용수철 및 물리진자의 운동물리학 및 실험1. 실험목적? 진동하는 물리진자의 운동을 관찰하여 선형의 단순조화운동으로 근사할 수 있는 조 건과 비선형 효과를 고려해야 할 경우를 알아보고 그 주기를 측정하여 이론식과 비 교해 본다.? 중력장내에서 수직으로 운동하는 용수철 진자의 단순 조화 운동을 관찰, 그 주기를 측정하고 탄성 위치에너지와 중력위치에너의 변환을 통한 에너지 보존을 확인한다.2. 실험이론 및 원리? 물리진자고정점에 매인 실에 매달려 줄력에 의해 흔들리는 운동을 하는 강체? 토크 평형식과 미분 방정식I TIMES {d ^{2} theta } over {dt ^{2}} =-mgl`sin theta ````(I=ml ^{2} )#{d ^{2} theta } over {dt ^{2}} +w _{0}^{2} `sin theta =0``` LEFT ( w _{0} = sqrt {{g} over {l}} RIGHT )매클로린 급수를 사용하여서sin theta `를 근사하여 사용한다.sin theta `=` theta - {1} over {3!} theta ^{`3} + {1} over {5!} theta ^{`5} .....#``````````````` APPROX ` theta 을 1차까지만 사용하여 근사한다.위의 근사를 토크 평형식에 넣어주면{d ^{2} theta } over {dt ^{2}} +w _{0}^{2} `` theta =0``` LEFT ( w _{0} = sqrt {{g} over {l}} RIGHT ){d ^{2} theta } over {dt ^{2}} =-w _{0}^{2} `` theta ```의 대략적인 해를 구하면theta (t)=A`sin(w _{0} `t)+B`cos(w _{0} `t)`, (A,``B는 임의의 상수)초기값인theta (0)= theta _{0}를 위의 식에 대입해A,``B값을 구하면A=0,`B= theta _{0}이고THEREFORE theta (t)`=` theta _{0} `cos(w _{0} `t) 가 된다.T _{exact} =T`(1+ {1} over {16} theta _{0}^{`2} + {11} over {3072} theta _{0}^{`4} + {173} over {737280} theta _{0}^{`6} + BULLET BULLET BULLET )이때T _{exact} =T`(1+ {1} over {16} theta _{0}^{`2} ) 까지만 계산해줘도 정확하다.? 이론값에 대한 실험값의 오차 계산error(%)= LEFT | {T _{이론} -T _{실험}} over {T _{이론}} RIGHT | TIMES 100(%)? 단순 조화 운동복원특성 + 관성특성? 후크의 법칙F`=`m {d ^{2} x} over {dt ^{2}} `=`-kx? 단조화 운동 방정식{d ^{2} x} over {dt ^{2}} + {k} over {M} x=0``````` {d ^{2} x} over {dt ^{2}} +w ^{2} x=0##x(t)=A`cos(wt+ phi )? 주기T= {2 pi } over {w} =2 pi sqrt {{m} over {k}}? 거리x에서의 위치에너지U(x)=`- int _{0} ^{x} {F(x)dx= {1} over {2} kx ^{2}}? 질량 m인 물체에 작용하는 힘m {d ^{2} y} over {dt ^{2}} =mg-ky#y(t)=A`cos(wt+ phi )+h```````````(h=mg/k)? 물체가y _{1}가y _{2}사이를 진동할 때 에너지 보존식{1} over {2} k(y _{1}^{`2} -y _{2}^{`2} )=mg(y _{1} -y _{2} )3. 실험 도구I-CA system, 스크린, 용수철 및 색 인식 추걸이와 추 세트, 스텐드 및 클램프와 막대, 물리진자용 생상인식 형광구 및 무명실4. 실험방법? 물리진자의 운동1) 스크린을 설치하고 그 앞에 스테드를 준비하고, I-CA system을 설치한다.2) 카메라 셋팅이 끝나면, 기준자를 운동면에 놓고 화면을 캡쳐한 후 스케일 및 좌표 계를 설정한선 식을 구한다. 직선식으로 주어지는지 확인 한다.6) 추를 평형위치에서 잡아당겼다가 가만히 놓아 추를 상하운동시키고 이를 촬영한 다. 