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[물리학실험] 에너지의 모습

1물리학실험 1 ? 보고서 71-7 에너지의 모습2019. 05. 21.1에너지의 모습열량계와 직류전원장치를 이용하여 전류를 이용해 외부로부터 고립되어 있지만, 계 자체에 전기에너지를 공하여 열을 공급할 수 있는 물리계를 구현하였다. 본 실험에서는 직류전원장치로부터 공급받은 열에너지가 고립된 계의 내부에너지를 어떻게 변화시키는지 실험을 통해 확인하고자 하였다. 이를 위해 열량계에 담긴 물의 양을 변화시켜가면서 온도변화로부터 계의 열용량을 측정한 후, 본격적으로 비열을 모르는 추의 비열을 구해 열의 변화량과 내부에너지의 변화량 간의 관계를 알아보았다. 또한 추가적으로, 열에너지 공급을 차단하였을 때의 온도변화로부터 열 손실율을 구해 실험값의 오차를 보정하였다. 각 실험을 통해 열에너지가 내부에너지를 어떻게 변화시키는지를 실험적으로 이해하였다.Ⅰ. 실험목적전기에너지로 고립된 실험 장치에 열에너지를 공급해 열에너지의 변화에 따른 내부에너지의 변화를 분석한다. 또, 실제 실험계에서 발생하는 열손실을 확인하여 관측된 데이터의 오차를 보정한다. 이를 통해, 본 실험에서는 열을 포함한 에너지 보존 법칙과 열의 공급에 따른 내부에너지의 변화에 대해 실험적으로 이해하고자 한다.Ⅱ. 이론적 배경1) 열과 내부에너지어떤 물리계의 질량이 변하지 않는 경우, 에너지의 이동은 열과 일, 두 가지 방식으로 이루어지는데 이때 본 실험에서 다루고자하는 열이란 온도차이로 인해 생기는 에너지의 이동을 말한다. 즉, 열은 온도차이가 나는 물리계 사이를 이동하는 방식을 말한다. 이때, 두 물리계가 평형을 이룰 때까지 열의 이동이 나타나며(두 물리계의 온도가 같아지는 열평형 상태가 될 때까지) 물체로 이동하는 열은 내부에너지의 형태로 물체에 저장된다.한편, 일반적으로 열과 열에너지라는 용어를 동일하게 이해하는 경우가 있지만, 앞서 언급한 것처럼 열은 ‘에너지의 전달방식’이고, 열에너지는 어떤 물리계에 저장되는 내부에너지를 말한다. 이러한 열의 이동방식에는 매개물이 필요한 전도와 대류, 매개물 없이 에 의존하는 경로합수이지만, 내부에너지U는 경로에 상관하지 않는 상태함수이다. 때문에 미소변화량에 대해서 경로함수는 불완전미분을, 상태함수는 완전미분을 하게 되어 위와 같은 식을 얻게 된다. 한편, 물체의 운동에서 성립하는 역학적 에너지 보존 법칙은 이 법칙에서 계에서 열의 이동이 없을 때, 내부에너지 변화량의 합과 해준 일의 변화량의 합이 동일한 경우를 말한다.본 실험에서는 실험장치(물리계)가 외부와 고립되어 있고, 외부에 해준 일이 없다. 때문에delta`W가 0이 되고, 가해준 열만큼 내부에너지가 변화하게 된다. (dQ=deltaU)3) 열량과 열의 일당량앞에서 정의한 것과 같이 열은 에너지의 이동방식을 말하는데, 이때 열에 의해서 이동한 에너지의 양을 열량이라고 한다. 열량의 단위는 cal, kcal를 사용한다.이때, 열량의 단위인 1cal는 14.5℃, 1g의 물의 온도를 1℃만큼 올리는 데 필요한 열량을 기준으로 정의되는데 물의 온도를 정한 이유는 물의 비열은 온도에 따라서 달라지기 때문이다. 구체적으로는 비열의 종류가 정적비열과 정압비열로 나누어져있는데, 온도에 따라서 부피나 압력이 달라지게 되며, 비열 값은 온도에 따라 다음과 같은 그래프를 따른다.그러나 본 실험에서 비열을 측정하는 범위의 물의 온도는 25℃에서 40℃ 근방으로, 해당 범위에서의 물의 비열은 4.190J/kg℃로 설정하여 계산하였다.4) 줄열과 계의 온도변화본 실험에서 사용하는 열량계의 가열 선에 전압V와 전류I를 가할 때, 다음과 같은 양의 전기에너지가 열로 변환된다.P=VI[J/s]이를 줄 열이라고 하며, 어떤 전기 저항체에 전기에너지를 가했을 때 발생하는 단위시간당 에너지를 말한다. 구체적으로, 전기 저항체에 전압 V를 가해 전류 I를 흐르게 만들면, 극성 입자(전자)와 저항 내의 이온들이 충돌하게 되고, 결국 전기 저항체를 구성하는 이온들이 진동하게 된다. 이는 전도의 형태로 열이 발생한 것이다. 이 열이 물로 이동하면서 내부에너지의 형태로 저장되며, 이에 따라 올라가는 의 온도가 증가하며 측정되는 온도는 물과 열량계를 포함한 실험장치의 온도변화를 의미한다.{dT} over {dt} = {P} over {q(10 ^{3} m+C)} [K/s] CDOTS (1)이때, C가 열량계의 열용량, 열량계 내의 물의 질량이 m이다. 앞의 두 식을 전개한 것처럼 열량계에 물뿐만 아니라 비열을c'이라고 가정하면 다음과 같이 시간에 따른 온도변화를 구할 수 있다.{dT} over {dt} = {P} over {q(10 ^{3} m+c prime M+C)} [K/s] CDOTS (2)한편, 앞서 온도변화를 열과 열용량으로 표현한 식들은 실험장치가 완벽하게 외부로부터 고립되어 외부로는 열의 이동이 나타나지 않는 경우에 대해서만 고려하고 전개한 것이다. 그러나 실제 실험계에서는 열량계가 완벽히 외부로부터 고립되지 않았기 때문에 열손실이 발생하게 된다. 