부산대학교 응용수치해석 kaczmarz method

소개

이 자료를 찾으신 분들은 큰 희망을 얻으신 것일 겁니다. 특정 수치해법이 어떻게 실생활에 적용이 되는지 matlab으로 코딩을 하는 문제인데 제 개인적으로 교수님의 의도를 해치고 싶지 않아서 답은 올리지 않았습니다. 하지만 이 글을 읽고, 이해만 한다면 충분히 코딩하는데는 큰 문제가 없으실 겁니다. ( 물론 이중 반복문의 의미나 역할을 자유롭게 이해한다는 전제하입니다. ) / 엄청 자세하게 설명되어있으니 걱정하지 마시고 잘 생각해서 코딩하시기 바랍니다.

목차

1. Basic knowledge
2. (Apply) M file
3. discussion
4. 참고 자료

본문내용

* Basic knowledge

Projection x-ray radiography는 엑스레이 방사선 사진으로서 환자의 3D 형상을 2D 형상으로 projection 하여 2차원 형태의 matrix를 만들어 pixel로 나타내는 것을 의미한다. 단층촬영, CT 촬영은 일반적인 촬영으로 나타낼 수 없는 신체의 단층 면상을 나타내는 영상장치로 인체의 여러 각도에서 투과한 ray를 컴퓨터로 측정하고 인체의 단면에 대한 흡수치를 재구성하여 영상으로 나타내어 주는 역할을 한다. 따라서 이러한 3D형상을 컴퓨터가 어떻게 단층 영상으로 만들어주는지에 대해서 알아 볼 필요가 있다.
영상 단층학에서 초기에 기본적으로 쓰인 알고리즘으로는 karzmarz method가 있다. 기반 방식은 반복법을 이용해 해를 찾아 나가는 것 인데 이는 단층 촬영의 적용에 있어서는 다른 일반적인 방법보다 훨씬 효율적인 효과를 낼 수 있는 장점이 있다. 이러한 방법들은 행렬의 대수적인 배열을 통해서 계산을 할 수 있다. 일반적으로 단층영상으로 바꿔주기 위해서 와 같이 행렬 A, 벡터 x, b를 이용할 수 있다. 행렬 A는 시스템의 계수 행렬에 해당하고, 벡터 x는 우리가 모르는 이미지 값, 벡터 b는 ray들이 조직이나, 뼈들을 통과해서 나온 측정값에 해당한다. 몸의 미세조직, 뼈 등은 종류에 따라 x-선들의 세기는 다르게 나타난다. 따라서 이러한 값들을 이용하여 세기들을 중첩하여 2차원 영상으로 만드는 것이다. 이제 정확히 어떤식으로 kazmarz method가 이에 적용되는지를 알아보자.
보통 촬영시 회전을 하며 각각의 각도에 대해서 나타 나는 값들의 중첩을 통해서 이루어진다. 따라서 위 그림과 같이 동일 하게 적용을 하면 몸에 해당하는 미지수 값 x에 대해 서 각 ray들을 각 행줄, 열줄, 대각줄에서 지나도록 해 각 를 조합을 해 행렬 A를 구해 x값을 구할 수 있다.

참고자료

· 응용수치해석 강의 자료
· http://bme.elektro.dtu.dk/31545/notes/AlgebraicIterativeMethods.pdf