분석메뉴를 실행하고 T-Y그래프 추세선 없음 보기를 통해 추의 운동이 단순 조화운동이 되는지 확인하고, 주기 및 최고 지점의 위치를 좌표값을 통해 구한다.7) 6)에서 구한 값으로 탄성 및 중력 위치에너지를 구한다.8) 잡아당기는 길이를 달리하여 위의 6)번 과정을 3회 반복 측정한다.9) 추의 질량을 바꾸어 위의 6)~8)번 과정을 반복 측정한다.5. 실험결과※ 물리진자의 운동● 줄길이 = 40cm, 물리 진자의 지름 = 3cm- 실험11차 최대점3차 최대점T _{이론}T _{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)5.8681.3335.8683.9331.271.31.284theta _{0} =sin ^{-1} (17.136/40)#```````=25.336- 실험2theta _{0} =sin ^{-1} (12.411/40)#```````=18.1211차 최대점3차 최대점T _{이론}T _{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)12.4411.30012.4413.9331.271.3171.272- 실험3theta _{0} =sin ^{-1} (17.136/40)#```````=25.3661차 최대점3차 최대점T _{이론}T _{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)17.3711.30017.3713.9331.271.3171.285- 실험4theta _{0} =sin ^{-1} (23.709/40)#```````=36.3501차 최대점3차 최대점T _{이론}T _{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)23.7091.30023,4743.9671.271.3341.30- 실험5theta _{0} =sin ^{-1} (29.342/40)#```````=47.1841차 최대점3차 최대점T _{이론}T _{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)29.3421._{"실험"}T _{보정값}x좌표시간 (s)x좌표시간 (s)27.8291.83327.8295.51.791.8341.804※ 용수철 진자의 운동1) 용수철 상수용수철에 여러 질량을 매달아 봄으로써 늘어난 길이 알아내고 거기로부터 용수철 상수를 구한다.구분1회2회3회4회5회추 및 추걸이의 질량 (g)100.850.081.2131.9150.8늘어난 길이 (cm)13.339.32024추세선식 =y=0.2088x-7.5763mg=kx 이므로k= {g} over {0.2088}#````= {9.81} over {0.2088}#```` APPROX 4703.1`dyne.cm2) 에너지 보존의 법칙 확인TRIANGLE U _{k} = {1} over {2} k(y _{1L}^{2``` prime } -y _{1H}^{2``` prime } ),`y _{1L}^{2``` prime } =(y _{00} +y _{0} +y _{1L}^{} ) ^{2} ,`y _{1H}^{2``` prime } =(y _{00} +y _{0} +y _{1H}^{} ) ^{2}#TRIANGLE U _{g} =mg(y _{1H} -y _{1L} )#T _{t} =2 pi sqrt {{m} over {k}}- 실험 1추 질량(g)100.8y _{00} (cm)-7.57631차2차최고점최저점최고점최저점y _{1H}(cm)t _{1H}(s)y _{1L}(cm)t _{1L}(s)y _{2H}(cm)t _{2H}(s)y _{2L}(cm)t _{2L}(s)4.4390.933-3.9711.44.4391.867-3.9712.333y _{0} (cm)-13.3늘인 길이 (cm)3죄고 ? 죄저점 에너지 변화 (g.cm ^{2} /s ^{2})주기 (s)오차 (%)탄성 에너지 증가TRIANGLE U _{k} `.`10 ^{5}중력 에너지 감소TRIANGLE U _{g} `.`10 ^{5}측정값(T _{m})이론값(T _{t})주기에너지8.168.3250.930.921.11.94추 질량(g)100.8y _{00} (cm.818.830.930.921.11.49- 실험 4추 질량(g)150.8y _{00} (cm)-7.57631차2차최고점최저점최고점최저점y _{1H}(cm)t _{1H}(s)y _{1L}(cm)t _{1L}(s)y _{2H}(cm)t _{2H}(s)y _{2L}(cm)t _{2L}(s)8.4541.1-7.7291.78.4542.233-1.4872.8y _{0} (cm)-13.3늘인 길이 (cm)6죄고 ? 