이때의 열손실을P'이라고 하면 그 값을 다음과 같이 표현할 수 있다.P'=q(10 ^{3} m+C) {dT'} over {dt}이때 온도변화는 전기에너지의 공급 즉, 추가적인 열의 공급이 이루어지지 않을 때, 실험계로부터 외부로 열이 이동하여 실험계 내부의 온도이 낮아질 때의 것을 측정한 것이다. 이 열손실을 이용하여 앞서 구한 온도변화 식들을 수정하면, 다음과 같이 표현된다.{dT} over {dt} = {P-P prime } over {q(10 ^{3} m+C)} CDOTS (1)'##{dT} over {dt} = {P-P prime } over {q(10 ^{3} m+c prime M+C)} CDOTS (2)'Ⅲ. 실험 설계본 실험에서는 열량계 장치(단열 실린더 및 전기저항 장치), 직류 전원 장치, 디지털 온도계, 연결 전선, 실린더, 50g 추를 이용하여 실험을 진행하였다. 이를 통해, 이론적 배경에서 구한 열에너지와 열용량에 따른 온도변화 식으로부터 열량계와 추의 열용량을 측정한다. 또, 열량계의 열손실을 측정하여 실험값의 오차를 보정하여 실험값과 이론값을 비교한다.1) 열량계의 열용량(C하여 데이터를 얻는다. 온도 변화의 측정은 디지털 온도계의 단위를 0.1℃로 맞추고, 온도가 0.5℃씩 증가할 때의 시간을 측정한다. (매뉴얼 상에서는 10초마다 온도를 측정하도록 나와 있지만, 이 경우 물의 양에 따라서 온도변화의 정도가 상이하므로 중복되는 데이터가 너무 많이 발생한다. 또한, 10초 간격으로 온도를 재는 경우 온도변화가 제대로 드러나지 않게 데이터가 수집되므로 앞의 방법을 따른다.) 이때 앞서 구했던 (1)의 식을 다음과 같이 변형하여 사용한다.( {dT} over {dt} ) ^{-1} = {q(10 ^{3} m)+qC} over {P}물의 비열 c는 실험하는 온도 범위에서 4.190J/kg℃=10 ^{3}cal/kg℃를 적용한 것이고 q는 열의 해당량이다. 또한, 온도 단위는 절대온도 K로 맞추어 사용한다. 위의 식에 따라서 얻은 시간에 따른 온도변화의 역수 그래프에서 절편 값이qC/P값이며,q와P값은 주어진 값이므로 이를 통해 C값을 측정한다.3) 열량계의 열손실(P’)구하기1)에서 300ml 물을 넣은 실험데이터를 얻은 후, 온도가 내려가는 시간을 측정한다. 이때, 측정시작 시점은 디지털온도계가 직류전원장치를 제거한 후 1℃가 내려간 시점으로 한다. 특히 측정 이전에 마그네틱 바를 이용하여 물 전체의 온도를 균일하게 만든 이후에 온도감소를 측정한다. 이를 앞서 구한 열손실(P’)에 대한 식에 대입하여 열손실을 구한다.3) 비열을 모르는 추의 비열(c’) 구하기50g짜리 추를 500ml의 물을 채운 열량계에 넣고직류 전원 장치를 이용하여 실험계에 열에너지를 공급한다. 이때, 온도 측정방법은 1)에서 했던 방식과 동일한 방식을 따라서 측정하여 데이터를 수집한다. 데이터는 앞서 구했던 (2)의 식을 변형한 식에 대입하여 이용한다.{dT} over {dt} = {P-P prime } over {q(10 ^{3} m+c prime M+C)}위 식처럼 시간에 따른 온도변화의 역수 그래프를 plot했을 때 그 기울기 값으로부터 비열을 모르는 추의계 속 전기 저항장치의 구조 상 열량계에 넣은 물의 모든 부분이 균일하게 온도가 올라가도록 할 수 없다. 때문에 일정간격마다 마그네틱 바를 이용하여 물을 섞어주어야 한다. 그러나 마그네틱 바를 회전시키는 시간간격이 길어지면, 바가 회도가 올라가는 경향이 발생한다. 때문에 마그네틱 전할 때 급격하게 온바를 회전시키는 간격을 적당히 조절하여 실험을 진행해야한다.(본 실험에서는 3초 간격으로 마그네틱 바의 회전을 조절하였다.)Ⅳ. 실험 결과 및 분석1) 열량계의 열용량(C) 구하기열량계에 연결하는 직류전원 장치가 공급하는 전기에너지 및 줄열을 V=18.4[v], I=2.74[A]로 설정하여 300ml와 400ml의 물에 대한 온도변화를 측정하였다.(실험 중 장치의 고장으로 인해서 500ml는 P값을 다르게 설정하여 실험을 진행했다.)실험 중 P값을 일정하게 하여 데이터를 측정하였을 때, 이론적 배경에서 언급했던 것처럼 시간에 따른 온도변화의 역수 그래프는 선형으로 나타나게 된다. 이때, 물의 질량에 따른 (온도변화의 역수)*(전력 P)의 그래프를 구하면 다음과 같다.m=0이라고 했을 때, 즉 y절편 값은qC이므로, 구해지는 열용량 C의 값은 다음과 같다.C=113.993[J/K]2) 열량계의 열손실(P’)구하기1)의 실험 중 300ml 물에 대한 온도변화를 측정한 실험 이후, 직류 전원 장치로부터의 전력공급을 제거하고 온도가 1℃가 떨어질 때까지의 시간을 측정하여 열손실(P’)를 구하면 다음과 같다.(dT/dt)^-1C[J/K]P’0.0000303113.99310.03453) 비열을 모르는 추의 비열(c’) 구하기앞서 구한 열량계의 열용량과 열량계의 열손실을 대입하여 비열을 모르는 추의 비열(c’)을 구할 수 있다. 1)과 2)에서 온도변화의 역수 그래프를 구했던 방식과 동일하게 그래프를 Plot하면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있다.앞서 열손실을 포함한 식(2)‘을 이용하여 추의 비열을 잴 수 있다. 이때 열손실 P‘과 열량계의 열용량은 실험1)과 2)를 통해

