmatrix{10#-3#-1}}5. 행렬A= {bmatrix{1&0&1#2&1&2#1&2&2}}와B= {bmatrix{1&2&-1#0&-3&4#2&0&3}}에 대하여 계산을 통해 다음을 확인하여라. 15pa)AB != BA b)LEFT ( AB RIGHT ) ^{T} =B ^{T} A ^{T}c)(AB) ^{-1} =B ^{-1} A ^{-1}: a)AB= {bmatrix{3&2&2#6&1&8#5&-4&13}} != BA= {bmatrix{4&0&3#-2&5&2#5&6&8}}b)(AB) ^{T} = {bmatrix{3&6&5#2&1&-4#2&8&13}} =`B ^{T} A ^{T} = {bmatrix{1&0&2#2&-3&0#-1&4&3}} {bmatrix{1&2&1#0&1&2#1&2&2}} = {bmatrix{ 2C(4A) ^{-1} (4B ^{2} C ^{-1} ) ^{T} RIGHT | = LEFT ( {2} over {4} TIMES 4 RIGHT ) ^{4} TIMES LEFT | C RIGHT | TIMES {1} over {LEFT | A RIGHT |} TIMES LEFT | B RIGHT | ^{2} TIMES {1} over {LEFT | C RIGHT |} =16 TIMES {LEFT | B RIGHT | ^{2}} over {LEFT | A RIGHT |} =18c)LEFT | A RIGHT | = {dmatrix{a _{1}&a _{2}&a _{3}#b _{1}&b _{2}&b _{3}#c _{1}&c _{2}&c _{3}}} =-4일 때,LEFT | B RIGHT | = {dmatrix{3a _{2}&a _{1}&a _{3}#6b _{2} -9c _{2}&``2b _{1} -3c _{1}&``2b _{3} -3c _{3}#12c _{2}&4c _{1}&4c _{3}}}의 값은?: 오타: (1,1)의 원소가3a _{2}가 되어야 함. 총점에서 이 문항 점수 빼고, 대신 문제를 고쳐서 푼 사람들은 5점 가산.행렬B는 행렬A로부터C _{1} `C _{2} (1열과 2열 교환),3C _{1},4R _{3},2R _{2},- {3} over {4} R _{3} +R _{2}의 기본행(열)연산을 통해 얻어졌으므로LEFT | B RIGHT | = LEFT | A RIGHT | TIMES (-1) TIMES 3 TIMES 4 TIMES 2=96이다.7. 행렬A의 수반행렬이adjA= {bmatrix{{matrix{2&````````0`#0&```````2}}&{matrix{`````0&``````0#`````1&``````0}}#{matrix{```0&````4#0&``-2}}&{matrix{``3&``2#-1&````2}}}}일 때, 물음에 답하여라. 20pa)det(adjA)를 구하여라.:LEFT | adj`A RIGHT | =2 {dmatrix{2&1이므로

