포물선 운동 실험보고서(Projectile Motion)20200284 박현규2020.3.24.1. Introduction포물선 운동을 수평과 수직운동을 독립적으로 분석하고, 각각을 수식화하고 시간에 대해 매개화하여 나타낼 수 있다. 실험을 통해 최대 수평도달거리, 이상적인 발사각 등 이론 값들과 맞아떨어지는지를 비교하고 그래프를 분석함으로서 구할 수 있는 초기속력과 중력가속도 등을 구한다. 이러한 과정들을 통해 2차원 운동으로서의 포물선 운동을 이해한다. 또한, 물체가 운동하는 동안의 역학적에너지가 보존되는지 학인한다.2. Theoretical Background가. 포물선 운동공중에 비스듬하게 발사된 물체는 공기저항이 없다고 가정하였을때 수평방향으로는 추가적인 힘이 작용하지 않는다. 반면 수직방향으로는 중력이 아래쪽 방향으로 작용하게 된다. 이론적인 상황에서 우리는 수평방향과 수직방향 각각에 대하여 운동 방정식을 세울 수 있게 된다.x축 방향 :SigmaF _{x} =m {d ^{2} x} over {dt ^{2}} `=`m {dv _{x}} over {dt} `=`0y 축 방향 :Sigma F _{y} =m {d ^{2} y} over {dt ^{2}} `=`m {dv _{y}} over {dt} `=`-mg이로부터v_x가 t에 관하여 상수라는 것을 알수 있고int _{} ^{} {dv _{x}} `=`0`````` THEREFORE ```v _{x} (t)=`v _{0x} 이라는 결론을 얻을 수 있다. 마찬가지로 수직 성분에 대해 적분을 하면int _{} ^{} {dv _{y}} `=` int _{} ^{} {-g``dt} `````````` THEREFORE ``````````v _{y} (t)`=`-gt+C _{} ``````````THEREFORE``````````v _{y} (t)`=`v _{0y} -gt즉,v_y가 시간에 대한 일차함수라는 사실을 알수 있다.v _{x} (t)`=` {dx} over {dt} `=`v _{0x} `````` TH0} +v _{0y} `t- {1} over {2} gt ^{2}각각의 속도 성분들은 변위의 시간에 대한 미분형태이기에 다음과 같이 적분하여 수평, 수직방향 변위를 다음과 같이 시간에 대해 매개화 할 수 있다. 매개화를 통해 둘의 관계식도 구할 수 있다.y(x)=``y _{0} +tan theta (x-x _{0} )- {1} over {2} g LEFT ( {x-x _{0}} over {v _{0} `cos theta } RIGHT ) ^{2} ` 또한, 시간에 관하여 매개화 했을 때 식으로부터 얻을 수 있는 정보가 추가적으로 있다. 물체가 출발하고 착지할 때는y(t)=0 이므로 그때의 시간은0=`y _{0} +v _{0y} `t- {1} over {2} gt ^{2} 이라는 식의 두 근일 것이다. 즉 체공시간은 다음과 같다.T= {v _{0} sin theta } over {g} (1+ sqrt {1+ {2y _{0} g} over {(v _{o} sin theta ) ^{2}}} )x(t)=x _{0} +v _{0x} t에 체공 시간을 대입하면 수평 도달 거리를 구할 수 있다. 다음과 같다.R _{} =x _{0} + {v _{0} ^{2} cos theta sin theta } over {g} (1+ sqrt {1+ {2y _{0} g} over {(v _{0} ^{} sin theta ) ^{2}}} )theta에 대해서 미분하면 R의 최대값을 만드는theta, 즉 가장 멀리 날아가는 각도를 구할 수 있다.또한t에 관하여 수평방향과 수직방향 속도성분을 구할 수 있었는데 이 둘의 벡터합은 실제 그 순간의 속도일 것이고 그 벡터의 크기는 속력일것이다. 이로부터 역학적 에너지를 구할 수 있는데E _{"tot"} = {1} over {2} mv ^{2} +mgh 이므로 원점을 발사점으로 가정을 하면{1} over {2} mv _{0y}^{2}로 일정하게 나올것이다.3. Methods가. 준비물-포물선 운동 발사기-클램프(발사기를 고정하는데 사용)-운동을 녹화끝을 막대 끝에 연결한다. 좌표축가로축은 막대와 평행하도록 조정한 후 좌표축의 원점이 발사표시대와 일치하게 옮긴다.11. 1단으로 설정한후 영상 촬영을 누른후 방아쇠를 당긴다.12. 분석화면에 들어가 프레임 단위로 분석한다.13. 좌표축과 스케일바 비활성화 후 첫프레임을 잡고 마우스포인터를 이용하여 물체위치를 기록한다.14. 