자연과학| 2019.07.14| 5페이지| 2,000원| 조회(253)

물리학실험, 에너지의 모습, 에너지의 모습 결과보고서

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[물리학실험] 용수철 흔들이의 운동

1물리학실험 1 ? 보고서 61-6 용수철 흔들이의 운동2019. 05. 07.1용수철 흔들이의 운동실과 용수철, 무게추, 추받침을 이용하여 단조화 운동을 하는 물리계를 구현하였다. 본 실험에서는 수직방향으로 진동하는 용수철 진자와 실에 매달린 진자의 단조화 운동을 분석하고, 용수철 진자를 흔들이로 이용할 때의 물체의 운동을 수직방향과 수평방향에 대해 분석해 리사주 도형을 그려보았다. 각 실험들을 통해서 하나의 복원력이 작용할 때, 어떠한 단조화 운동이 일어나는지 확인하고 2차원 상에서 두 가지의 복원력이 작용할 때의 운동과 비교해본다. 이를 통해 복원력에 의해 단조화운동이 일어남을 실험적으로 이해하고, 두 가지 단조화운동이 결합하였을 때의 운동을 이론적으로 예측하고 확인해 본다. 또한, 공기저항에 따란 감쇠가 어떤 형태로 일어나는지 확인해본다.Ⅰ. 실험목적탄성력과 중력을 각각 복원력으로 하는 진자의 단조화 운동을 분석하고, 실제 실험에서 공기저항으로 인해 어떠한 감쇠가 일어나는지를 확인해 단조화 운동에 어떠한 영향을 미치는지 알아보고자 한다. 이를 통해, 본 실험에서는 단조화 운동에서 복원력의 작용에 따른 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 변환 관계에 대해 이해하고자 한다.Ⅱ. 이론적 배경1) 단순 조화 운동의 운동방정식단순 조화 운동이란, 물체에 작용하는 알짜힘이 오직 물체의 변위에 비례하는 복원력뿐일 때 나타나는 진동운동을 의미한다. 정확하게는 복원력과 물체가 가지고 있는 관성에 의해서 일정한 진폭을 가진 위상함수로 그 변위가 표현되는 운동을 의미하고, 아래와 같은 운동방정식을 세울 수 있다.F=m {d ^{2} x} over {dt} =-mw ^{2} x 이 미분 방정식의 해를 구하면, 변위x, 속도dot{x}, 가속도ddot{x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.x(t)=Asin(wt+ phi )#{dot{x}} (t)=wAcos(wt+ phi )#{ddot{x}} (t)=-w ^{2} Asin(wt+ phi )=-w ^{2} x(t)이때, 진폭A와 위상ph {x} over {l} =m {d ^{2} x} over {`dt ^{2}}먼저, (1)의 용수철 진자를 살펴보자. 용수철 진자의 운동방정식에서 양변을 질량 m으로 나누면 다음과 같이w를 구할 수 있다.ddot{x}+ {k} over {m} x=0#w ^{2} = {k} over {m} `` LRARROW ``w= sqrt {{k} over {m}} 이 때, 용수철 진자의 주기는 다음과 같다.T= {2pi} over {w} =2pi sqrt {{m} over {k}}동일한 방법으로 (2)의 진자의 운동을 살펴볼 수 있는데, 이 때,theta가 작아sin`theta` SIMEQ `theta의 근사를 사용할 수 있는 경우에 한해서 주기를 구할 수 있다.T= {2pi} over {w} =2pi sqrt {{l} over {g}}이때 각각의 식에서 나타나는 물리량w는 각속도의 단위를 따르지만, 물체의 구성하는 요소에 의해 정해지는 고유진동수라고도 불린다.한편, 용수철 진자에 대해 구한 주기는 용수철의 질량을 고려하지 않고 이론적으로만 성립하는 값이다. 실제 실험계에선 용수철의 무게가 존재하여 계가 가지고 있는 역학적 에너지에 대한 식에 용수철 자체의 운동에너지를 포함하여 기술해야한다. 이때, 용수철의 질량 m의 분포는 균일하며, 이를 n개로 나누었을 때 각 부분의 운동에너지를 포함해 다음과 같이 기술할 수 있다.U _{spring} +U _{gravity} +T=const.#1/2k(x+ TRIANGLE x) ^{2} -mgx+1/2M` {dot{x}} ^{2} + sum _{i=1} ^{n} 1/2 {m} over {n} ( {i} over {n} {dot{x}} ) ^{2} =const.위의 식을n -> INF 하여 시간 t에 대해 미분하고, 변위에 대해서 정리하면 다음과 같이 질량을 고려한 용수철 진자의 주기를 구할 수 있다.T=2pi sqrt {{M+m/3} over {k}}2) 감쇠 진동하는 물체의 운동방정식앞서 유도했던 단조화 진동의 주기은 무한정 진동하데, 이를 앞에 유도한 운동방정식에 대입하면, t의 계수lambda에 대한 특서방정식이 구해지며, 그에 대한 근의 공식을 구할 수 있다. 이때 근의 종류가 3가지로 나타나며, 이에 따라서 감쇠진동의 형태는 3가지로 나타난다.x(t)=ae ^{lambda t}lambda = {-c± sqrt {c ^{2} -4km}} over {2m}판별식의 값이 0일 때의 저항계수를 임계감쇠계수라고 하고, 이를 기준으로 감쇠비zeta를 다음과 같이 나타낼 수 있다.zeta =c/c _{cr} =c/2 sqrt {km} =c/2mw이를 앞서 구한lambda의 근의 공식에 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.lambda=-zeta`w±w sqrt {zeta ^{2} -1}한편, 모든 감쇠진동의 운동방정식은 지수함수와 삼각함수의 곱으로 나타나게 되며, 시간이 지나면 결국 변위가 0이로 가는 운동을 한다. 