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세종대, 선형대수, 선형대수 HW 문제풀이

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상호배제기법조사

운영체제 상호배제기법 조사 과제상호배제는 병행성을 보장하기 위한 것으로 어떤 특정한 시점에 공유 자원에는 하나의 프로세스만 접근할 수 있게 하고 그 외의 접근은 배제시키는 것을 말한다. 즉, 공유하면 안 되는 자원의 동시 사용을 피하는 방법 중 하나이다. 상호배제 알고리즘에는 대표적으로 3가지가 있다. 그중에 Peterson Algorithm을 제외한 Dekker Algorithm과 Bakery Algorithm에 대해 알아보자.Dekker Algorithm은 두 프로세스가 동시에 임계 영역에 들어가려고 할 때 하나의 프로세스만 임계 영역에 들어가게 하는 알고리즘이다. 만약 한 프로세스가 이미 임계 영역에 있다면, 다른 프로세스는 전 프로세스가 끝날 때까지 기다린다. 이 알고리즘은 바쁜 대기(busy waiting) 알고리즘에 속한다.while (1) {...flag[i] = true;//프로세스 i가 임계 영역에 들어가려고 시도while (flag[j]) {// Pj가 임계 영역에 있는지 조사if (turn == j) { // Pj가 들어갈 기회라면flag[i] = false;//i의 진입 취소while (turn == j) ;// turn이 j에서 바뀔 때까지 순서를 기다림flag[i] = true;// 임계영역에서 j가 나오면 재진입 시도}}// 임계 영역 (critical section)...turn = j;// 임계 영역의 사용이 끝나면 turn을 넘긴다.flag[i] = false;// 임계 영역 사용 완료 지정...}Dekker Algorithm은 flag 변수와 turn 변수의 사용에 의의가 있다. flag 값은 프로세스 중 임계 구역에 들어가길 원하는지 나타내는 변수이고, turn 변수는 누가 임계 영역에 들어갈 차례(양보)인지 나타내는 변수이다. 이 변수들을 통해서 어떠한 두 프로세스도 동시에 임계 구역 안으로 들어갈 수 없게 설계되어 있다.이 알고리즘에서 Pi가 임계 구역에 들어가려면 flag[i]에 들어가겠다는 의사 표시를 True로 한다. 그리고 Pj가 똑같이 임계 구역에 들어가려 하는지를 확인한다. 만약 flag[j]가 False이어서 Pj가 임계 구역에 있지 않고, 들어가려 하지도 않음이 확인되면, Pi는 임계 구역으로 들어간다. 그러나 그렇지 않으면 Turn 변수가 j일 때, Pj에게 우선권을 내준다. Turn 변수가 i라면 flag[j]가 False가 되기를 기다린다. 임계 구역에서 나오는 프로세스는 flag[i]를 False로 함으로써 빠져나옴을 알리고, turn은 다음번에 임계 구역에 들어갈 때 충돌이 생기면 기회를 양보하기 위해 turn = j이면 Pj가 임계 구역에 진입할 자격이 주어지는 것이고, turn = i라면 Pi가 임계 구역에 진입할 자격이 주어지게 된다.이러한 설계를 통해 Dekker Algorithm은 임계 구역 밖에서 수행되는 어떠한 프로세스도 다른 프로세스를 블록 시키지 않고 어떤 프로세스도 임계 구역에 들어가기 위해 영원히 기다리는 문제는 발생하지 않는다. 따라서 Dekker Algorithm은 상호배제 조건을 만족한다.Bakery Algorithm은 2개의 프로세스에 대해서만 가능한 Peterson Algorithm과 Dekker Algorithm과는 달리 2개 이상의 프로세스에 대해서 사용 가능한 분산처리 환경에 유용한 알고리즘이다. 이 알고리즘은 각 스레드가 충돌 없이 임계 영역에 진입하고, 빠져나올 수 있다. 빵집에 사람이 너무 붐벼서 빵을 아무도 사지 못할 때, 번호표를 받고, 빵을 사기 위해 기다리는 사람들을 프로세스에 비유해서 만든 알고리즘이다.while (1) {...choosing[i] = true;// 번호표 받을 준비// 다음 번호를 생성하여 할당number[i] = max(number[0], number[1], ...,number[n-1]) + 1;//현재 실행 중인 프로세스 중 가장 큰 번호로 배정choosing[i] = false;// 번호표를 받았음.for (j = 0; j < n; j++) { //모든 프로세스에 대한 번호표 비교 루프while (choosing[j]); // 비교할 Pj가 번호표 받을 때까지 대기while (number[j]&&(number[j], j)

공학/기술| 2020.09.17| 4페이지| 2,500원| 조회(103)

운영체제, 상호배제기법, Peterson의 방식

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공업수학 중간고사

1. Solve the initial value problemDefine the proper differential equation: 1st order linear nonhomogeneous ordinary differential equation. y + ytanx = sinx, y(0) = 1This equation has a solution of y(x) = e  er(x)dx + celet define: h =  p(x)dx =  tanxdx = ln|sec x| =   1  = − | |e = e | | = e    =1sec x = cosxe = e | | = sec xer(x) = sec x sinx =1cosxsinx = tanx er(x)dx =  tanxdx = ln|sec x|y(x) = e  er(x)dx + ce = ln|sec x|cosx + ccosxusing initial value y(0) = 1, y(0) = 1 = ln  1cos0 cos(0) + ccos(0) = c, c = 1

학교| 2020.09.17| 5페이지| 1,500원| 조회(431)

수학, 공업수학, 중간고사

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