chapter13. 강체의 공간운동1. 초록경사면과 원주궤도가 연결되어 있는 강체의 공간운동 실험 장치를 배치한 후 임의의 높이에서 구를 굴린다. 이때 실험 장치 끝에 배치되어있는 포토게이트를 이용해 그때의 속도를 측정한다. 구의 회전운동에너지를 포함하는 역학적 에너지의 보존을 측정한 후 실험값과 이론값을 비교해 본다. 또한 구가 원주궤도를 벗어나지 않기 위한 최소높이 또한 측정해 본다.2. 실험방법1)역학적 에너지의 보존경사면과 원주 궤도를 따라 원을 굴려서 경사면을 굴러 떨어지는 운동에너지는 구의 무게중심의 운동에너지와 구의 자전에 따른 회전운동 에너지의 합과 같다.E _{k} = {1} over {2} mv ^{2} + {1} over {2} Iw ^{2}이때v 와w 는 경사면 바닥에서의 구의 선속도와 각속도이다.이때I= {2mr ^{2}} over {5} 이고v=rw 이므로 바닥에서의 운동에너지의 합 역시 같다고 하면mgh=E _{k} = {1} over {2} mv ^{2} + {1} over {2} Iw ^{2} = {7} over {10} mv ^{2}가 되므로 경사면 바닥에서의 구체의 이론적 속도는v= sqrt {{10} over {7} gh}가 된다.이를 이용해서 역학적 에너지의 보존을 측정해보자.구슬이 포토게이트가 설치된 위치를 지날 때의 높이를h_{ 0} 라고 하면h_{ 0}=23mm 이고시작점에서의 높이를h_{ 1} 이라고 한 후 계산해 보자.이때 측정된 속도 (v) 는 구체가 포토게이트를 통과하기 시작할 때부터 빠져나가는 순간까지의 시간을 재는 것이므로 지나간 거리가 구체의 지름이 된다. 그렇기 때문에 구체의 지름을 시간으로 나눈 값이 곧 속도가 된다.구체의 지름을 버니어캘리퍼스로 측정해 본 결과, 18.85mm 이므로 구체를 떨어트리는 높이를 달리해 5회를 재어 표를 이용해 계산해 보자.회차h_{ 1}-h _{ 0}시간차 (TRIANGLE t)측정된 속도 (v)이론속도 (sqrt {{10} over {7} gh})오차율1458mm0.0T |} over {253.219} TIMES 100=16.075`````````` THEREFORE 16.12.오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 258.418-221.244 RIGHT |} over {258.418} TIMES 100=14.385`````````` THEREFORE 14.43.오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 254.872-218.677 RIGHT |} over {254.872} TIMES 100=14.201````````` THEREFORE 14.24.오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 282.984-247.700 RIGHT |} over {282.984} TIMES 100=12.468````````` THEREFORE 12.55.오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 270.074-235.037 RIGHT |} over {270.074} TIMES 100=12.973`````````` THEREFORE 13.02) 원형 레일에서 벗어나지 않기 위한 최소 높이 측정구체의 원형 트랙 위에서의 운동반경을R 이라고 하자. 반경이R 인 원형 트랙에서 구슬이 떨어지지 않고 운동을 하기 위해서는 원형 트랙 꼭지에서 구의 원심가속도가 중력가속도보다 크거나 같아야 한다. 수식으로 나타내어 보면{v ^{2}} over {R} =g이다. 그러므로 최소속도v _{338.7오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 433-312.052 RIGHT |} over {312.052} =38.759````````` THEREFORE 38.73) 실험장치를 고려한 원형레일에서 벗어나지 않기 위한 최소 높이 측정실제 공간 운동 실험장치의 레일은 홈의 너비가 8mm 이므로 오차가 생길 수 있다. 따라서 지름 18.85mm 구의 중심속도와 회전 속도의 관계는 수정되어야 한다.mgh=E _{k} = {1} over {2} mv ^{2} + {1} over {2} Iw ^{2} =1.346mv ^{2}다시 실험값과 비교해서 오차율을 구해보면 다음과 같다.2.743R실험치h_{ 1}-h _{ 0}오차317.02243336.6오차율={LEFT | LEFT ( 실험값 RIGHT ) - LEFT ( 이론값 RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT ( 이론값 RIGHT )} TIMES 100={LEFT | 433-317.022 RIGHT |} over {317.022} =36.583````````` THEREFORE 36.63. 