벡터의 연산

소개

벡터의 연산에 대한 레포트입니다
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목차

1. 스칼라의 기울기
- 기울기의 수학적정의
- 기울기의 의미

2. 벡터의 발산
- 발산의 의미
- 발산의 정의

3. 벡터의 회전

4. Stokes의 정리

5. 가우스 정리와 발산
- 면적을 통과하는 벡터장의 양
- 폐곡면 표면의 미소면적을 통해 빠져나 가는 선속
- 폐곡면 표면을 통해 빠져 나가는 발산
- 가우스 발산의 적분표현

본문내용

1. 스칼라의 기울기
벡터 미적분학에서 기울기 또는 그래디언트(gradient)는 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장를 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최 대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.


① 기울기의 수학적 정의
스칼라 함수 (x) 의 기울기는 ∇로 표현한다. ∇기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 연산자 혹은 델(del)이라고 부른다. 기울기는 의 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의 하며 다음과 같이 표시한다.

② 기울기의 의미
- 어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율 을 나타낸다.
- 이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.

- 기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취 하면 된다. 기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과 값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.

⇒ 스칼라 함수 () 의 기울기(gradient)는 벡터함수이다.

2. 벡터의 발산
① 발산의 의미
벡터 해석학에서 발산(發散) 또는 다이버전스는 벡터장이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연산자이다. 예를 들어 마개를 열어 물 이 빠지고 있는 욕조 안의 물의 각 지점에서의 물의 속도로 주어지는 벡터장의 경우, 물이 빠지 는 마개가 있는 지점의 다이버전스 값은 음이 된다

참고자료

· 최신 전자기학 교재 및
· 네이버 지식인 검색