고등학교 1학년 수학 - 문제 만들기

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Q13.
다항식 f(x)를 x-1로 나눈 나머지는 3, x-2로 나눈 나머지는 1, x-3으로 나눈 나머지는 2이다. f(f(x))를 (x-1)(x-3)으로 나눈 나머지를 R(x)라 할 때, R(5)는 ?

f(f(x)) 를 (x-1)(x-3)로 나누었을 때의 나머지를 ax + b라고 해보겠습니다.

a + b = f(f(1)) = 2 , 3a + b = f(f(3)) = 1

따라서 연립 방정식을 풀어주면 a = -1/2 b = 5/2라는 것을 알 수 있습니다.
∴ 따라서 R(5)는 0입니다.

<사용된 개념1>
나머지의 수식적 의미는 무엇일까요? 수1에서 배우는 나머지 정리는 “함수 f(x)를 (x-a)로 나눴을 때 나머지를 f(a)라고 한다” 입니다. 그 점을 이용해서 문제를 풀어 보겠습니다.

<풀이>
f(x)를 (x-1)로 나누면 나머지 정리에 의해서 나머지가 f(1)입니다.
마찬가지로 (x-2) 그리고 (x-3)에도 나머지 정리를 적용하면 f(1) = 3 f(2) = 1 f(3) = 2입니다.

응용 문제 1.
다항식 f(x) : kx3 + px2 + qx + 5라고 하자.
이 다항식 f(x)에 대하여 (x+1)과 (x+1)2으로 각각 나눈 나머지의 합이 0이라고 하자. 이 때 (x+1)3으로 나눈 나머지를 ax2 + bx +c일 때 (a -b +c) 의 값을 구하여라.

<출제 의도> : 나머지의 함수적 의미 이해

<사용된 개념>
나머지의 의미가 무엇일까? 단순히 숫자를 넘어서 이것이 가지는 함수적 의미는 무엇일까?
앞으로 나머지를 보면 함수로 접근하라.

나머지로 생성이 됩니다. 그런데 0차의 나머지와 1차의 나머지를 더했을 시 그 합이 0이 되었다는 것은 1차식이 되지 못하고 상수항이 되었다고 결론을 내려야 됩니다. (x+1)2 나머지의 정체는 x = -1에서의 접선의 방정식입니다.

참고자료

· 없음