실수의 정의

소개

실수를 여러가지로 도입한 레포트 입니다

목차

Ⅰ. 들어가면서 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1

Ⅱ. 수의 역사 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1

Ⅲ. 실수의 공리 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3

Ⅳ. 실수의 정의 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 7

Ⅴ. 유리수를 이용한 실수의 정의 ∙∙ 10

Ⅵ.마치며 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 13

본문내용

Ⅰ. 들어가면서
실수계를 도입하는 방법에는 여러 가지가 있지만 본질적으로 두 가지 방법으로 나누어 생각할 수 있다. 하나는 실수계를 직접 구성하는 구성적 방법이고, 다른 하나는 실수계를 구성하지 않고 그 존재성을 공리적으로 인정하는 공리적 방법이다. 실수계의 구성적 정의 방법에서는 자연수를 공리적(Peano 공리)으로 정의한 다음, 이로부터 정수, 유리수의 구성을 거쳐 유리수계의 결함을 보완하기 위한 확장된 수계로서 실수계를 구성하는 것이고, 공리적 정의방법에서는 공이 아닌 한 집합 위에 “덧셈”과 “곱셈”이라 부르는 두 연산이 정의도고 있고, 그 집합이 세 공리(체의 공리, 순서 공리, 완비성 공리)를 만족 한다고 할 때 이를 ℝ로 나타내고 실수계라고 정의하는 것이다.
이미 인류는 기원전부터 유리수와 무리수의 개념을 받아드렸지만 이를 끝으로 수학자들은 수 개념보다는 기하학에 더 관심을 두어 실수에 대한 엄밀한 정의 없이 많은 시간이 흘렀다. 이에 19세기에 이르기까지 실수를 기하학적으로 해석하는 선에 그쳤고 단지 ‘수직선 위의 각 점에 대응되고 있다’라고만 해석하였다. 하지만 19세기 비유클리드 기하학의 발견으로 기하학의 진리로서의 지위가 무너지게 되면서 실수의 기하학적 이해방식이 불충분하다고 여겨짐에 따라 실수에 대한 보다 정확한 정의가 필요하게 되었다. 이에 진리라 여겨지는 산술에 기초하여 실수를 정의하기에 이르렀고 J.W.R. 데데킨트는 절단이론, G.칸토어는 연속체가설로 실수의 정확한 정의를 내렸다.
그럼 지금부터 수의 역사에 대하여 살펴보고, 실수계를 공리적 방법으로 도입하려고 한다. 그리고 실수를 엄밀히 정의한 데데킨트와 칸토어의 연구를 살펴보고, 끝으로 유리수에서 실수로의 확장 과정을 살펴보겠다.

Ⅱ. 수의 역사
1. 수를 표현하는 말과 셈의 기원
인간이 다른 동물과 가장 두드러지게 다른 점은 언어를 가지고 있다는 것이다. 언어의 발달은 추상적인 사고의 발생에 필수인 것이지만 수 개념을 표현하는 말은 꽤 늦게 나타났다. 아마 수를 나타내는 ‘표시’가 수를 나타내는 ‘말’보다 먼저 생겼을 것이다.

참고자료

· 없음