이때zeta의 값이 0과 1 사이인 경우, 시간이 지남에 따라 진동의 진폭이 줄어드는 일반감쇠운동을 하고,zeta가 1보다 큰 경우는 지수함수의 합으로 나타나며 변위가 급격히 증가했다가 진동없이 감소하는 과도감쇠가 나타난다. 마지막으로zeta가 1인 경우는 다항함수와 지수함수의 곱으로 나타나며, 진동없이 가장 빠르게 정지상태로 감소하는 임계감쇠가 일어난다. 각각의 감쇠운동의 변위를 그래프로 plot하면 다음과 같이 나타난다.3) 2차원 진동하는 물체의 운동 ? 리사주 도형2차원에서 물체가 각 축에 대해서 단조화 운동을 하는 운동의 경우, 각 축에 대한 운동의 주기와 진폭에 따라서 특이한 운동 형태를 보이게 된다. 이를 리사주 운동이라고 부르며, 각 축에 대한 운동의 시간에 따른 변위를 plot하면 리사주 도형이라고 불리는 궤적이 만들어진다. 이때, 각 축이 서로다른 복원력을 받고 있으면, 서로 다른 고유진동수, 위상, 진폭으로 진동을 하는데, 그 주기가 정수 비인 경우 닫힌 리사주 도형을 그리게 된다.한편, 본 실험에서는 용수철 진자를 이용하여 두 축에 대한 단조화 진동을 구현하 ^{2} x} over {dt ^{2}} +w _{s} ^{2} x=(w _{s} ^{2} -w _{p} ^{2} )(x ^{2} /L) 이때, x의 크기가 매우 작다면, 우변의 항들으 무시할 수 있게 되고, 이 경우에는 두 축에 대해 결합되지 않고 단조화 운동이 일어나게 된다. 그러나, x가 증가하면 우변의 항들에 의해서 두 운동이 결합하게 되어, 각 축의 운동에 대해 특정 변화가 주기적으로 일어나는 리사주 운동을 하게 된다. 한편, 두 각진동수w _{s} ,w _{p}의 관계에 따라 같을 때에는 x의 크기에 상관없이, 초기위상에 따라서 직선, 타원, 원형의 리사주 곡선을 그리게 된다. 또한, 알려진 바에 따르면 두 각진동수가 정수비를 띄는 경우 아래와 같이 독특한 형태의 리사주 도형을 그리게 된다.Ⅲ. 실험 설계본 실험에서는 용수철과 용수철용 스탠드, 실, 추 받침(72g), 무게추(20g, 50g, 100g)을 이용하여 실험을 진행하였다. 이를 통해, 용수철 진자와 실-진자에 대해 각각 복원력으로 작용하는 힘의 변화에 따른 주기가 이론값과 실험값이 일치하는지를 확인하고, 용수철 진자를 용수철 흔들이로 사용하여 2차원 상의 물체의 진동을 분석하고, 리사주 도형을 그렸다. 또한, 실험계에 작용하는 저항력에 따른 감쇠 진동이 어떤 패턴인지 확인하였다.1) 용수철 진자의 주기 측정먼저, 실험에 사용하는 용수철의 상수를 측정하였다. 용수철의 질량은 10g이다. 물론, 자연상태에 수직방향으로 놓여진 용수철의 경우 중력에 의해서 늘어짐이 발생하지만, 용수철의 질량에 비해 사용하는 무게 추(20g 50g 100g)+추받침(72g)이 약 10배 이상이기 때문에 용수철 자체의 무게에 의한 효과를 무시하고 용수철 상수를 측정하였다.다음으로, 앞에서 구한 용수철 상수를 토대로, 앞서 유도했던 용수철 진자의 주기와 실험값이 일치하는지를 확인하고, 진자의 변위가 시간에 따라 나타내는 감쇠진동이 무엇인지 실험적으로 확인한다. 이때 사용한 물체의 무게는 받침추(72g)에 무게추를 ulum을 구현한다. 이때의 운동을 촬영하여 x축과 y축에 대하여 리사주 도형을 그려본다. 이때, 임의로 초기조건을 주어 실험하고, java 프로그램으로 확인해본다.각 실험에서 모두 추받침과 무게추가 분리되는 것을 주의하여 실험해야한다. 특히, 용수철 진자의 경우 용수철을 적당한 길이만큼만 늘려야한다. 만약 적당한 길이 이상을 늘리는 경우, 무게추와 추받침이 분리될 경우가 발생하며 이 경우 무게추와 추받침의 충돌에 의한 역학적 에너지 손실이 발생할 수 있다. 또한, 하나의 평면에서만 운동할 수 있도록 용수철 진자를 당기고 각도를 줄 때 주의해야한다.Ⅳ. 실험 결과 및 분석먼저 용수철 상수k를 구하기 위-해, 용수철에 추받침과 무게추를 이용하여 72g+(20g, 50g, 100g) 총 3가지 경우로 늘어난 길이를 측정하였다. 각 경우에 다하여 F-x로 Plot하여 그 기울기를 구하면, 용수철 상수 k를 구할 수 있다. 이때 중력가속도는 9.8로 계산하였다.위와 같이 실험데이터에 대해 선형회귀선을 얻었을 때, 회귀분석의 결정계수R ^{2}값이 1이므로 상당히 정확한 시험이 행해졌으며, 그래프의 기울기로부터 실험에 사용하는 용수철의 용수철 상수k는 다음과 같이 구해진다.k=4.9524[N/m]1) 용수철 진자의 주기 측정앞서 구한 용수철 상수에 따라 각각 72g(추받침), 92g, 122g으로 물체의 무게를 바꿔가면서 실험하고 그 주기를 구하였다. 이 때. 각 실험에 따른 주기는 엑셀 프로그램에서 추세선을 사용할 수 없어 Tracker 프로그램에서 사용하는 회귀분석을 통해 가장 작은 Rms편차를 가지는 사인함수를 얻어내고, 그때의w값을 이용해 주기T를 구하였다. 주기의 단위는 [s]이다.72g92g122g이론-m(0)0.77490.87180.9996실험-주기0.77130.86920.9945오차율0.46%0.29%0.51%공기저항을 무시하고 실험값과 이론값을 비교했을 때 매우 작은 오차율을 보였으나, 측정 시간을 길게 하여 그래프를 얻으면 위와 같이 점차 진폭이 줄어이다.