초기속력은 고정해놓은 상태에서 각도를 30도, 45도, 60도로 바꾸어 가며 발사를 하며 테이블로 분석된 위치를 숫자로 확인한다.다. 주의사항-만약 카메라의 중심축이 물체 운동평면에 수직하지 않으면 운동이 왜곡되어 촬영하여 오차가 커진다.-마우스로 공의 위치를 기록할 시 번짐현상이 일어나는데 이 경우 잔상의 중앙을 공의 위치로 가정한다.- 추세선은 최소제곱방법으로 피팅한다.4. Results[x-t 그래프]x position(m) - time(s) graphv_0x(m/s)30도y = 1.9023x - 11.035R² = 0.99741.902345도y = 1.6153x - 5.1625R² = 0.99871.615360도y = 1.0956x - 3.5789R² = 0.99891.0956v _{x} (t)=v _{0`x} `(t-t _{0} ) 이므로 “v _{0`x}= 기울기” 이다.ex) 30도 그래프에서 x= 1.9023t ? 11.035 라는 식이 나왔으므로v _{0`x}=1.9023(m/s)이다.y position(m) - time(s) graphR(m)v _{0y}(m/s)g(m/s^2)30도y = -4.7389x2 + 55.925x - 164.94R² = 0.99620.41501.04279.478845도y = -5.0793x2 + 33.958x - 56.645R² = 0.9940.47001.572410.158660도y = -4.8789x2 + 33.72x - 58.091R² = 0.99030.41151.93899.7578[y-t 그래프]`y(t)`=`y _{0} +v _{0y} `(t-t _{0} )- {1} over {2} g(인 33.72에서 3.257TIMES9.7578을 빼주면 1.939가 나오게 된다.`y(t)`=`y _{0} +v _{0y} `(t-t _{0} )- {1} over {2} g(t-t _{0} ) ^{2} 식에서 두 실근의 차이는 채공시간이고 채공시간에v _{x}를 곱하면 도달 거리를 구할수 있다. 엑셀을 이용해 채공시간을 구한후v_x를 곱해 도달거리(m)를 구했다. 구하는 과정은 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근을alpha, beta라고 하고 이차항부터 계수를 a, b, c라고 했을 때|alpha- beta|는sqrt {{b ^{2}} over {a ^{2}} -4 TIMES {c} over {a}} 임을 이용했다.ex) 60DEG로 발사하는 경우도달거리(m)=1.0956(m/s)TIMESsqrt {{33.72 ^{2}} over {(-4.8789) ^{2}} -4 TIMES {-58.091} over {-48789}}(s) = 0.4115(m) 라는 것을 실험적으로 알수 있다.이차계수일차계수상수항체공시간x방향속도도달 거리30DEG-4.738955.925-164.940.2181741.90230.41503345DEG-5.079333.958-56.6450.2971461.61530.4799860DEG-4.878933.72-58.0910.3755761.09560.411481역학적 운동 에너지는 E=U+K 임을 이용한다. 그중에서 30Deg로 발사한경우를 알아보자.U=mgh=mgyK={1} over {2} mv ^{2} = {1} over {2} m(v _{x}^{2} +v _{y }^2 ) = {1} over {2} m( 1.9023^2 +(55.925-9.4788t)^2 )ATT질량 m의 값은 플라스틱공의 무게인 0.0275g이다.v_y값은 피팅한 함수를t에 관해 미분해 구한 값이다. 이를 엑셀로 하면 다음과 같다.angle = 30 [deg]Time [s]Position x [m]Position y [m]x축 속도y축 속도운동에너지(J)위치에너지(30120.0597626530.005213340.0649759936.0230.42-0.021.9023-1.16581240.068445628-0.00521330.0632322886.0560.49-0.061.9023-1.47861280.079819315-0.015640.0641792956.090.56-0.121.9023-1.8008920.094351913-0.031280.063071873역학적 에너지의 평균은 0.0635458879 J 이었고 평균으로부터 오차는 최대 0.0014 J 이내였다. 그래프로 그리면 다음과 같았다.