괴델의 불완전성 정리

소개

괴델의 불완전성 정리에 대한 레포트 입니다.

목차

1. 배경
2. 괴델의 불완전성 정리의 내용
▶괴델의 제1 불완전성 정리:
▶괴델의 제2 불완정성 정리:
3. 영향과 의의
4. 참고자료

본문내용

‘괴델의 불완정성 정리’는 1931년 괴델(K. Gödel, 1906~1978)이 발표한 논리학에 관한 정리이다. 비엔나 대학에서 교수로 있던 25세의 괴델이 빈 과학아카데미의 "수학.물리학 월보"에 <수학 원리와 관련 체계에서 형식적으로 결정할 수 없는 명제에 대하여> 라는 제목의 논문을 실었을 때, 대부분의 수학자들은 이 논문의 내용은 물론 제목조차도 이해하지 못하였다고 한다.

1. 배경

* 힐베르트 계획
유클리드의 기하학의 공간은 "실제 존재하는 세계" 를 말했다. 즉, 기하학의 정리들은 우리 세계에 대한, 실질적인 진리라고 생각되었다. 그러나 18세기, 평행선 공준을 부정하고도 모순 없는 기하학이 전개될 수 있다는 것이 밝혀지자 상황은 전혀 달라졌다. 그 이후 수학은 공리가 참이라는 "가정"에서 출발하여 전개되는 명제들의 체계이며, 실제 세계와는 관계없이 전개되는 것이라는 철학이 자리 잡았다. (이것은 한편으로는, 어떤 대상들이든 공리를 참으로 한다는 것만 밝히면, 그 공리로부터 나온 모든 정리들을 즉각 그 실제적인 대상들에 적용, 참인 명제들을 만들어낼 수 있다는 말이기도 한다.)
이제 문제는 수학이 절대적인 진리가 아니고 "공리"의 선택에 좌우되는 체계인 이상, 어떤 공리들을 택해야 내부적으로 완벽한 체계가 되는가 하는 것이였다. 이 문제를 위해 초기에는 몇 가지 방법이 역설을 극복하기 위한 방안으로 시도되었으나, 모두가 충족되지 못했다. 결국 마지막으로 수학의 무모순성이라는 문제의 증명방법론을 학계에 제시한 사람은 힐베르트(David Hilbert) 였다. 그는 내부적으로 모순이 없고 (무모순성) 모든 참인 명제를 증명할 수 있는 (완전성) 체계를 만들기 위해 많은 노력을 기울였다.
어떤 수학의 분야이건 그 체계 안에 적절한 몇 개의 공리만 주어지면, 그것으로부터 모든 참된 명제를 이끌어낼 수 있으리라는 믿음으로 모든 수학은 모순이 없고, 독립적인 공리 위에 세워진 논리적인 체계이며, 이러한 공리의 무모순성과 독립성은 공리 위에 세워진 논리적인 체계이며,

참고자료

· 어니스트 네이글 / 제임스 뉴먼, 강주헌 역 ,『괴델의 증명-쉽게 풀어쓴 괴델의 불완정성 정리』,경문사, 2003
· http://www.mathlover.co.kr/index(kks).html 수학을 사랑하는 사람들
· http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/foundation/foundation17.html 수학사랑