자연과학| 2019.07.14| 5페이지| 2,000원| 조회(254)

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[물리학실험] 자이로스코프

1물리학실험 1 ? 보고서 51-5 자이로스코프2019. 04. 301자이로스코프회전바퀴와 고정축, 균형추로 이루어진 자이로스코프 실험장치를 이용하여 세차운동과 장동운동을 구현하였다. 본 실험에서는 무게추로 만든 외부 토크가 자이로스코프의 운동에 어떠한 영향을 미치는지를 2가지 실험을 통해 분석하였다. 첫 번째 실험에서는 자이로스코프의 관성 플라이휠이 회전할 때, 무게추가 만드는 중력에 의한 토크에 따라서 세차운동이 발생하는 것을 확인하고, 세차각속도를 측정하여 이론치와 비교하였다. 두 번째 실험에서는 자이로스코프의 초기 세차운동 각속도에 따라서 장동운동 패턴을 관측하고, 이를 이론적으로 얻을 수 있는 궤적과 비교하였다. 또한, 마찰에 의한 토크가 두 운동에 미치는 영향을 이론적으로 예측하고 실험상에서 확인하였다. 이를 통해 3차원 강체의 회전운동에서 토크와 각운동량 사이의 관계를 실험적으로 이해할 수 있었다.Ⅰ. 실험목적앞서 진행했던 시지프스의 고민(1-3), 당구의 역학(1-4)과 달리, 물체의 회전축이 회전운동을 하는 자이로스코프의 운동을 분석하고, 실제 실험에서 마찰에 의한 토크가 운동에 미치는 영향을 알아보고자 한다. 이를 통해, 본 실험에서는 3차원 강체의 회전 역학을 실험적으로 이해하고자 한다.Ⅱ. 이론적 배경1) 자이로스코프의 운동 표현-Euler angle 이용일반적으로 물체를 하나의 질점으로 간주하고 운동을 기술하는 경우, (x,y,z)의 직교좌표계를 이용해 물체의 모든 운동을 표현할 수 있다. 그러나 자이로스코프와 같이 질량중심의 운동 이외에도 물체 내 회전축의 방향과 위치에 대한 기술이 필요한 경우에는 새로운 좌표계를 도입해야 한다. 이 때 이러한 강체의 운동을 기술할 수 있는 몇 가지 좌표계가 존재하는데, 자이로스코프의 운동을 기술할 때에 사용하는 일반적인 좌표계는 ‘오일러 각(Euler angle)'을 이용하는 것이다.앞의 그림처럼, 직교 좌표계를 z축을 기준으로phi 만큼, x‘축을 기준으로theta만큼, z''축을 기준으로psi만큼theta한편, 자이로스코프 실험장치에서 x축과 y축의 경우 고정축에 대해 전체 자이로스코프의 회전운동을 기술하므로 관성모멘트I_0로 전체 자이로스코프의 것을 사용하고, z축의 경우 관성 바퀴의 관성모멘트I를 이용한다. 따라서 오일러 각과 관성모멘트를 이용해 다음과 같이 각운동 방정식을 기술할 수 있다.tau _{x} =I _{0} ( ddot{theta } - dot{phi ^{2}} sin theta cos theta )+I dot{phi } sin theta (cos theta dot{phi } + dot{psi )}#tau _{y`} =I _{0} ( ddot{phi } sin theta +2 dot{phi } dot{theta } cos theta )-I dot{theta } ( dot{phi } cos theta + dot{psi } )#tau _{z} =I( ddot{psi } + ddot{phi } cos theta - dot{phi } dot{theta } sin theta)2) 회전운동에서 각운동량과 토크의 관계병진운동에서 운동량이 정의되는 것과 대응되어 회전운동에서는 각운동량(L)이 정의된다. 각운동량은 임의의 회전축에 대해 정의된 관성모멘트 I에 그 축에 대한 각속도를 곱해vec { L}=I vec{omega}로 정의된다. 이때, 시간에 대해 각운동량을 미분하면, 다음과 같이 각운동량의 변화량이 계에 가해진 외부 토크와 같음을 알 수 있다.d vec{L}/dt =vec{tau}3) 자이로스코프의 세차운동-세차각속도(OMEGA)자이로스코프에서 유일하게 작용하는 외부 토크는 중력에 의한 토크뿐이다. 고정 축으로부터 자이로스코프의 무게중심까지의 거리를l이라고 하면, 중력에 의한 토크는 오일러 각을 이용한 좌표계에서Mglsin theta hat{x}로 표현된다. 이때의 세차운동(phi방향 운동)을 분석하면, 다음과 같이 x방향의 운동 방정식을 세울 수 있다.Mgl=I _{0} (- dot{phi ^{2}}costheta)+I dot{phi}(do가정이 포함되어 있고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에는 세차운동뿐만 아니라 다양한 형태의 운동을 갖게 된다. 그 중 대표적인 것이 장동운동으로,theta방향의 각운동을 의미하며 이로 인해 앞서 세차운동에서처럼 일정한 세차각속도를 가지지 않는다. 즉, 모든 변수가 시간에 의존하게 된다.한편 자이로스코프가 장동운동을 할 때, 토크가 존재하는 방향은 x 방향의 각운동량뿐이기 때문에 나머지 y축과 z축은 각운동량이 보존된다. 따라서 각운동량 보존 법칙을 써서dot{phi}, dot{psi}를L_y, L_z로 나타낼 수 있고, 이를 x방향 각운동방정식에 대입하면 다음과 같은theta에 대한 운동방정식을 얻을 수 있다.ddot{theta } = {Mgl} over {I _{0}} - {( {L _{y}} over {I _{0}} - {L _{z}} over {I} cos theta )( {L _{z}} over {I} - {L _{y}} over {I _{0}} cos theta )} over {sin ^{3} theta }이를 보면, 장동운동은 초기조건들에 의해 결정되는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 각운동량을 발생시키지 않고, 단순히 자이로스코프를 놓았을 경우는 첫 번째 항만 남아 이것이theta방향의 각가속도가 되어 낙하하는 운동을 한다. 그러나 적절한 각운동량을 주었을 때에는theta`가 일정한 범위 내에서 진동하고, 초기 조건에 따라서 다음과 같은 장동운동을 보이게 된다.한편,theta가 최소일 때에 대해dot{phi(초기 세차운동 각속도에 따라서 장동운동의 패턴이 달라지게 되는데,L_y가L_z보다 크면 Unidirectional precession이 일어나고,L_y가L_z와 비슷하면, looping precession이 일어나고,L_z가 더 크면 cuspidial precession이 일어난다. 그러나 실제 실험계에서는 마찰의 영향이 존재하기 때문에, 앞서 밝혀듯이theta가 점점 증가하게 될 것이다. 따라서 초기의 상태가 어떤 것이었던 간에 결국dot{p적으로theta가 0의 값을 가졌다가 다시 증가하는 Cuspidial precession을 만든다. 마지막으로, 세차운동의 반대방향으로 회전축에 힘을 가했을 때(C)에는 Looping precession이 일어나게 된다. 물론, 실제 실험계에서는 마찰이 존재하기 때문에 초기조건에 의해 어떠한 장동운동이 일어난다고 해도 결국에는dot{phi가 증가하여 unidirectional precesion이 일어날 것이다.Ⅲ. 실험 설계본 실험에서는 자이로스코프 실험장치(균형추, 관성 플라이휠, 고정축)와 무게추, Sensor Lab프로그램을 이용하였다. 이를 통해 자이로스코프가 장동운동을 무시할 수 있는 조건 하에서 중력토크에 따라 어떤 세차운동 양상을 보이는지를 확인하고, 그렇지 않은 경우 발생하는 3가지 패턴의 장동운동을 실험적으로 관측하였다. 또한, 실험계에서 마찰이 작용하는 경우 어떠한 양상이 일어나는지를 이론적으로 예측한 것과 비교하였다.1) 자이로스코프의 세차운동 확인먼저, 실험장치의 관성 바퀴의 관성모멘트를 구하고자 하였다. 이때, 관성 바퀴를 실험장치에서 분리해낼 수 없어, 토크 평형을 이용하여 바퀴의 질량을 구하였다. 이를 이용해 원판의 형태를 띄고 있는 관성 바퀴의 관성모멘트를 측정하였다.그 다음, 자이로스코프 장치를 무게추들을 적절하게 조절하여 고정축에 대하여 수평을 이룰 수 있도록 하여 자이로스코프의 운동에 영향을 주는 중력토크는 오직 추가한 무게추에 의한 토크뿐이게 하였다. 이때 사용한 무게추는 0.1, 0.205[kg]이며, 무게 추를 달 수 있는 위치는 고정축으로부터 15,17,19,21[cm]로 측정되었다.추가적으로 세차운동이 일어날 때 마찰이 일어남에 따라서 평형위치가 낮아지는지 즉,theta의 값이 증가하는지 확인하고, 마찰에 의한 토크가 어느정도인지 정량적으로 계산하였다.2) 자이로스코프의 장동운동 확인고정축으로부터의 모멘트 팔을 고정시키고, 0.1kg의 무게추를 사용해 중력토크를 일정하게 발생시킨 후, 자이로스코프의 초기 운동조건을 바 질량(M)을 구하기 위해 균형추들을 이용해 평형을 맞춘 후 질량을 구하였다. 이때, 각 균형추까지의 거리는 가까운 것은 17cm, 먼 것은 21.8cm이며, 이에 따라 토크 평형식Ml=m1d1+m2d2를 이용해 관성 바퀴의 질량을 구하면 M=1.33kg 이다. 또, 관성 바퀴의 반지름은 12.8[cm]로 측정되었으며, 이를 이요해 원판 형태의 관성 바퀴의 관성모멘트를 구하면 다음과 같다.I=1/2MR ^{2} =0.0108[kg*m ^{2} ]다음으로, 무게 추에 따라서 자이로스코프에 가해지는 중력토크를 계산하였다. 자이로스코프의 무게중심으로부터 고정축까지의 거리는 12cm이고 무게추를 위치시킬 수 있는 곳은 총 4곳으로 (1; 15, 2: 17, 3: 19, 4: 21[cm])씩 떨어져있다. 이때 무게추 0.1kg과 0.205kg을 놓는 경우의 중력토크는 다음과 같다.12340.1kgtau [kg*m ^{2} ]0.1470.1660.1860.2050.205kgtau [kg*m ^{2} ]0.3010.3410.3810.421앞서 기술한 것과 같이dot{phi } ` PROPTO dot{psi} ^{-1}의 선형관계를 얻을 수 있고, 이를 그래프로 그려서 그 기울기 값이 이론적으로 얻어진 식dot{phi } `= {Mgl} over {I`} dot{psi ^{-1}}를 따르는 지 확인하려고 하였다. 그러나 실험 장비의 측정 눈금이 굉장히 커서 선형회귀선을 도출하기가 불가능했다. 때문에 전체 데이터의 평균치를 구하여 실험값을 도출하기로 하였다. 먼저, 측정값을 대입했을 때 기울기의 이론값은 다음과 같다. (물리량의 단위는 [rad^2/s^2])12340.1kgMgl `} over {I}13.61115.37017.22218.9810.205kgMgl `} over {I}27.87031.57435.27838.981다음은 실험값으로 구한 기울기 값(dotphi dotpsi값 도출)과 각각의 오차율을 나타낸 표이다.12340.1kgMgl `} over {I}9.67912