그래프를 보면 운동에너지의 증감만큼 위치에너지가 상쇄하므로 총 합인 역학적에너지가 최대 오차 0.0015 J 이내로 거의 일정한 것을 알 수 있다. 고로 포물선 운동을 하는 도중 역학적 에너지는 만족스럽게 보존되었다.5. Discussion.이번실험에서 포물선 운동을 하였다. x 축에 관한 운동을 시간에 대한 그래프로 나타내었을때 성공적으로 선형그래프에 피팅되었다. 상관성을 알기 위한 지표R^2값이 1과 최대 0.0026이내로 차이난 것으로 보아 미세한 오차를 제외하고는v_x값을 성공적으로 구할 수 있었다. 반면 y 축 방향을 시간에 대해 나타내었을 때는R^2이 보다 크게 나와 1과 최대 0.01나 차이났다. 또한, 일정해야 하는 중력가속도 값도 피팅한 후 얻어내었더니 조금씩 다르게 나왔다. 따라서v_y0 값을 구하는데 영향이 있을것으로 예상된다. 다만 평균을 했을 시 9.79m/s^2정도로 실제와 유사한 값이 나왔다.이론상으로 도달 거리는 다음과 같이 나타난다.R _{} =x _{0} + {v _{0} ^{2} cos theta sin theta } over {g} (1+ sqrt {1+ {2y _{0} g} over {(v _{0} ^{} sin theta ) ^{2}}} )시작점을 (0,0)으로 두면 식은{v _{0}^{2} sin 2 theta} over {g}이 되고, 미분하면 극대는 45DEG일 때이다. 실제로 도달 거리를 실험결과
뉴턴의 제2 법칙 실험보고서(Newton’s 2nd Law)1. Introduction1차원 운동에서 뉴턴의 제 2법칙을 확인한다. 마찰력이 거의 없는 카트에 가해지는 힘을 측정하고 그로 인해 생기는 가속도 또한 측정하여 힘과 가속도 간의 상관관계를 분석한다. 또한 적게나마 작용하는 마찰력으로 인해서 운동에 어떠한 영향을 미칠 수 있는지 알아본다.2. Theoretical Background가. 뉴턴의 제 2법칙뉴턴의 제 2 법칙은 물체에 가해지는 알짜힘은 그로 인해 발생하는 가속도와 질량에 비례한다는 법칙이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.Sigma vec { F} ``= m `veca일차원 운동의 경우 상황이 매우 단순해진다. 한 축에서만 힘을 받고 움직이므로 다음과 같이 간략화가 가능하다.F ~= ma이번 실험의 경우 가속도를 직접 측정할 수는 없다. 이때 시간에 대한 미분형이라는 가속도의 정의에 의거하면 가속도를 구할 수 있다. 즉 속력-시간 그래프의 기울기가 가속도이다.a= {dv} over {dt} = {d ^{2} `x} over {dt ^{2}}도르래에 실을 연결할 경우 우선 두 가지 가정을 한다. 줄의 길이가 수축 또는 팽창하지 않는 다는 가정으로 일정한 장력을 나타낼 수 있다. 도르래에 연결된 각 부분은 원래의 경우에는 장력이 서로 다르지만, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 가정을 하면 관성 모멘트를 무시할 수 있으므로 어디든지 줄 전체의 장력은 균일하게 작용하게 된다.마찰이 없는 평면위의 물체와 낙하하는 물체가 도르래로 연결되어 있을 때, 도르래의 질량을 M, 도르래 위의 질량을 m1, 낙하하는 총 질량을 m2라고 두면 운동 방정식을 연립하여 다음 결과를 얻을 수 있다.F=(M+m _{1} +m _{2} )`a3. Methods가. 실험 장비-250g 무게추와 후크, 와이어-1.2 m 다이내믹 트랙-범퍼로 사용할 고무 끈-도르래, 클램프-스마트 카트(blue)나. 실험 방법1. 분석 프로그램을 실행한 후 스마트 카트와 연결한다.2. 마찰이 거의 없는 레일을 설치한다.3. 레일 다리 높낮이를 조절하여 스마트 카트가 움직이지 않는지 확인한다.4. 레일에 클램프를 이용해 도르래를 설치한다.5. 스마트 카트에 힘 센서 부분에 후크를 연결한 후 와이어를 연결한다.6. 와이어를 도르래에 매달고 끝에 플렛폼을 묶어 무게추를 올려놓을 수 있도록 한다.7. 레일의 끝부분에 고무 끈을 매달아 스마트 카트용 범퍼를 만든다.8. 프로그램 상에 시간-위치 그래프와 시간-힘 그래프를 띄운다.9. 데이터 수집을 누른 후 카트를 이리저리 움직여 방향을 확인한다.10. 힘 센서 영점이 맞추어졌는지 확인하고 만약 그렇지 않으면 영점 조절을 한다.11. 본격적인 실험에 앞서 시범 기록 데이터를 지우고 초당 데이터 기록을 조절한다.12. 질량을 매달아 가속운동 시키고 분석한다.13. 그래프를 피팅 시키고 데이터를 분석한다.14. 