결론 및 검토실험 1에서 역학적 에너지의 보존 여부에 대한 실험을 했다. 역학적 에너지가 보존된다는 가정 하에 구한 이론상의 값과 실험결과를 토대로 계산한 값의 오차율은 대략 14.0 으로 비슷한 값이 나온다. 이 오차는 장치와 구체의 마찰, 구체와 대기의 마찰 및 정밀한 높이 측정의 한계에서 온 오차일 것이라고 생각한다. 또한 실험 2에서 원형 궤도의 레일을 벗어나지 않기 위한 최소 높이 또한 관계식들을 이용해 구한 식을 이용해 이론상의 값을 구했다. 실험을 통해 구한 값과 비교를 해 보니 대략 38.7% 정도의 오차가 났다. 이를 보완하기 위해 실험장치의 레일 너비를 고려해 다시 한 번 정밀하게 구해 비교해 본 결과 오차율은 36.6% 로 줄어들었다. 그래도 여전히 온도를 측정하고 다이얼게이지로 길이를 측정한 후, 증기발생기를 작동시켜 금속막대를 데워준다. 금속막대의 온도가 더 이상 변하지 않고, 다이얼게이지의 눈금도 변화가 없다면 이때의 온도와 길이를 측정한다. 이 실험을 통해 얻은 값을 통해 선팽창계수를 구하고 문헌 값과 비교하여 오차를 구해본다.2.실험결과어떤 금속막대의 0℃의 길이를L _{0}라고 한다면 온도에 따라 그 길이가 변하므로 t℃에서 이 막대의 길이L _{}은 여러 작은 값의 상수를 무시한다면L=L _{0} LEFT ( 1+ alpha t RIGHT )가 되고 이것을alpha 로 정리하면alpha = {L-L _{0}} over {L _{0} t}가 된다.이때 이alpha 는 0℃와 t℃ 사이에서의 평균 선팽창계수다. 그러나 일일이 0℃일 때의 길이를 재는 것이 곤란하기 때문에 임의의 두 온도t _{1},t _{2} 일 때의 길이L _{1},L _{2} 를 측정하여alpha ^{2} 이상의 항을 무시하게 되면 다음과 같다.{L _{2}} over {L _{1}} = {L _{0} LEFT ( 1+ alpha t _{2} RIGHT )} over {L _{0} LEFT ( 1+ alpha t _{1} RIGHT )} = LEFT ( 1+ alpha t _{2} RIGHT ) LEFT ( 1- alpha t _{1} + alpha ^{2} t _{1} ^{2} + CDOTS RIGHT )L _{2} =L _{1} LEFT [ 1+ alpha LEFT ( t _{2} -t _{1} RIGHT ) RIGHT ]따라서 선팽창계수alpha 는a= {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t}으로부터 구할 수 있다. 이를 이용해서 두 가지 금속물질 철과 알루미늄을 실험해 본 후 이론값과 실험값을 비교해 보자.① 시료 재질 : 철철 막대의 길이와 당시의 온도를 재어t _{1}과L _{1}을 구한 후 가열한다. 그리고 완전히 팽창한 막대의 온도와 길이 역시 구해서 식에 대입해 이론값과 실험값을 비교 시료 재질 : 알루미늄알루미늄 막대의 길이와 당시의 온도를 재어t _{1}과L _{1}을 구한 후 가열한다. 그리고 완전히 팽창한 막대의 온도와 길이 역시 구해서 식에 대입해 이론값과 실험값을 비교해보자.단,L _{1}=694 mm 이다.횟수온도(℃)다이얼게이지(mm)선팽창계수(K ^{-1})t _{1}t _{2}TRIANGLE ta _{1}a _{2}TRIANGLE L= LEFT | a _{2} -a _{1} RIGHT |α120.3100.279.92.641.910.731.32 TIMES10 ^{ -5}선팽창계수(K ^{-1}) :a= {TRIANGLE L} over {L _{1} TRIANGLE t} = {0.73} over {694 TIMES 79.9} =1.32 TIMES 10 ^{-5}3.결론:이론값과 실험값을 비교하여 오차율을 각각 구해보자.실험선팽창계수(K ^{-1})%오차실험값문헌값①2.51 TIMES 10 ^{-5}1.2 TIMES 10 ^{-5}109.17%②1.32 TIMES10 ^{ -5}2.4 TIMES10 ^{ -5}45%① 오차 ={LEFT | 1.2 TIMES 10 ^{-5} -2.51 TIMES 10 ^{-5} RIGHT |} over {1.2 TIMES 10 ^{-5}} = 109.17%② 오차 ={LEFT | 2.4 TIMES 10 ^{-5} -1.32 TIMES 10 ^{-5} RIGHT |} over {2.4 TIMES 10 ^{-5}} = 45%4.검토 : 위 실험은 금속막대에 열을 가해 늘어난 길이를 측정한 후, 계산식을 이용하여 선팽창계수를 구하는 실험이다. 실험을 통해 철의 선팽창계수는2.51 TIMES10 ^{ -5}K ^{ -1}의 값을 얻었으며 철의 실제 선팽창계수는1.2 TIMES10 ^{ -5}K ^{ -1}으로 109.17%의 오차가 발생하였다. 알루미늄의 선팽창계수는1.32 TIMES10 ^{ -5}K ^{ -1}의 값을 얻었으며 알루미늄의 실제 선팽창계수는2.4 TIMES10 ^{ -5}K ^{ -1.