자연과학| 2019.07.14| 6페이지| 2,000원| 조회(602)

물리학실험, 자이로스코프, 자이로스코프 결과보고서, 자이로스코프의 세차운동과 ..

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[물리학실험] 당구의 역학

1물리학실험 1 ? 보고서 41-4 당구의 역학2019. 04. 161당구의 역학에어 테이블과 원판(발사체/표적)을 이용하여 2차원 충돌을 구현하였다. 이를 통해 본 실험에서는 원판의 충돌 전후 운동량과 운동에너지를 비교하여 두 물리량 각각의 보존이 성립하는지를 살펴봄으로써 운동량 보존 법칙과 운동에너지 보존 법칙을 실험적으로 이해하였다. 또한, 표적이 벽면일 때, 발사체의 운동량과 운동에너지를 비교하여 그 탄성계수를 구하고, 원판의 회전에 따른 운동의 변화를 분석함으로써 실험계에서 2차원 충돌 이론이 잘 적용되는 것을 확인하였다.Ⅰ. 실험목적본 실험에서는 2차원 충돌 이론을 실험적으로 확인하고, 운동량과 역학적 에너지가 충돌 시 어떤 양상을 보이는지 확인한다. 또한 역학적 에너지 손실에 영향을 줄 수 있는 요인들을 확인한다.Ⅱ. 이론적 배경1) 충돌의 매개변수와 원판의 2차원 충돌발사체와 표적을 하나의 물리계로 설정하고 두 물체를 충돌시켰을 때, 마찰 등의 외력이 없다면 계에 작용하는 힘은 두 물체 사이에 작용하는 내력뿐이다. 따라서 이 경우, 운동량 보존 법칙에 따라서 계의 총운동량은 항상 보존된다. 또한, 질량이 m인 물체가 병진운동만을 하는 경우엔, 잘 알려진것처럼1/2mv ^{2}로 운동에너지가 주어진다.한편, 충돌의 종류에는 완전탄성충돌, 비탄성충돌, 완전비탄성충돌이 있으며 이는 반발계수(e)에 따라 결정된다. 여기서 반발계수란 충돌이 얼마나 탄성적인지를 나타내는 척도로, 다음과 같이 충돌 전후의 상대속도의 비로 표현된다.e= {v _{f}} over {v _{i}} 반발계수의 정의에 따라서 e의 값은 0과 1 사이의 값을 가지게 되며, e가 0일 때는 완전비탄성충돌이 일어나고, e가 1일 때는 완전탄성충돌이 일어나며, 그 외의 값을 가지 때에는 비탄성충돌이 일어난다.한편, 물체가 질점이라고 가정했을 때, 2차원 충돌에서는 발사체의 속력과 각도가 충돌 이후의 물체의 운동을 결정한다. 그러나 본 실험에서와 같이 발사체와 표적이 원판인 경우, 두 물체가} v _{0} cos theta _{2} =m _{1} v _{1} cos( theta _{1} + theta _{2} )+m _{2} v _{2}#(3)`m _{1} v _{0} sin theta _{2} =m _{1} v _{1} sin( theta _{1} + theta _{2} )#(4)e=v _{2} -v _{1} cos( theta _{1} + theta _{2} )/v _{0} cos theta _{2}(1)에서는 원판의 반지름(R)과 충돌거리(r)에 의해서 수직항력 N의 방향theta _{2}가 결정됨을 말하며, (2)는 수직항력 N 방향에 대한 운동량 보존, (3)은 N에 대해 수직인 방향에 대한 운동량 보존 식이다. 또, (4)는 반발계수의 정의에 따라 얻을 수 있는 식이다. 또, (1)번 식을 이용하여 충돌 후 운동을 기술하는 4개의 물리량을 다음과 같이 표현할 수 있다.v _{1} =v _{0} sqrt {( {r} over {2R} ) ^{2} +( {m _{1} -em _{2}} over {m _{1} +m _{2}} ) ^{2}}#v _{2} =v _{0} {(1+e)m _{1}} over {m _{1} +m _{2}} sqrt {1-( {r} over {2R} ) ^{2}}#sin theta _{1} = {m _{2} r(1+e)} over {2R} sqrt {{4R ^{2} -r ^{2}} over {r ^{2} (m _{1} +m _{2} ) ^{2} +4R ^{2} (m _{1} -em _{2} ) ^{2}}}#sin theta _{2} = {r} over {2R}2) 회전이 포함된 2차원 충돌1)의 이론식에서 회전을 추가로 고려하는 경우, 물체가 충돌할 때 접촉면에서 운동 마찰력으로 인해 원판에 회전운동이 일어난다. 즉, 초기 상태에 회전이 없는 상태에서도 충돌 후 물체가 회전을 할 수 있다는 것이다.본 보고서에서는 발사체에 비해 상당히 질량이 큰 벽면에 발사체를 충돌시키는 경우에 대해서 실험하였다. 이때, 발사체와 벽의 식을 얻을 수 있고, 이 식을 통해 원판의 관성모멘트와 원판과 벽면의 마찰계수를 구할 수 있다.Iw= mu _{k} R int _{} ^{} {N} `dt= mu _{k} rm (vcos theta _{2} -v _{0} cos theta _{1} )Ⅲ. 실험 설계본 보고서에서는 총 3가지의 실험을 진행하였으며, 각각의 실험에서는 에어테이블(1), 원판(2), 원환추(미지 질량 시료), Tracking Sticker(4), Tracker 프로그램을 사용하였다. 이때, 발사체와 표적으로 사용한 원판은 각각 R=3.5cm, m=20g인 것을 사용하였으며, Tracker 프로그램에 이용할 에어트랙의 가로 길이는 48cm, 격자 한 칸의 길이는 1.4cm로 측정되었다.1. 발사체/표적의 2차원 충돌이 실험에서는 회전을 고려하지 않고, 원판의 질량중심의 운동만을 고려하여, 표적이 정지해있는 경우에 대해서 운동량과 역학적 에너지의 변화 양상에 대해 축별 운동량의 변화와 에너지의 변화를 측정하여 보존 법칙이 성립하는지 확인한다.2. 충돌거리(r)에 따른 2차원 충돌이 실험에서는 발사체와 표적이 정면으로 충돌할 때부터 r을 에어테이블의 격자 한 칸씩 늘려가면서 원판의 충돌 양상을 분석하였다. 또한, 각 경우에 대해서 반발계수를 구해보고, 운동량이 보존되는지 확인한다.3. 벽면과 원판의 2차원 충돌이 실험에서는 회전을 고려하여 발사체가 벽면에 대해 충돌했을 때, 각 축별 운동량의 변화양상을 비교하고, 운동에너지 변화량을 측정하여 어떤 충돌이 일어나는지 분석하고, 벽과 원판의 마찰계수 및 관성모멘트를 구해본다.Ⅳ. 실험 결과 및 분석1.발사체/표적의 2차원 충돌발사체와 표적의 2차원 충돌을 분석하기 전에, r=0(정면충돌)일 때의 동일 질량 원판의 1차원 충돌을 분석하여 원판 사이의 반발계수를 먼저 도출하였다. 앞의 이론적 배경에서 충돌을 기술하는 식 중v _{2}에 대한 식을 반발계수 e에 대해 정리하면 다음과 같다.v _{2} =v _{0} {(1+e)m _{1}} ove에 대한 값이며 1에 가까울수록 그 대표성이 크다.)측정치[cm/s]R ^{2}v _{0}1.110.9952v _{1}0.030.9703v _{2}0.920.9935위의 결과와m _{1} =m _{2} =0.02[kg]을 이용해 원판과 원판 사이의 반발계수를 구하면e=0.657의 값을 얻을 수 있었다. (위 결과 값에서v _{1}이 존재했으나, 1차원 충돌을 가정했으며, 각 측정치에 비해 약 30배 이하의 작은 값으로 데이터를 기각하고 반발계수를 구했다.)한편, 위의 값으로 충돌 전후의 운동량을 구하면 다음과 같으며, 약 17%의 오차범위 내에서 운동량 보존법칙이 성립함을 알 수 있다.P _{i} =2.22 TIMES 10 ^{-4} [N/s],P _{f} =1.84 TIMES 10 ^{-4} 오차율이 높아 r=0일 때 x축과 y축에 따른 운동량과 운동에너지의 변화 양상을 관측하였는데, 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있었다. 이때, 회전이 거의 없도록 실험을 구성하였고, y축 방향으로 발사체에 초기 속도를 주었다.전후변화율(%)P _{x}0.2090.32153.58P _{y}0.6470.51326.12KE0.2380.16829.41위의 표는 충돌전과 충돌 후의 시간에 따른 각각의 물리량에 대해 평균값을 구한 것으로, 운동량의 단위는 [N/s], 운동에너지의 단위는 [J]이다. 운동량 보존이 성립한다면, 변화율이 0이거나 매우 작아야하지만 실제로는 매우 큰 변화율을 가짐을 관찰하였다.2.충돌거리(r)에 따른 2차원 충돌앞의 이론적 배경에서 서술한 것처럼 충돌거리(r)는 발사체와 표적의 질량중심을 잇는 선분에 대해 두 질량중심이 떨어져있는 수직거리를 말한다.본 실험에서는 표적에 대해 발사체를 에어테이블의 한 격자만큼씩 이동시켜 r=(0, 14, 28, 42, 56)[mm]에 따라 원판 사이의 2차원 충돌 양상을 확인하였으며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. (실험 중 최대한 회전이 발생하지 않도록 하여 실험을 진행하였다.)r[mm]v _{0}[cm/s]v _{2}} `` LRARROW ``e=2( {v _{1}} over {v _{0}} ) ^{2} (1- {r} over {2R} ) ^{-2} -1즉, 이를 통해 반발계수 e를 구할 수 있고, 각 경우에 대해서 반발계수를 구하면 다음과 같다.(이 때 오차율은 r=0일 때 구한 반발계수에 대한 오차율로, %단위이다.)r[mm]14.028.042.056.0e0.7920.7180.7250.748오차율20.188.9510.0113.50추가적으로 미지질량 시료의 질량을 측정하기 위해 r=0인 상황(1차원 충돌)에서 원판에 무게 추를 넣은 후 실험을 한 번 더 진행하였다. 이때, 미지 질량 시료의 질량을 구하는 방법은 운동량 보존을 이용하여 다음과 같은 관계식을 얻음으로써 가능해진다.m _{1} v _{i1} +m _{2} v _{i2} =m _{1} v _{f1} +m _{2} v _{f2} >>{m _{2}} over {m _{1}} = {v _{i1} -v _{f1}} over {v _{f2} -v _{i2}} 사용한 발사체의 질량은 44.0g(앞서 사용한 원판과 다르게 원환추를 넣고, 마개로 막아 질량이 늘어남)이며, 물체의 충돌을 기술하는데 사용되는 측정값들은 다음과 같았다.(속력단위 : cm/s)v _{i1}v _{f1}v _{i2}v _{f2}9.811.510.314.65이때의 반발계수를 구해보면 e=0.523로, 앞서 구한 값에 대해 16%의 오차율을 가진다. 앞서 구한 실험값들과 비교했을 때 이 경우에는 현저히 낮은 반발계수가 나타나는데, 이는 원판 안에 넣은 원환추로 인해서 플라스틱과 플라스틱 사이에 일어나던 충돌이 방해받기 때문이다. 즉, 구체적으로는 플라스틱과 충돌이 일어난 후 원환 추와 다시 충돌이 일어나 에너지가 손실된다는 것이다.한편, 이를 이용해 미지의 질량인m _{2}를 구하면, 84.1g]이 나오면 실제 저울로 측정한 값이 66.0[g]과 27%의 오차율을 가진다.3.벽면과 원판의 2차원 충돌벽면과 원판의 충돌을 시간에 따른 이동거리로 pl있다.

