오일러의 파이 함수

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정규 교육과정을 충실히 이수한 고등학교 1학년 학생이 ‘닫혀있다’ 라는 개념을 학습한 시점에서 이해할 수 있도록 본 강의록을 만들었다. 기본적인 배경은 중등 수학의 개념을 이용하였는데 예를 들어 정수의 집합이 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀있다는 것은 고교 수학책에 나오는 것으로 학생이 이미 받아들이는 것으로 본다. 그 외에 자명하게 느껴질 것들은 정수론에서의 현학적인 측면이라 생각하여 굳이 증명을 하지 않았다.
정수론에 관한 대학교재의 극히 일부 내용만 다루며 논리적인 증명이 너무 길면 이해가 어려울 것을 대비해 보기나 예를 통하여 이해할 수 있도록 했고 간단한 문제를 통해 스스로 공부하며 알게 된 내용을 확인할 수 있게 하였다.
중등과정에서 약수, 배수, 공약수 등에 대해 정의할 때 자연수인 경우만 다루지만 여기서는 정수로 확장하여 다룬다.
서로소라는 조건이 붙은 일차합동식에서 해가 유일하다는 정리는 합동식과 관련된 정수론의 이론에 기본이 된다. 그런데 이 정리는 ‘두 수 가 서로소이면 을 만족하는 정수 가 존재한다.’ 로부터 간단히 이끌어 낼 수 있다. 따라서 본 강의는 ‘두 수 가 서로소이면 을 만족하는 정수 가 존재한다.’를 이해하는데 초점을 맞춘다. 강의에 충실히 임한다면 정수론 공부를 하는데 있어 도움이 되리라 확신한다.

Well-Ordering Principle(정수의 정렬성)
양의 정수 전체의 집합 ℕ의 부분집합 ()에는 최소원소 이 존재한다.

[보기] {}에는 최소원소 2가 존재한다.

[문제] 위의 [보기]처럼 ℕ의 부분집합을 하나 만들고 최소 원소를 구하시오.

[정의] 두 정수 에 대하여 인 정수 가 존재할 때, 를 의 약수(divisor) 또는 인수(factor)라 하고 를 의 배수(multiple)라고 하며 이 사실을 로 나타낸다. 또 이때 “는 를 나눈다.” 와 같이 읽는다. 한편, 가 아닐 때, 이 사실을 로 나타낸다.

[보기] -6=(-3) 인 정수 가 존재하므로 -3은 -6의 약수이고 -3|-6 이다.
(즉, -3은 -6을 나눈다.)

참고자료

· 김응태・박승안, 정수론, 제6판, 경문사, 2006