[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH4. Orthogonality에 대한 4장 전체 시험대비 완벽정리

소개

Gilbert Strang 4th E. CH4. Orthogonality에 대한 4장 전체 정리자료입니다.

이 자료는 Gilbert Strang저 Linear Algebra 선형대수를 한글화하고 정리하여 시험에 대비 할 수 있도록 한 자료입니다.
영어와 한글이 섞여 있고, 개념을 풀어 쓸 때는 한글을, 영어를 사용할 때 더 이해하기 쉽거나 용어 자체는 영문으로 작성하였습니다.
본 자료를 읽고 개념을 정리하여 문제를 풀면 좋은 결과를 얻을 수 있을 것입니다.

목차

4.1 Orthogonality of the Four Subspaces
4.2 Projections
4.3 Least Squares Approximation
4.4 Orthogonal Bases and Gram-Schmidt

본문내용

projection은 투사, 즉, 어떤 vector를 어딘가로 투사하는 것이다.
먼저 두 가지 질문이 나온다
1. what are the projections of b=(2,3,4) onto the z axis and the xy plane?
2. what matrices produce those projections onto a line and a plane?
when b is projected onto a line, its projection p is the part of b along that line. 여기서 part of b along the line이라는 것은 b의 해당line으로 투영되는 성분이 p에 있다는 뜻
if b is projected onto a plane, p is the part in that plane. 마찬가지로 b의 plane에 투영되는 성분이 p라는 것
the projection p is Pb. p자체를 projection이라 하고 그것은 b에 projection matrix P를 곱한 것이다. permutation matrix와 같은 약어지만 헷갈리지 말 것
이 단원에서는 p와 P를 찾는 것에 집중한다.
ex.) b=(2,3,4), z-axis에 projection p1이라하고, xy-plane에 한 projection을 p2라 하면, p1=(0,0,4), p2=(2,3,0)이 될 것이다.
이 projection matrix P1, P2는 모두 3 by 3 matrices이다. 일단 b에 곱해야 하기 때문에 3 columns이고 p가 3 rows이기 때문에 P도 3 rows이다. 따라서 P : 3 by 3 matrix
rank(P1)=1, rank(P2)=2가 된다.

<중 략>

Ax=b가 no solution일 때가 있다. 일반적인 이유는 너무 많은 equation이 있기 때문이다.
즉, matrix의 m > n일 때 그렇다. 그렇기 때문에 unknown의 개수보다 equation의 개수가 더 많다. 모든 측정이 완벽하지 않다면, b는 column space의 외부에 있게 된다. 즉, no solution이게 된다.

참고자료

· 없음