괴델의 불완전성 정리

소개

◎ 괴델의 불완전성 정리 ◎ 괴델의 불완전성정리의 내용 ◎ 힐베르트의 계획 ◎ 괴델의 착상 ◎ 괴델의 정리와 그 주변 ◎ 괴델의 아이디어

목차

◎ 괴델의 불완전성 정리
◎ 괴델의 불완전성정리의 내용
◎ 힐베르트의 계획
◎ 괴델의 착상
◎ 괴델의 정리와 그 주변
◎ 괴델의 아이디어

본문내용

◎ 괴델의 불완전성 정리

不完全性定理 incompleteness theorem 철학·수학 용어. ＜괴델의 불완전성정리＞라고도 한다. 수학에서 사용하는 논리를 포함해서 자연수의 이론을 전개할 수 있고 그 공리계·추론 규칙을 실제로 부여할 수 있도록 한 형식적 체계에서는 그 체계가 무모순(無矛盾)이라면, 긍정도 부정도 증명할 수 없는(결정불능) 명제(그 체계에서 형식화된 논리식)가 존재한다는 정리이다. 이 정리는 1931년 K. 괴델에 의해 증명되었다. 괴델은 형식적 체계에서 사용하는 기호로서 자연수를 택하고 논리식·증명이라는 개념을 수론(數論)의 개념으로 바꾸고, ＜정리이다＞ ＜무모순이다＞라는 명제를 수론의 명제로 만들어 결정불능인 명제 를 구성하는 극히 일반적인 방법에 의해 이 정리를 증명했다. 이 정리는 G. 페아노의 자연수론, 체르멜로-프렝켈의 집합론 등 알려져 있는 대부분의 형식적 체계에 적용할 수 있다. 특히 기본이 되는 형식적 체계에 이 또는 의 부정을 공리로서 덧붙이면, 같은 방법으로 확장된 체계에서 결정불능인 이 구성된다. 또 이 수론의 명제 는 형식화되지 않은 수학에서는 수론적으로 맞는 명제라는 것을 알 수 있어 수학 체계의 형식화의 한계를 보여주는 것이라 할 수 있다. 이때 명제 를 ＜그 형식적 체계로부터 모순을 증명할 수 없다＞ 즉 ＜그 형식적 체계는 무모순이다＞라고 한다. 또한 마찬가지로 결정불능인 명제로 되돌려질 수도 있다. 이것으로부터 자연수론을 포함하는 수학의 형식적 체계의 무모순은 그 형식적 체계 속에서는 증명되지 않는 것이 되며, 이러한 체계의 무모순성에 대한 증명이 곤란하다는 것을 보여준다

제1 불완전성 정리: `산술(자연수론, Principia Mathemarica 등)을 포함하는    임의의 논리체계 I가 무모순하다면, I는 그 체계의 논리로 결정불가능한    참인 명제를 갖는다.` 즉 불완전하다.제2 불완전성 정리: `그러한 참이지만 결정불가능한 명제의 구체적인 예가    "I는 무모순하다" 이다.` 즉 자신이 무모순성을 스스로 증명할 수 없다.

참고자료

· 없음