수레 위의 질량m _{1} 과 낙하하는 질량m _{2}를 바꾸어가며 실험을 9번 반복한다.다. 주의사항-운동하고 있는 부분만을 골라 하이라이트 하여 피팅을 시켜야 한다.-레일 위의 카트는 거의 마찰이 없으므로 조금만 어긋나도 힘을 받아 움직이므로 주의해야 한다.(m _{1``} ,`m _{2} `)graphF _{avg`} `(N)a`(m/s ^{2} `)(0g, 20g)0.1251850.4866(0g, 40g)0.205790.8508(0g, 60g)0.289471.2098(250g, 20g)0.2420.2496(250g, 40g)0.400.7608(250g, 60g)0.536771.0434(500g, 20g)0.240.292(500g, 40g)0.4180.503(500g, 60g)0.58640.68464. Results실험 데이터를 2개의 시간을 가로축으로 하고 변위와 힘으로 나타내면 다음과 같다. 이중에서 변위가 0을 벗어나는 지점부터 수레가 움직인 것이기 때문에 이 지점부터 급격하게 변하는 지점 전까지를 curve fitting을 할 수 있다.등가속도 법칙에 의해서 시간-그래프는 이차식에 피팅이 되며 t에 관한 2차항의 계수는 가속도의 절반이므로 계수에 2를 곱함으로서 각 식의 가속도를 구할 수 있다.ex) (500g, 60g) 인 경우 유효한 구간에서 커브 피팅을 하면 t의 이차항의 계수가 0.3423 이 나온다. 가속도 값은0.3423` TIMES2`= 0.6846(m/s ^{2} ) 이 나온다.일정하게 작용하는 힘은 변위 그래프를 피팅한 구간에서 측정된 힘들의 산술평균으로 구했다. 정리하면 다음과 같다.(m _{1} ,``m _{2} )F _{avg}a(0g, 20g)0.1251850.4866(0g, 40g)0.205790.8508(0g, 60g)0.289471.2098(250g, 20g)0.2420.2496(250g, 40g)0.40.7608(250g, 60g)0.536771.0434(500g, 20g)0.240.292(500g, 40g)0.4180.503(500g, 60g)0.58640.6846이를m _{1`}과m _{2}를 기준으로 정리하면 두가지로 정리할 수 있다.카트 총 질량이 일정할 때낙하물체의 질량이 일정할 때(외부힘 일정)실험에서 매단 무게상 움직이는 계 전체의 질량을 일정하게 유지할수 없기에 카트 총질량을 일정하게 맞추어서 비교했다. 카트에 달리는 질량이 낙하 물체의 질량에 비해 워낙 크기에 그에 따른 오차가 상당히 적게 났다. 보이는 바에 따르면 카트 총질량이 일정할때 힘과 가속도는 대략 비례하는 모습을 보인다. 이 때 기울기는 “가속도/힘” 이므로 질량의 역수를 나타내는 물리적인 의미가 있다고 할 수 있다. 실제로 기울기 값들인 4.4014, 2.7069, 1.1339 를 역수를 취하면 0.227kg, 0.369kg, 0.881kg으로 오차가 상당히 크긴 하지만 질량의 경향성은 잘 따라가는 듯 하다. 따라서 뉴턴의 제 2법칙이 어느정도 만족하는 듯하다.낙하질량이 일정하다는 말은 외부 힘이 일정하다는 뜻인데 순수한 카트의 경우 나머지 두 데이터와 많이 다르게 나왔다. 여기에서 큰 오차가 발생한 듯하다. 다만, 낙하질량이 같고 카트 뉴턴의 제 2법칙 처럼 전체의 질량이 무거워질수록 가속도가 감소한다는 경향성은 맞아 떨어졌다.5. Discussion이번 실험에서 뉴턴의 제 2법칙에 관한 실험을 진행하였다. 스마트 카트의 ㅂ또한, 일정해야 하는 중력가속도 값도 피팅한 후 얻어내었더니 조금씩 다르게 나왔다.최종 결과를 논하기에 앞서 촬영을 할때 장력이 카트가 출발함과 동시에 일정 값이 감소하는 것을 관찰할 수 있었다. 이는 실험 방법에 따라서 발생하는 현상이다. 낙하를 시키기 전 카트를 붙잡고 있으면 손으로부터 가해지는 추가적인 외력이 계를 정지하도록 한다. 낙하하는 물체의 입장에서 봤을 때 자신은 정지하고 있으므로 가해지는 힘, 즉 중력과 장력이 동일해야 한다. 이는 손을 놓은 후에 달라지는데 이때는 외력이 사라지므로 계 전체가 가속하게 되는 데 따라서 운동 방정식을 세우면 중력>장력이 됨을 알 수 있다. 손에 의한 외력에 의해 생긴 추가적인 장력이 없어지는 것이다.이상적인 상황에서 마찰이 전혀 없다고 가정했을 때 힘과 가속도는 “정비례한다” 즉 y=ax꼴로 나타낼 수 있다. y가 힘이고 x가 가속도라면 a는 질량이 될 것이고, 두 변수의 위치가 바뀌면 a는 질량의 역수가 될 것이다.
포물선 운동 실험보고서
