볼록 연꼴 및 정다각형의 내접 타원에 관한 연구 (A Research on the Inscribed Ellipse of Kite and Regular Polygon)

서지정보

· 발행기관 : 한국과학영재교육학회
· 수록지 정보 : 과학영재교육 / 14권 / 2호 / 90 ~ 99페이지
· 저자명 : 이동우, 서정민, 이도윤, 윤세인, 홍성혁, 조영민

초록

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 임의의 삼각형 또는 볼록 사각형은 무한한 개수의 내접 타원을 갖는다(Agarwal et al., 2015). 그런데, 삼각형의 경우 내부의 임의의 점에 대하여 그 점을 초점으로 갖는 내접 타원이 존재하는 반면(박정현 외, 2020), 평행사변형의 내접 타원의 한 초점이 될 수 있는 점들의 집합은 특정 자취를 이룬다(박경수 외, 2021). 이에 평행사변형이 아닌 다른 볼록 사각형의 경우 그 내접 타원의 초점의 자취가 어떻게 그려지는지에 대해 의문을 가지게 되어, 그러한 사각형 중 볼록 연꼴의 내접 타원에 대하여 초점의 성질을 탐구하고자 하였다. 그 결과, 본 연구에서는 볼록 연꼴 내부의 한 점이 내접 타원의 초점이 되는 것과, 그 점을 네 변에 대해 대칭시킨 점들이 공원점인 것, 그리고 그 점이 사각초점인 것이 서로 동치 관계임을 증명하였다. 이를 바탕으로, 마름모가 아닌 볼록 연꼴의 내접 타원의 초점의 자취는 대칭축인 대각선 및 대칭축 위에 있지 않은 두 꼭짓점과 내심을 지나는 원호임을 보였다. 나아가 볼록 연꼴의 내접 타원의 초점의 자취를 활용하여 변의 개수가 5 이상인 정다각형의 내접 타원은 내접원뿐임을 증명하였는데, 이는 기존의 사영기하학적 접근(Agarwal et al., 2015)과는 다른 방식으로 내접 타원의 유일성을 보였다는 것에 의의가 있다.

영어초록

This study was based on the research results conducted as a R&E project for the gifted students with a financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. Any triangle or convex quadrilateral has an infinite number of inscribed ellipses (Agarwal, Clifford, & Lachance, 2015). In the case of triangles, there is an inscribed ellipse with the focus on any point inside (Park, Park, & Cho, 2020), while the set of points that can be the focus of the inscribed ellipse of a parallelogram forms a specific trace (Park, Park, & Cho, 2021). Therefore, in the case of convex quadrilaterals other than parallelogram, there was a question about how the traces of the focus of the inscribed ellipse were drawn, and among those quadrilateral, the nature of the focus was investigated for the inscribed ellipse of the kite. As a result, in this study, it was proved that these three propositions are equivalent to each other: the point is the focus of the inscribed ellipse; four points, that each is symmetrical to the point for one of the sides, lie on the same circle; the point is a square focus. Based on this, the traces of the focal point of the inscribed ellipse of the kite were shown to be the diagonal which is the axis of symmetry, and the arc that passes through incenter and two vertices that not on the axis of symmetry. Furthermore, using the traces, it could be proved that the only inner ellipse of the regular polygon with 5 or more sides was the incircle, which is meaningful in that it showed the uniqueness of the inscribed ellipse in a different way from the existing projective geometric approach (Agarwal, et al., 2015).

참고자료

· 없음