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물리학실험, 당구의 역학, 2차원 충돌 이론, 당구의 역학 결과보고서

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[물리학실험] 시지프스의 고민

1물리학실험 1 ? 보고서 31-3 시지프스의 고민2019. 04. 091시지프스의 고민빗면과 원형 곡선 구간으로 이루어진 레일과 속이 꽉 찬 구를 이용하여 물체의 회전운동, 병진운동을 구현하였다. 이를 이용해 본 실험에서는 운동에너지와 위치에너지의 전환 관계를 확인하고, 보존력 이외의 다른 힘이 작용하지 않는 이상적인 상황에서 성립하는 역학적 에너지 보존법칙에 대해 실험적으로 이해하였다. 또한, 실제 상황에서 작용하는 마찰력의 영향으로 역학적 에너지가 어느 정도 손실되는지를 확인하고, 이론적으로 구해지는 공의 최소 초기 높이를 실험적으로 확인하였다.Ⅰ. 실험목적본 실험에서는 공이 원형 곡선 구간을 돌 때, 어떤 운동을 하는지 관찰하고, 그에 따라 위치에너지와 운동에너지, 회전운동에너지 사이의 전환관계 및 역학적 에너지가 손실되는 요인을 분석한다. 또, 공이 원형 곡선 구간을 돌기 위한 최소 초기 높이를 공이 원형 궤도로부터 벗어난 정도를 비교하여 정량적으로 분석한다.Ⅱ. 이론적 배경힘은 ‘그 힘이 한 일이 경로에 의존하는가?’에 대해서 두 가지 종류로 나뉘는데, 의존하는 경우를 비보존력, 의존하지 않는 경우를 보존력이라고 한다. 다른 말로, Stokes 정리에 따라 어떤 힘의 회전이 모든 지점에서 0일 때, 임의의 경로를 택하여도 폐경로적분이 0이 되므로 이를 보존력이라 할 수 있다. 따라서 보존력은 다음과 같이 정의된다.NABLA TIMES {vec{F}} `=0보존력이 물체에 작용하는 경우, 보존력이 한 일은 변위에 의존하며 계의 에너지 중 이와 같은 특성을 가지는 것을 퍼텐셜 에너지라고 한다.퍼텐셜 에너지와 운동에너지의 총합을 역학적 에너지라고 정의하며, 계에 작용하는 힘이 오로지 보존력인 경우에 역학적 에너지는 보존된다. 만약, 비보존력이 계에 작용한다면 비보존력이 계에 해 준 일만큼 역학적 에너지가 변화하게 된다본 실험에서 구슬은 병진운동과 회전운동을 함께 하게 되는데, 병진운동이란 물체의 모든 질점이 나란하게 이동하게 되는 경우로, 물체를 하나의 동에너지는 앞서 병진운동의 운동에너지에 회전운동에너지를 더해서1/2mv ^{2} +1/2Iw ^{2}(I는 물체의 관성모멘트,w는 각속도)로 나타낼 수 있다.한편, 이상적인 경우 원형 레일을 도는 구슬은 마찰이 없는 레일 위에서 선운동하는 질점으로 간주할 수 있다. 이때, 원형 레일의 최고점에서 구슬이 떨어지지 않을 조건은mg+N=m {v ^{2}} over {r} ``,```N GEQ 0이고, N=0일 때 구심력의 요인은 중력뿐이다. 따라서 원형레일의 최저점을 기준으로 초기높이 H와 원형레일의 최고점 2r에서 에너지 보존법칙을 쓰면, 최소 초기높이H>2.5R를 구할 수 있다. 그러나 실제 구슬은 회전운동에너지 역시 가지고 있으며, 이상적인 회전운동을 한다고 가정했을 때, 최소 초기 높이는 다음과 같이 구해진다.H>2.7R또, 구슬이 원형 레일을 돌 때, 레일의 간격이 벌어져있으므로 구슬의 최하점이 레일과 접촉해 상대속도가 0이 되지 않는다. 따라서, 레일과 접촉한 점의 상대속도가 0이 된다는 점으로 바꾸어 회전운동의 유효반지름을 구해야하며, d를 트랙 사이의 거리라 하면,R _{eff} = sqrt {R ^{2} -d ^{2} /4}로 기술된다.Ⅲ. 실험 설계본 실험에서는 선형 레일 및 원형 레일로 구성된 트랙, 속이 꽉찬 서로 다른 질량을 가진 공 2개(31g, 54.5g), 카메라 및 영상장치, Tracker 프로그램이 사용되었고, 각각의 실험 장치는 다음과 같이 배치하였다. 선형레일과 수평면 사이의 각도는 45도로 고정하고, 선형레일에 표시된 0,5,10,15,20 [cm]를 기준으로 초기 높이를 다르게 주어 실험을 진행하였다.위의 실험 장치를 이용하여 두 가지 실험을 진행했으며, 첫 번째 실험에서는 질량이 다른 두 공의 트랙 위 운동을 분석하여 회전운동에너지를 포함한 에너지보존법칙이 성립하는지 확인하고, 그 오차 요인을 분석하고자 했다. 두 번째 실험에서는 이론적으로 구해지는 공의 초기 높이를 실험적으로 확인하고자 했다.또한, 본 실험에 사용된 물체들지름)을 의미한다.물리량측정값질량(작은 공)31.0[g]질량(큰 공)54.5[g]반지름(작은 공)19[mm]반지름(큰 공)24[mm]회전 반경(작은 공)17.05[mm]회전 반경(큰 공)22.32[mm]작은 공 k0.897큰 공 k0.931Ⅳ. 실험 결과 및 분석1. 회전운동을 포함한 역학적 에너지 보존 확인먼저 트랙 위를 운동한 공은 병진운동과 회전운동을 함께 하는데, 이때 병진운동에너지는 잘 알려진 것처럼1/2mv ^{2}이고, 회전운동에너지는1/2Iw ^{2}이다. 또, 각속도w= alpha v/r _{eff} = alpha v/kr(alpha는 공의 미끄러짐에 의한 손실 계수)이다. 따라서 총 운동에너지는 다음과 같이 기술된다.KE=KE _{trans.} +KE _{rot.} =(1/2+ alpha ^{2} /5k ^{2} )mv ^{2}즉, 병진운동을 할 때와 같이 질량과 속도제곱에 비례하지만, 공의 미끄러짐과 반지름, 레일간의 거리 등의 요인에 의해서도 영향을 받음을 알 수 있다. 