죄저점 에너지 변화 (g.cm ^{2} /s ^{2})주기 (s)오차 (%)탄성 에너지 증가TRIANGLE U _{k} `.`10 ^{5}중력 에너지 감소TRIANGLE U _{g} `.`10 ^{5}측정값(T _{m})이론값(T _{t})주기에너지24.0024.001.11.132.71.94- 실험 5추 질량(g)150.8y _{00} (cm)-7.57631차2차최고점최저점최고점최저점y _{1H}(cm)t _{1H}(s)y _{1L}(cm)t _{1L}(s)y _{2H}(cm)t _{2H}(s)y _{2L}(cm)t _{2L}(s)14.7341.167-13.7671.714.4932.3-13.7672.834y _{0} (cm)-13.3늘인 길이 (cm)12죄고 ? 죄저점 에너지 변화 (g.cm ^{2} /s ^{2})주기 (s)오차 (%)탄성 에너지 증가TRIANGLE U _{k} `.`10 ^{5}중력 에너지 감소TRIANGLE U _{g} `.`10 ^{5}측정값(T _{m})이론값(T _{t})주기에너지4242.211.111.131.81.7- 실험 6추 질량(g)150.8y _{00} (cm)-7.57631차2차최고점최저점최고점최저점y _{1H}(cm)t _{1H}(s)y _{1L}(cm)t _{1L}(s)y _{2H}(cm)t _{2H}(s)y _{2L}(cm)t _{2L}(s)21.7391.16720.7721.721.7392.26721.0142.867y _{0} (cm)-13.3늘인 길이 (cm)18죄고 ? 죄저점 에너지 변화 (g.cm ^{2} /s ^것이다.
1주차 실험 - 버니어캘리퍼와 마이크로미터 및 불확도해석1. 실험목적버니어 켈리퍼와 마이크로미터로 물체를 측정해 봄으로써 측정기를 익히고 그 결과값으로 측정불확도를 계산하여 측정불확도와 불확도 전파의 법칙을 이해한다.2. 실험이론 및 원리- 버니어 캘리퍼? 정의버니어캘리퍼스는 물체의 외경, 내경, 깊이 등을 0.05 mm 정도의 정확도로 측정할 수 있는 기구이다. 어미자와 어미자를 따라 움직이는 아들자(vernier)로 이루어져 있는 캘리퍼스이며, 아들자캘리퍼스라고도 한다.? 명칭? 읽는 방법주척의 눈금 + (부척과 주척이 일치하는 부척의 눈금) * 최소눈금우리가 사용한 버니어 캘리퍼의 최소눈금은 0.05mm이다.ex)주척 : 9mm부척 : 0.05 * 3mm읽기 : 9mm + 0.05 * 3mm = 9.15mm- 마이크로미터? 정의원추형 심블마이크로미터는 물체의 외경, 두께, 내경, 깊이 등을 마이크로미터(μm) 정도까지 측정할 수 있는 기구이며, 많은 마이크로미터에는 서로 연결된 두 끝이 있어서 마이크로미터 캘리퍼스라고도 한다.슬리브? 명칭? 읽는 방법슬리브 안쪽의 눈금 + (슬리브의 기준선이 가르키는 원추형 심블의 눈금) * 최소눈금최소눈금은 0.01mm이지만 0.001mm까지 어림하여서 측정한다.ex) 위 사진을 예로 든다2.5 + 0.01 * 9 + 0.004(어림하여 측정한 수치)mm = 2.594mm3. 실험 도구버니어 캘리퍼 마이크로미터중공원통 샤프심4. 실험방법- 버니어 캘리퍼1) 물체를 정확하게 측정하기 위해 기름과 같은 방해물이 없도록 잘 닦는다.2) 주어진 중공원통의 외경은 외측용 죠, 내경은 내측용 죠, 깊이는 깊이바로 측정한 다.3) 각각 5회씩 측정하여 기록한다.4) 측정 후에는 고정나사를 죄어 고정시킨다.- 마이크로미터1) 돌리개를 아무것도 끼우지 않고 돌린다. 돌리개가 헛돌 때 마이크로미터의 영점을 측정한다.2) 샤프심을 모루와 스핀들 사이에 끼워 넣어 손잡이로 고정시켜 물체의 두께를 측정 한다.3) 5회 측정하여 기록한다.4) 측정이 끝난후 마이크로미터를 잠근다.5. 실험결과1) 버니어켈리퍼로 측정한 중공원통의 측정값? 표본평균 공식 :{bar{x}} = {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} x _{i} ? 표본 표준편차 :s= sqrt {{1} over {N-1} sum _{i=1} ^{N} (x _{i} - {bar{x}} ) ^{2}} ? 표본평균의 표준편차 :u= {s} over {sqrt {N}} = sqrt {{1} over {N(N-1)} sum _{i=1} ^{N} (x _{i} - {bar{x}} ) ^{2}} ? 표준불확도(측정불확도) = 표본평균의 표준편차? 