이를 바탕으로, Tracker 프로그램을 이용하여 공의 시간당 x축 y축 변위 그래프를 얻어 각각의 측정 변위를 좌표로 plot하면, 다음과 같은 형태의 운동궤적을 그리는 것을 볼 수 있다.[45도 경사각, 0cm(선형레일)에서 작은 공의 운동]얻어진 변위-t 그래프로부터 각 구간에서의 공의 속력v는sqrt {( TRIANGLE x) ^{2} +( TRIANGLE y) ^{2}} / TRIANGLE t로 구해지며, 공이 이상적인 구름운동을 한다고 가정(alpha=1)하면, 총 운동에너지는KE=(1/2+1/5k ^{2} )mv ^{2}를 따른다. 이를 아래와 같이 Tracker의 함수 정의기능을 이용해 나타내었고, PE는 위치에너지, KE는 운동에너지, f는 역학적 에너지의 함수를 의미한다.[Tracker 프로그램 내의 함수 정의]앞에서 정의한 함수를 이용해 Data를 얻었고, 위와 같은 그래프를 도출했다. 그 결과, 그래프에서 이론상으로 보존되어야하는 역학적 에너지가 (마반지름을 가진다면, 운동에너지가 보존될 수 있겠지만 본 실험에 사용된 장비는 선형 레일과 원형레일로 이동하는 부분에서 급격하게 기울기가 변하였다. 때문에 이 구간의 연직방향에서 트랙과 공 사이의 비탄성충돌이 일어난다고 간주할 수 있고, 이는 곧 수평방향의 운동에너지만 보존 되는 것으로 이해할 수 있다. 즉, 위의 그래프에서 나타나는 역학적 에너지의 감소는 실험장비에 의해서 필연적으로 나타날 수밖에 없는 오차이다.이를 고려하면, (레일의 최하점을 기준으로 설정했기 때문에) 위치에너지의 변화가 거의 없이 전체 역학적 에너지가cos theta ^{2}배로 줄어들게 된다. 물론, 실제 상황에서는 비보존력인 마찰력이 공에 해주는 일이 존재하기 때문에 오차보정을 한 이후에도 더 작은 값이 측정되는 것이 타당하다.1) 작은 공의 역학적 에너지 보존45도의 경사각에 대해 속이 꽉찬 작은 공을 기준점으로부터 72.1cm 떨어진 위치에서 떨어뜨렸을 때 다음과 같은 E-t그래프를 얻을 수 있었다.앞에서 분석했던 것처럼 트랙과 공 사이의 비탄성 충돌 지점을 기점으로 역학적 에너지가 감소함을 확인할 수 있었다. 실험조건 하에서 작은 공의 이론적인 역학적 에너지는 약 0.25[J]이고, 충돌 이후에cos theta ^{2}=1/2배만큼 줄어 약 0.13[J]로 감소해야 한다. 이를 실측값과 비교하면, 다음과 같다.충돌 전충돌 후이론 값[J]0.250.13실측 값[J]0.2440.142오차율(%)2.49.22) 큰 공의 역학적 에너지 보존45도 경사각에 대해 속이 꽉 찬 큰 공을 기준점으로부터 72.1cm 떨어진 위치에서 떨어뜨렸을 때 다음과 같은 E-t그래프를 얻을 수 있었다.작은 공과 동일하게 트랙과 공 사이의 비탄성 충돌 지점을 기점으로 역학적 에너지가 감소함을 확인할 수 있었다. 실험조건 하에서 큰 공의 이론적인 역학적 에너지는 약 0.44[J]이고, 충돌 이후에cos theta ^{2}=1/2배만큼 줄어 약 0.22[J]로 감소해야 한다. 이를 실측값과 비교하면, 다음과 같다.초기 높이 H를 구하기 위해서 공이 원형궤도를 벗어나는 구간을 찾고자 했다. 이를 위해 공의 원형궤도를 식으로 정의해 평균을 이용한 근사를 이용하였다.먼저, 측정할 수 있는 가장 높은 높이에서 공을 운동시켰을 때 이상적인 원 궤적을 그린다고 하자. 이 경우 공의 궤적을(x-x _{i} ) ^{2} +(y-y _{i} ) ^{2} =R ^{2}이라고 하고, 이 경우에 대해x _{i} = {bar{x`}} ``,`y _{i} = {bar{y}} 로하고,`=R ^{2}이라고 정의하였다. 이를 이용해 다음과 같이 제곱오차 E를 구해 원형궤도를 벗어나는 구간을 확인하였다.E=((x-x _{i} ) ^{2} +(y-y _{i} ) ^{2} -R ^{2} )한편, 공의 k값에 따라서 총 운동에너지가 보정되며, 비탄성충동에 의한 효과에 의한 오차를 고려하여 앞에서 구했던 이론식을 보정하면, 작은 공은 k=0.8795이므로H>3.886R=0.591[m] , 큰 공은 k=0.931이므로H>3.861R=0.586[m]일 때 원형궤도를 이탈하지 않음을 구할 수 있다.1) 작은 공(31g)의 최소 초기 높이 확인. 앞서 언급한 방식을 이용하기 위해서 원형궤도에서의R ^{2} =1507=(x-256) ^{2} +(y+462) ^{2} 값을 구하고, 각 데이터에 대하여 E값을 다음과 같이 구하였다.(각 데이터는 mm단위이고, 0,5,10,15,20은 선형레일 아래에 표시된 자를 기준으로 적은 값으로, 실제는 72.1 ,68.7, 65.3, 61.6, 58.8[cm]이다)05101520E[mm]1*************223408286282)큰 공(54.5g)의 최소 초기 높이 확인. 앞서 언급한 방식을 이용하기 위해서 원형궤도에서의R ^{2} =1597=(x+283) ^{2} +(y+493) ^{2} 값을 구하고, 각 데이터에 대하여 E값을 다음과 같이 구하였다.(각 데이터는 mm단위이고, 0,5,10,15,20은 선형레일 아래에 표시된 자를 기준으로 적은 값으로, 실제는 72.1 ,6cm)

자연과학| 2019.07.14| 5페이지| 2,000원| 조회(301)

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