확장불확도 ={bar{x}} +- 2 {s} over {sqrt {N}}(신뢰수준 95%)측정횟수D1d1D2D3h1h2h3l123.5014.2514.2024.0037.2016.5021.4519.00223.4014.0515.0023.6037.4516.5021.1520.95323.9514.2015.0524.2037.4016.0521.3020.15424.0014.2015.4523.4038.5016.4521.4020.20524.0014.1015.0523.2037.4016.3522.0019.65평균23.7714.1614.9523.6837.5916.3721.4619.99표준편차0.29500.08220.45690.41470.51770.18910.32290.7223측정불확도0.13190.03670.20430.18550.23150.08460.14440.3230※ 유효숫자는 4자리까지 적어주었다.2) 중공원통의 부피와 측정불확도? Vtop = Vout - VinVout =D _{1}^{2} TIMES {pi } over {4} TIMES h _{1}, Vin =d _{1}^{2} TIMES {pi } over {4} TIMES l? Vmid ={D _{2}^{2}} over {4} TIMES h _{2} TIMES pi ? Vbottom ={D _{3}^{2}} over {4} TIMES h _{3} TIMES pi ? Vtotal = Vtop + Vmid + Vbottom? 합성표준불확도 공식 :u _{c`} = sqrt {sum _{i=1} ^{N} ( {Partial f} over {Partial x} ) TIMES u _{x}^{2}} 위 실험에서는 합성해야할 변수들이 각각 일차식이므로 편미분해주면u _{c`} = sqrt {sum _{i=1} ^{N} u _{x}^{2}} 이렇게 간단하게 바뀐다.? 중공원통의 부피의 측정불확도 :u _{t`otal} `=` sqrt {u _{t`op}^{2} +u _{mid}^{2} +u _{b`ottom}^{2}}u _{t`op} `=` sqrt {u _{out}^{2} +u _{i`n}^{2}} 이므로u _{t`otal} `=` sqrt {u _{out}^{2} +u _{i`n}^{2} +u _{mid}^{2} +u _{b`ottom}^{2}}이다.위의 표와 식들을 이용해 아래의 표를 완성하였다.VinVoutVmidVbottomVtotal확장불확도평균*************94512586095%의 신뢰도에 의해측정불확도41.66250.675.98124.0292.7V(tot)±2*u(tot)mm ^{3}※ 유효숫자는 4자리까지 적어주었다.확장불확도 = 25860 ± 292.7 (95%의 신뢰도)= (25570 ≤ x ≤26150)mm ^{3}2) 마이크로미터로 측정한 샤프심의 두께※ 마이크로미터의 영점이 0.03이었으므로 모든 값에서 0.03을 빼주었다.측정횟수샤프심의 두께10.53720.54030.54140.53850.539평균0.539표준편차0.00158측정불확도0.000707※ 유효숫자는 3자리까지 적어주었다확장불확도 = 0.539 ± 0.000707 (95%의 신뢰도)= (0.538 ≤ x ≤0.540)mm ^{3}6. 결과분석버니어 캘리퍼를 사용한 실험에서 각각의 측정값들의 표준편차가 최소 d1 = 0.0822, 최대 l = 0.7223로 차이나는 것을 알 수 있다. 따라서 l의 측정값들이 평균으로부터 멀리 퍼져있다는 것을 알 수 있다. 총 부피의 측정불확도는 292.7mm ^{3}이므로 부피에 대한 신뢰구간은 (25570 ≤ x ≤26150)mm ^{3}으로 알 수 있다.마이크로미터를 사용한 실험에서는 표준편차가 0.00158mm ^{3}으로 평균값에 잘 모여있는 것을 확인할 수 있다. 측정불확도는 0.000707mm ^{3}이고 두께에 대한 신뢰구간은(0.538 ≤ x ≤0.540)mm ^{3}으로 알 수 있다.7. 오차원인 분석- 버니어 캘리퍼를 이용한 측정실험1) 물체를 측정할 때 미세한 오차를 줄이기 위해 물체를 닦아야했는데 닦지 못해 오 차가 발생된 것으로 추측이 된다.2) 중공원통의 반지름을 측정할 때 중공원통의 노화로 인해 완벽한 원을 이루지 않아 반지름으로 원의 넓이를 구하는 공식을 이용함에 있어 오차가 발생할 수도 있다.3) 버니어 캘리퍼를 읽을 때 어미자와 아들자의 눈금이 일치하는 부분이 정확하지 않 아 측정에 오차가 생겼을 것이다.4) 버니어 캘리퍼 자체의 결함으로 미세하게 측정값이 달라졌을 것이다.
